Todennäköisyysketju

[Huhmare]

Moi!

Huomasin, ettei tällaista ketjua ole vielä ja mietin, että onko ajatusta perustaa todennäköisyysketju jossa on ajatuksia, pohdintaa, kysymyksiä yms. liittyen todennäköisyyksiin. Ongelmaketju oli jo olemassa kemia fysiikka matematiikka osastolla. Meneekö tämä siihen vai onko tarvetta todennäköisyysketjulle?

Itseäni on pohdituttanut kolikon tiputtaminen. Millä todennäköisyydellä kolikko tippuu tiettyyn paikkaan? Laitan kuvan liitteeksi, joka hahmottelee asian.

Kuvaan asiaa liioitellen. Jos tiputan kolikon, jossa ensimmäisessä tapauksessa vaikka neliömetrin pinta-alaltaan oleva ympyrä sijaitsee jalkojeni juuressa ja toisessa tapauksessa vaikkapa kilometrin päässä, kokonaistiputusalueen ollessa rajattu, niin mikä on todennäköisyys molemmissa tapauksissa, että kolikko tippuu nähin ympyröihin?

Tuumailin asiaa ja tätä voisi lähteä tilastoimalla asiaa. Hajontakuvio kolikkojen tiputuksilla suhteessa kolikon tiputuskohtaan ja näin määritellä mahdollinen alue johon kolikko tippuu. Pudotuskorkeuden ollessa vakio.

Vai voiko mitenkään näille laskea todennäköisyyttä ilman tilastoitua dataa?


Käytännössä järki sanoo, että kolikko tippuu jalkojen juuressa olevaan ympyrään. Ainakin jos tiputuskorkeus on "matala".

Onko kysymys tavallaan sama jos heitän kiven metsään. Millä todennäköisyydellä se osui juuri siihen puuhun johon se osui tai ei osunut?

Jos minulla on laatikko, jossa on 10 valkoista palloa eikä yhtään mustaa. Tällöin todennäköisyys nostaa laatikosta musta pallo on 0. Jos laatikossa on 9 valkoista ja yksi musta, todennäköisyys mustan nostamiselle on 1/10. Jos laatikossa on 9999 valkoista palloa ja yksi musta, niin 1/10000.

Jos miettii tuota kolikon tiputusta. Kuitenkin alue on rajattu johon kolikko voi tippua, joten mahdollisuuksia on rajattu määrä.

Toisaalta, koko kysymyksen voi asetella myös päinvastoin, että milloin voidaan sanoa todennäköisyyden olevan 0, kun lopputulos tiedetään hyvin varmasti?

Laitelkaahan vastauksia ja uusia kysymyksiä ja pohdintoja todennäköisyyksiin liittyen.


EDIT: Tuumailin, jos tiputusetäisyys molemmista ympyröistä on sama, tällöin todennäköisyys on yhtä suuri, kumman ympyrän sisälle kolikko menee.
Eli näin voisi päätellä, että todennäköisyys suurenee tai pienenee suhteessa etäisyyteenkö?

matka a.jpg (9.64 KiB) Katsottu 220 kertaa

Näinollen, jos todennäköisyys suhteessa matkaan pitää paikkaansa, puolivälissä ollessa on yhtä todennäköistä, että kolikko menee jompaan kumpaan ympyrään. Matkan a puolittuessa, on kuvan mukaisesti 75 prosenttisesti todennäköisempää, että tämä menee ennemmin oikeanpuoleiseen kuin vasemmanpuoleiseen. Mutta miten päätellään todennäköisyys osuuko tämä ympyrään vai ei tietyllä alueella? Pinta-alan perusteella?

Pinta-alojen suhteet määrittelevät todennäköisyyttä tälle, miten suurella todennäköisyydellä tietty asia jää tietyn alueen sisäpuolelle. Ratkaisinkohan tämän jutun nyt ihan itse höyryillessäni.

matka a2.jpg (12.89 KiB) Katsottu 214 kertaa

[Huhmare]

Ei antanut enää muokata alkuperäistä, muokkasin jo liikaa.

Jos eliminoin hajonnan sillä ajatuksella, että se on yhtä suuri kuin alue, johon kolikon pitäisi laskeutua.(tai vaihtoehtoisesti määrittelen hajonnan alueen mielivaltaisesti, jos hajontaa ei ole, eli kolikko tipahtaisi suoraan alas,joka ei ole tosielämässä mahdollista tällöin kyse on suoraan etäisyydestä?)

Tässä kuvassa ajatusta hajonnasta. Käytännössä kolikko voi laskeutua mihin tahansa kohtaan tässä ympyrässä. Eli tuo pilkukas alue voitaisiin kuvitella täysin täytettynä. Tällöin voisi ajatella, että kyse on siitä, kun matka a =0, ympyröitten keskipisteet kohtaavat ja kolikot tippuvat 100 prosenttisella todennäköisyydellä tälle alueelle. Kun molempien ympyröitten pinta-alat leikkaavat toisiaan, on kyse siitä että mikä on näitten pinta-alojen suhde? ympyröitten leikkauskohdissa tulenee se ongelma, että kolikko voi olla osittain molempien ympyröitten sisäpuolella, toisaalta sehän taitanee kumoutua?

matka a hajonta.jpg (68.09 KiB) Katsottu 206 kertaa

[Tauko]

Jos oikein tulkitsen, niin asetelma on että, neliön sisällä on ympyrä satunnaisessa paikassa, kolikon putoamiskohta on neliön sisällä, kolikolla on etäisyydestä riippuva loppusijanti putoamiskohdasta (neliön sisällä?) ja halutaan laskea todennäköisyys, että kolikko jää ympyrän sisälle.

Tarkentava kysymys asetelmasta, onko kolikon putoamis/pudotuskohta neliön sisällä satunnainen, vai kiinteä?

[Huhmare]

Jos oikein tulkitsen, niin asetelma on että, neliön sisällä on ympyrä satunnaisessa paikassa, kolikon putoamiskohta on neliön sisällä, kolikolla on etäisyydestä riippuva loppusijanti putoamiskohdasta (neliön sisällä?) ja halutaan laskea todennäköisyys, että kolikko jää ympyrän sisälle.

Tarkentava kysymys asetelmasta, onko kolikon putoamis/pudotuskohta neliön sisällä satunnainen, vai kiinteä?

Satunnainen, toki sivuan tuossa vähän molempi tapauksia, eli myös kiinteä piste kiinnostaa.

[Tauko]

Tuon satunnaisen putoamiskohdan tapauksen ymmärtäisin menevän suoraan neliön ja ympyrän pinta-alojen suhteena.

Tapausta, jossa ympyrä on niin suuri, että sivuaa kaikkia neliön sivuja, voi käyttää piin likiarvon määrittämiseen suurella määrällä kolikon pudotus toistoja.

[Keijona]

Jos tiedepalstalle eksynyt ihminen lukee sieltä arvomaailmalleen sopimattoman asian tai syyseurauksen, niin millä todennäköisyydellä hän kieltää tai ohittaa sen?

[Stalker]

Jos tiedepalstalle eksynyt ihminen lukee sieltä arvomaailmalleen sopimattoman asian tai syyseurauksen, niin millä todennäköisyydellä hän kieltää tai ohittaa sen?

Palstalla on useita arvomaailmani kanssa ristiriidassa olevia kirjoittajia mutta useimmat näistä ovat niin huvittavia tyyppejä, ettei asia häiritse.
Suurella todennäköisyydellä postaukseni oli off-topic.

[Keijona]

Jos tiedepalstalle eksynyt ihminen lukee sieltä arvomaailmalleen sopimattoman asian tai syyseurauksen, niin millä todennäköisyydellä hän kieltää tai ohittaa sen?

Palstalla on useita arvomaailmani kanssa ristiriidassa olevia kirjoittajia mutta useimmat näistä ovat niin huvittavia tyyppejä, ettei asia häiritse.
Suurella todennäköisyydellä postaukseni oli off-topic.

Hampaiden näyttely ja huumoriin turvautuminen on tosiaan varsin alkeellinen ja yleinen puolustusrefleksi.
Mutta sitä todennäköisyyttähän tuossa kysyttiin, että millä todennäköisyydellä ihmisen ensireaktio on kieltää (tavalla tai toisella) itselle sopimattoman asian olemassaolo.

[Tauko]

Jos oikein tulkitsen, niin asetelma on että, neliön sisällä on ympyrä satunnaisessa paikassa, kolikon putoamiskohta on neliön sisällä, kolikolla on etäisyydestä riippuva loppusijanti putoamiskohdasta (neliön sisällä?) ja halutaan laskea todennäköisyys, että kolikko jää ympyrän sisälle.

Tarkentava kysymys asetelmasta, onko kolikon putoamis/pudotuskohta neliön sisällä satunnainen, vai kiinteä?

Satunnainen, toki sivuan tuossa vähän molempi tapauksia, eli myös kiinteä piste kiinnostaa.

Kiinteän putoamispisteen tapauksessa tarvittaneen sitten neliön ja ympyrän mittojen ja sijainnin ja putoamispisteen sijainnin lisäksi (arvio) funktio tai jakauma kolikon siirtymälle. Suunta ilmeisesti satunnainen ja siirtymän määrä putoamiskohdasta etäisyyden mukaan laskeva. Voi olla 1/r tai 1/r^2 tai jotain muuta.

[Wisti]

Kolikko pudotetaan shakkilaudalle ja kysytään millä todennäköisyydella raha jää kokonaan jonkun ruudun sisään, kun ruudun sivu tämä ja rahan halkaisija tuo.
Tästä saisi laskien tuloksen, joka vastaisi varmaan hyvin heittoja toistamalla löydettävää osuutta, kunhan kolikkoa ei kovin matalalta pudoteta. Sen sijaan tarkastelu, jossa jotain heitetään jonnekin ja pidetään kaikkia yhtä isoja osumakohtia yhtä todennäköisinä on mielivaltaista.

[MooM]

Jos oikein tulkitsen, niin asetelma on että, neliön sisällä on ympyrä satunnaisessa paikassa, kolikon putoamiskohta on neliön sisällä, kolikolla on etäisyydestä riippuva loppusijanti putoamiskohdasta (neliön sisällä?) ja halutaan laskea todennäköisyys, että kolikko jää ympyrän sisälle.

Tarkentava kysymys asetelmasta, onko kolikon putoamis/pudotuskohta neliön sisällä satunnainen, vai kiinteä?

Satunnainen, toki sivuan tuossa vähän molempi tapauksia, eli myös kiinteä piste kiinnostaa.

Kiinteän putoamispisteen tapauksessa tarvittaneen sitten neliön ja ympyrän mittojen ja sijainnin ja putoamispisteen sijainnin lisäksi (arvio) funktio tai jakauma kolikon siirtymälle. Suunta ilmeisesti satunnainen ja siirtymän määrä putoamiskohdasta etäisyyden mukaan laskeva. Voi olla 1/r tai 1/r^2 tai jotain muuta.

Jos oltaisiin tyhjiössä, koordinaastisto kiihtyvyyksiltään vakaassa olosuhteessa ja pudotuslaite olisi virheettömästi toistettavan pudotuksen tuottava, kolikko putoaisi aina samaan kohtaan. Kaikki poikeeamat tästä syntyvät ulkoisista tekijöistä: onko irti päästämisen tapahtuma toistettava vai syntyykö siinä jotain sivusuuntaista alkunopeutta? Vaikuttaako putoamisen aikana jotain poikkeuttavia voimia. Ja näissä se, ovatkö nämä satunnaisia vai systemaattista poikkeamaa tuottavia. Ja jos pudotetaan astiaan, sen reunoilla on huomattavaa vaikutusta.

Satunnaisilla (tai kohtuudella satunnaiseksi approksimoitavilla) epätarkkuuden lähteillä lopputulos muistuttaa usein Gaussin käyrää, eli normaalijakaumaa. Keskiarvo ja hajonta ovat tämän tapaisessa asetelmassa kokeellisesti määritettäviä ja olosuhteiden mukaan vaihtuvia (esim sivutuuli muuttaa keskiarvoa, käden tärinä tai puotuskorkeuden nostaminen lisää hajontaa). Niiden laskeminen vaatisi melkoisen monimutkaista mallia ja se taas tarkkaa tietoa systeemin käyttäytymisestä.

[Huhmare]

Jos oikein tulkitsen, niin asetelma on että, neliön sisällä on ympyrä satunnaisessa paikassa, kolikon putoamiskohta on neliön sisällä, kolikolla on etäisyydestä riippuva loppusijanti putoamiskohdasta (neliön sisällä?) ja halutaan laskea todennäköisyys, että kolikko jää ympyrän sisälle.

Tarkentava kysymys asetelmasta, onko kolikon putoamis/pudotuskohta neliön sisällä satunnainen, vai kiinteä?

Satunnainen, toki sivuan tuossa vähän molempi tapauksia, eli myös kiinteä piste kiinnostaa.

Kiinteän putoamispisteen tapauksessa tarvittaneen sitten neliön ja ympyrän mittojen ja sijainnin ja putoamispisteen sijainnin lisäksi (arvio) funktio tai jakauma kolikon siirtymälle. Suunta ilmeisesti satunnainen ja siirtymän määrä putoamiskohdasta etäisyyden mukaan laskeva. Voi olla 1/r tai 1/r^2 tai jotain muuta.

Jos oltaisiin tyhjiössä, koordinaastisto kiihtyvyyksiltään vakaassa olosuhteessa ja pudotuslaite olisi virheettömästi toistettavan pudotuksen tuottava, kolikko putoaisi aina samaan kohtaan. Kaikki poikeeamat tästä syntyvät ulkoisista tekijöistä: onko irti päästämisen tapahtuma toistettava vai syntyykö siinä jotain sivusuuntaista alkunopeutta? Vaikuttaako putoamisen aikana jotain poikkeuttavia voimia. Ja näissä se, ovatkö nämä satunnaisia vai systemaattista poikkeamaa tuottavia. Ja jos pudotetaan astiaan, sen reunoilla on huomattavaa vaikutusta.

Satunnaisilla (tai kohtuudella satunnaiseksi approksimoitavilla) epätarkkuuden lähteillä lopputulos muistuttaa usein Gaussin käyrää, eli normaalijakaumaa. Keskiarvo ja hajonta ovat tämän tapaisessa asetelmassa kokeellisesti määritettäviä ja olosuhteiden mukaan vaihtuvia (esim sivutuuli muuttaa keskiarvoa, käden tärinä tai puotuskorkeuden nostaminen lisää hajontaa). Niiden laskeminen vaatisi melkoisen monimutkaista mallia ja se taas tarkkaa tietoa systeemin käyttäytymisestä.

Eli kaiketi voidaan todeta, että täydellisessä mallissa jossa kaikki muuttujat ovat poistettu, niin tällöin kolikko tippuu aina samaan kohtaan.

Siirryn jo vähän toiseen aiheeseen.

Mietin edelleen tätä mustan pallon nostamista astiasta, johon nopeasti viittasin aloitusviestissä. Tässä vaikuttaa tosielämässä se, että missä musta pallo fyysisesti sijaitsee ja miten käteni hämmentää palloja laatikossa.

Se, mikä on myös mielenkiintoista on matemaattisen todennäköisyyden tarkkuus (onko tälle olemassa omaa termiä) verrattuna tosielämään. Jos nostan laatikosta niitä palloja. Ensimmäisessä tapauksessa esim. vain kaksi palloa, valkoinen ja musta. Kuinka lähelle todellisuudessa pääsen 50/50 tilannetta, jossa toinen on valkoinen ja toinen musta. Ensimmäisen nostokerran jälkeen tilanne on 50/50. Toisessa tapauksessa on laatikko, jossa on 10 palloa. 9 valkoista ja 1 musta. Nostan tästä tilanteesta näitä palloja 10 kertaa. Matemaattisesti yhden näistä kymmenestä nostosta pitäisi olla tämä musta pallo.

Nyt jos sarjoitan tilannetta ja teen ensimmäisen tapauksen nostokertoja esimerkiksi 10 kertaa, pysyyko suhde myös samana, eli 5 valkoista palloa ja 5 mustaa palloa. Toisessa tapauksessa nostan myös tätä kymmenellä, eli nostakin yhteensä laatikosta 100 palloa. Tällöin pitäisi nousta 90 valkoista palloa ja 10 mustaa.

Tämähän selviäisi vain kokeilemalla. Kyllähän se aina kiinnostaa, että miten lähellä ennustettu todennäköisyys on toteutuvaan nähden.

[Lyde19]

Kolikkoa tuputtaessa ei tunneta jakamaa miten lopullinen sijainti riippuu eri tekijöistä. Pudotuskorkeus ja asento ainakin vaikuttavat. Fysiikan voisi kai laskea tai simuloida. Mutta miksi?

[Keijona]

Millä todennäköisyydellä kuva olisi totta myös vuonna 2023?

https://yle.fi/a/3-8974534

[Tauko]

Eli kaiketi voidaan todeta, että täydellisessä mallissa jossa kaikki muuttujat ovat poistettu, niin tällöin kolikko tippuu aina samaan kohtaan.

Varmaankin näin, että tippuu aina samaan kohtaan, vaan jääkö se siihen kohtaan?
Näin ymmärsin asetelman. Vaikka ymmärrystä se on väärin ymmärtäminenkin.