Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Avatar
Purdue
Reactions:
Viestit: 1445
Liittynyt: 17 Helmi 2024, 12:00
Paikkakunta: Helsinki

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Purdue »

Ja otetaanpa tähän STR:n ja GTR:n eroihin nyt tällainen näkökanta. Ajatellaan vaikkapa näin:

>> Kuinka aika ja matka eroavat objektien kohdalla jotka lähestyvät valon nopeutta taikka suuren massan pintaa kohtisuorassa?

¤ GTR: kun jokin havainnoitsija lähestyy suuren massa pintaa, niin se kokee:
a) ajan hidastuvan
b) etäisyyksien kasvavan

¤ STR: kun jokin havainnoitsija lähestyy valon nopeutta, niin suhteessa paikallaan olevaan havainnoitsijaan, se kokee:
a) ajan hidastuvan,
b) oman itsensä mitan kutistuvan menosuuntaan päin
c) matka menosuuntaan päin pysyy samana


¤ Eli jos nyt ymmärsin oikein, niin sekä nopeus (vakionopeuksinen liike, STR) että kiihtyvä liike/gravitaatio (GTR) vaikuttavat siten, että aika hidastuu, ja kaikki havainnoitsijan sisäiset prosessit (kellot) käyvät hitaammin. Kummatkin vaikuttavat siis aikadimensioon.

¤ Sen sijaan STR ja GTR eroavat siinä kuinka tiladimensio käyttäytyy:
- GTR:ssä lähestyttäessä suurta massaa etäisyydet kasvavat, eli aika-avaruuden tiladimensio muuttuu.
- STR:ssä vain sen havainnoitsijan oma pituus liikesuunnassa lyhenee, mutta itse aika-avaruuden tiladimensio pysyy vakiona.


¤ Sitten se suurin kysymys?
- Jos ajatellaan että STR kuvaa constant liikettä, eli vakionopeuksista liikettä, jossa havainnoitsijan nopeus ei muutu, niin silloin hän kokee lähestyttäessä valon nopeutta liikesuuntaansa nähden pituutensa lyhenemisen ja kellojensa hidastumisen, muttei matkan lyhenemistä.
- Jos ajatellaan puolestaan GTR:n kuvaamaan kiihtyvää liikettä, niin jos ajatellaan vaikkapa kiinteällä kiihtyvyysarvolla 1g kiihdyttävää havainnoitsijaa, niin silloinhan kaiken järjen mukaan ajan hidastumisen ohella, sen kuljettavan matkan on pidennyttävä! Koska kiihtyvä liike vastaa gravitaatiota!


>> Eli vakionopeuksinen liike lähestyttäessä valon nopeutta vaikuttaa vain aikadimensioon, mutta ei matkojen tiladimensioon.

>> Mutta kiihdyttävässä liikkeessä oleva havainnoitsija joka lähestyy valon nopeutta, niin hänen kohdallaan aika-avaruuden eli kuljetun matkan/tiladimension on muututtava!


>> Tästä voimme tehdä sen johtopäätöksen, että 4-ulotteisen aika-avaruuden geometria muuttuu suurten massojen seurauksena sekä aika- että tilaulottuvuudessa. Tämä käy järkeensä.

>> Mutta jos kiihtyvyys vastaa gravitaatiota Einsteinin mukaan, niin silloin kiihtyvässä liikkeessä oleva havainnoitsija myös kaareuttaa sitä aika-avaruutta ympärillään sekä aika- että tilaulottuvuudessa! Tämä kuulostaa hassulta!


- Kuinka nopeasti kiihdyttävä havainnoitsija voi kaareuttaa aika-avaruutta ympärillään?

- Vastaus liittyy pakostakin Lorentz kertoimeen, joka kertoo sen missä suhteessa aika hidastuu, pituudet lyhenevät ja sen liikkuvan havainnoitsijan massa kasvaa.


¤ Eli kiihdyttävä havainnoitsija kaareuttaa aika-avaruutta ympärillään. Tämä ok!

¤ Mutta silloin myös STR:n mukainen vakionopeudella kulkeva havainnoitsija myös kaareuttaa aika-avaruutta, koska hänen massansa kasvaa Lorentz kertoimen mukaisesti.


>>> Päädytäänkin siis siihen, että sekä STR:n että GTR:n tapauksessa tapahtuu niin, että sekä aikadimensio että tiladimensio muuttuvat paikallisesti.

>> Massat, kiihtyvä liike sekä vakionopeuksinen liike hidastavat kaikki kelloja eli kaareuttavat aika-avaruutta.

>> Samoin massat, kiihtyvä liike sekä vakionopeuksinen liike muuttavat etäisyyksiä eli tiladimensiota paikallisesti. Ja jos vakionopeuksinen liike sekä kiihtyvä liike kasvattavat massoja Lorentz kertoimen mukaisesti, niin silloinhan matkojen eli etäisyyksien tulee kasvaa paikallisesti.

Tämä taas kuulostaa kummalta esim. STR:n näkökulmasta?


Olenko järkeillyt tämän oikein, vai mättääkö jokin tässä?!
~ The road to wisdom is paved with the pain of understanding the world.
Q-S
Reactions:
Viestit: 528
Liittynyt: 30 Marras 2022, 16:44

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Q-S »

Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 12:59 Jep, ja kiitosta kattavasta vastauksesta. Lueskelin tossa tuota Greenen kirjaa juuri eteenpäin, ja hän mainitsee siinä tällaisen Einsteinin termin kuin "equivalence principle", joka tarkoittaa kiihtyvyyden ja toisaalta gravitaation vastaavuutta, eli ne ovat ilmiöinä samanlaisia, siinä että havainnoitsija ne "tuntee".

Tässä mielessä Greene toteaa, että vapaassa pudotuksessa oleva havainnoitsija ei "tunne" sitä nopeutta, jolloin vaikka hänen nopeutensa kasvaa lähestyttäessä sitä massaa, niin kyse ei ole kiihtyvyydestä koska hän ei tunne sitä nopeuden muutosta.

Tuo kuulostaa hassulta? Ehkäpä sulla on valistunut käsitys asiasta?
Tämä on helppo ymmärtää arkijärjelläkin. Asetetaan havaitsija suljettuun laatikkoon, joka on vapaassa pudotuksessa kohti taivaankappaletta (ilman kaasukehää tietysti, jotta vastus poistuu). Havaitsija ei voi millään fysikaalisella kokeella selvittää, että onko tyhjässä laakeassa avaruudessa vai putoaako kohti jotain kappaletta. Laatikko ja havaitsija etenevät aika-avaruuden geodeesia, joka vastaa laakean avaruuden suoraa viivaa.

Toisin päin. Asetetaan laatikkoon moottori, jonka seurauksena laatikolla on tasainen kiihtyvyys g. Havaitsija ei voi erottaa onko taivaankappaleen pinnalla paikallaan vai kiihtyykö tyhjässä avaruudessa kiihtyvyydellä g.

Tämä on ekvivalenssiperiaate yksinkertaistettuna.
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 12:59 Ja toinen kysymys mulla liittyy kanssa tähän gravitaation aiheuttamaan kiihtyvyyteen (g). Tuo lukuhan saa eri arvoja riippuen siitä millä etäisyydellä se Maan pinnasta lasketaan, ja jossakin avaruudessa se sitten putoaa nollaan.
Vakioetäisyydelle r asetetun havaitsijan (leijuva havaitsija, hovering observer, shell observer) kiihtyvyysmittari näyttää arvoa g, joka riippuu siitä millä etäisyydellä r tuo havaitsija on. Etäällä laakeassa avaruudessa g=0.
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 12:59 Sen verran jostakin luin, että itse asiassa jos asiaa tarkastellaan vaikkapa Kansainvälisen avaruusaseman kannalta, niin tuossa etäisyydessä taikka r-arvossa tuo g-arvo on vielä olemassa eikä siis nolla.

Astronautit eivät siis ole g-voimien ulottumattomissa, vaan tuo heidän painottomuutensa johtuukin siitä, että he ovat Maata kiertävällä radalla, jonka kiertonopeus on sellainen, että tuo avaruusasema on käytännössä eräänlaisessa "vapaassa pudotuksessa" Maahan nähden, jolloinka astronautit eivät tunne sitä kiihtyvyyttä.
Kyllä. Asema kiertää maata geodeesilla, joka vastaa laakean avaruuden suoraa viivaa. Eräs toinen geodeesi on vapaa pudotus säteen suunnassa kohti maata, kuten edellä mainitsin. Molemmat ovat paikallisesti laakean avaruuden inertiaalikehyksiä.
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 12:59 Ja lopuksi, kun on ollut puhe painovoimakiihtyvyydestä, niin kuinkapa sen johtaminen yleisestä suhteellisuusteoriasta mahtaa onnistua? Kuinka siis vaikkapa tuo Auringon pinnan g-arvo, joka on jotakin päälle 270 m/s/s niin johdetaan GTR:ssä?
Asetetaan shell observer vakioetäisyydelle r. Kulmasuuntiin liikettä ei ole, joten paikka x = (0,r,0,0). Havaitsijan nelinopeus kahdella ensimmäisellä komponentilla lausuttuna on [math], mutta vakioetäisyydellä r säteen suuntainen komponentti on nolla. Nelinopeus on siis [math].

Tämän tilanteen Schwartzschild-metriikka voidaan kirjoittaa (c=1)

[math]

missä asetettu [math]. Ratkaistaan nopeuden aikakomponentti

[math]

Nelinopeus on

[math]

Schwartzschild-metriikassa havaitsijan liikeyhtälö kirjoitetaan

[math]

missä [math] on havaitsijan koordinaatisto-nelikiihtyvyys, kun siis käytetään Swartzschild-koordinaatteja (t,r). Nuo [math] ovat konnektiokertoimia (myös nimitys Christoffelin symbolit). Nämä löytyvät lähes kaikista yleisen suhteellisuusteorian kirjoista. Niiden laskeminen alusta lähtien olisi hyvin työlästä, joten poimin lähteistä. Liikeyhtälön voi ajatella siten, että se Newtonin II laki gravitaatiossa.

Koordinaatti-indeksit edellä ovat [math]. Tässä tapauksessa [math]. Ainoa merkitsevä konnektiokerroin on

[math]

Liikeyhtälöstä saadaan suoraan

[math]

Havaitsija mittaa kiihtyvyysmittarilla ominaiskiihtyvyyden g, joka on siis 3-vektori. Tämä saadaan 4-kiihtyvyydestä kaavalla [math]. Tässä tapauksessa on vain r-komponentti, joten

[math]

Tästä saadaan ratkaisu

[math]

SI-yksiköitä varten palautetaan luonnonvakio c ja sijoitetaan Schwartzschildin säde [math]

[math]

Numeerisen arvon SI-yksiköissä saat helposti Wolfram Alphasta

Koodi: Valitse kaikki

(gravitational constant)*(sun mass)/((sun radius)^2*sqrt(1-(2*(gravitational constant)*(sun mass))/((speed of light)^2(sun radius))))
Avatar
Purdue
Reactions:
Viestit: 1445
Liittynyt: 17 Helmi 2024, 12:00
Paikkakunta: Helsinki

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Purdue »

Q-S kirjoitti: 08 Kesä 2024, 14:36

SI-yksiköitä varten palautetaan luonnonvakio c ja sijoitetaan Schwartzschildin säde [math]

[math]

Numeerisen arvon SI-yksiköissä saat helposti Wolfram Alphasta

Koodi: Valitse kaikki

(gravitational constant)*(sun mass)/((sun radius)^2*sqrt(1-(2*(gravitational constant)*(sun mass))/((speed of light)^2(sun radius))))
Jep, ja kiitos tästä! Kokeilin tuota Wolfram Alphassa sun ehdotuksen mukaisesti, ja sain arvon: 274.2 m/s^2

Eli tuohan on juuri niin kuin pitääkin! Tuota kaavaa käyttämällä homman pitäisi onnistua siis jatkossakin.
~ The road to wisdom is paved with the pain of understanding the world.
Eusa
Reactions:
Viestit: 1692
Liittynyt: 07 Joulu 2022, 12:05

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Eusa »

SST:n (suppea) ja YST:n (yleinen) perusero on siinä, että SST käsittelee kiihtymättömiä inertiaalikoordinaatistoja, joiden kesken aikaprojektiot ovat symmetrisiä - eri kehyksiin vain "siirrytään" ja silleen muodostuu ikäeroa, kun taas YST käsittelee ei-inertiaalisia koordinaatistoja, jolloin kiihtyvyys × etäisyys määrittää kuinka muiden kohteiden suhteen muodostuu ikäeroa.
Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Q-S
Reactions:
Viestit: 528
Liittynyt: 30 Marras 2022, 16:44

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Q-S »

Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 13:53 Ja otetaanpa tähän STR:n ja GTR:n eroihin nyt tällainen näkökanta. Ajatellaan vaikkapa näin:

>> Kuinka aika ja matka eroavat objektien kohdalla jotka lähestyvät valon nopeutta taikka suuren massan pintaa kohtisuorassa?

¤ GTR: kun jokin havainnoitsija lähestyy suuren massa pintaa, niin se kokee:
a) ajan hidastuvan
Määritelmien kanssa pitää olla todella tarkka.

Lähestyvä havaitsija viittaa selvästi vapaan pudotuksen havaitsijaan, joka on eri kuin pinnalla vakioetäisyydellä r oleva havaitsija. Molemille voidaan laskea ajan hidastuminen, mutta ne eivät ole samat.
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 13:53
b) etäisyyksien kasvavan
Pitää määritellä mikä on 'etäisyys'. Onko se havaitsijan mukana oleva mittakeppi? Vai tähden pinnalle pystyyn asetettu mittakeppi? Vai kahden avaruudellisen pisteen etäisyys samanaikaisuuden tasolla (jota ei gravitaatiossa ole!). Vai onko se pinnalla pystyssä oleva mittatikku, jonka vieressä vapaasti putoava havaitsija putoaa ja katsoo mittatikun yksiköiden välejä? Vai onko kyseessä peräti vapaasti putoava mittatikku?

Asia menee vielä tarkemmaksi, kun putoaminen etenee Schwartzschild-säteen sisäpuolelle. Mutta ulkopuolellakin tuo 'etäisyys' voidaan määritellä tusinalla eri tavalla.
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 13:53
¤ STR: kun jokin havainnoitsija lähestyy valon nopeutta, niin suhteessa paikallaan olevaan havainnoitsijaan, se kokee:
a) ajan hidastuvan,
"Kokee ajan hidstuvan". Havaitsija ei koe elimistössään hidastumista. Hän on samanlaisessa inretiaalissa kuin vertailuintertiaalikin. Ajan hidastuminen tarkoittaa suhteellista ajan hidastumista, eli siis havaitsijan ympärillään näkemän aika-avaruuden muutosta, jonka perusteella hän näkee aika-avaruuden siten, että toisen liikuvan havaitsijan aika hidastuu ja etäisyydet lyhenevät.
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 13:53
b) oman itsensä mitan kutistuvan menosuuntaan päin
Oma 1m pituinen mittatikku on aina 1 m mittainen tikku. Oma tikku ei kutistu, vaan omalla mitalla mitatu etäisyydet toisen paikallaan olevan havaitsijan avaruudessa ovat kutistuneet tämän liikkuvan havaitsijan näkemässä aika-avaruudessa.
Eusa
Reactions:
Viestit: 1692
Liittynyt: 07 Joulu 2022, 12:05

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Eusa »

"Kuinka nopeasti kiihdyttävä havainnoitsija voi kaareuttaa aika-avaruutta ympärillään?"

Kiihdyttävä avaruusalus sytyttää heti äärettömiin ulottuvan gravitaatiokentän, kun sytyttää moottorinsa. Alus + pakokaasut muodostavat yhdessä kappaleen, jonka massapiste ei kiihdy ja siinä kappalevalinnassa ei tuota syttyvää gravitaatiota esiinny. Pakokaasujen yhteinen massakeskipiste kiihtyy vastasuuntaan kuin alus ja sytyttää siten myös vastasuuntaisen gravitaatiokentän. Kiihtyvyys riippuu massasta - ikääntymisen riippuvuus kiihtymisen määrästä kompensoi niin, että yhteinen aika-avaruus kehittyy tasapainoisesti.

Tähtien ja planeettojen ainekset ovat jatkuvassa törmäyksessä ja kiihtyvät joka suuntaan ulospäin (noste), joka pitää jatkuvaa gravitaatiota kytkettynä. Toisin kuin usein esitetään, Auringon häviäminen (toiseen ulottuvuuteen) sammuttaisi Maan kiertoradan samankertaisesti, sillä auringon ainesten olemassaolon lakattua lakkaisi kaikki siihen korreloituneet aika-avaruuden kaarevat rakenteetkin. Vain, jos Aurinko annihiloituu säteilyksi, saavuttaa säteily ja gravitaatiomuutos Maan 8 minuutissa, jonka jälkeen Maan geodeesi on jonkin muun dominantin määräämä.

On hyvä vielä tarkastella kiihdyttävän avaruusaluksen ja Maan ylöspäin kiihtyvän pinnan eroa demonstroimalla kuinka suuri joukko aluksia voisi demonstroida planeettaa. Se ei tapahdu siten, että ryhmän alukset kiihdyttävät kaikkiin suuntiin yhteisesti valitusta keskipisteestä, sillä sellainen rakennehan laajenisi, vaikka aluksissa saataisiinkin sytytettyä oikeanlaiset gravitaatioputoamiset - keskiön aluelle jäisi törmäilevää pakokaasua. Ei alusarmeijalla voida järkevästi demonstroida oikeanlaista planeettaa - kiihtyvyydet syttyvät lähinnä keskiön suuntaan, ei poispäin.

Kaikkeus voi auttaa laajenemalla ja syöksyttämällä vastaavan tilan vastasuuntaisesti tähtiin, planeettoihin ja muihinkin massallisiin aineksiin. Toisin päin (terveemmin) ajateltuna nosteessa ainekset puskevat toisiaan, tiheämmät putoavat pohjille (mustat aukot, neutronitähdet) ja harvemmat kelluvat "ylempänä/ulompana" ja kaikkein harvinta ovat valonlaatuiset aaltopaketit, joiden laakeimmat suorimmat linjat vaativat tuekseen yleistä laajenemista.
Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Q-S
Reactions:
Viestit: 528
Liittynyt: 30 Marras 2022, 16:44

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Q-S »

Jäi nämä loput kohdat, joten kommentoin vielä lyhyesti
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 13:53 ¤ Eli jos nyt ymmärsin oikein, niin sekä nopeus (vakionopeuksinen liike, STR) että kiihtyvä liike/gravitaatio (GTR) vaikuttavat siten, että aika hidastuu, ja kaikki havainnoitsijan sisäiset prosessit (kellot) käyvät hitaammin. Kummatkin vaikuttavat siis aikadimensioon.

¤ Sen sijaan STR ja GTR eroavat siinä kuinka tiladimensio käyttäytyy:
- GTR:ssä lähestyttäessä suurta massaa etäisyydet kasvavat, eli aika-avaruuden tiladimensio muuttuu.
- STR:ssä vain sen havainnoitsijan oma pituus liikesuunnassa lyhenee, mutta itse aika-avaruuden tiladimensio pysyy vakiona.
Kello on laite, joka mittaa aika-avaruuden käyrän pituutta. Se on aika-avaruuden 'matkamittari'. Kaikki ajan hidastumiset palautuvat lopulta havaitsijoiden kulkeman aika-avaruuden käyrän pituuseroksi. Tässä siis kyse 4-ulotteisesta aika-avaruudesta ja neliulotteiseen avaruuteen piirtyvästä käyrästä, jota kello mittaa.
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 13:53 ¤ Sitten se suurin kysymys?
- Jos ajatellaan että STR kuvaa constant liikettä, eli vakionopeuksista liikettä, jossa havainnoitsijan nopeus ei muutu, niin silloin hän kokee lähestyttäessä valon nopeutta liikesuuntaansa nähden pituutensa lyhenemisen ja kellojensa hidastumisen, muttei matkan lyhenemistä.
Muiden 3d-pituus lyhenee liikesuunnassa, oma pituus on sama kuin ennenkin. Myös kellot tikittävät kuten ennenkin, mutta suurella nopeudella liikkuva havaitsija mittaa lyhyemmän matkan aika-avaruuden käyrällä verrattuna toiseen havaitsijaan, joka mittaa pidemmän käyrän. Käyrän pituus mitataan kellolla. Liikkuvan havaitsijan käyrä on aika-avaruuden metriikalla laskettuna lyhyempi --> kello mittaa lyhyemmän ajan. Toinen havaitsija joka on 3d-avaruudessa paikallaan, matkustaa aika-avaruudessa pidemmän käyrän, kun pituus lasketaan aika-avaruuden metriikalla -> kello mittaa pidemmän ajan.
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 13:53 - Jos ajatellaan puolestaan GTR:n kuvaamaan kiihtyvää liikettä, niin jos ajatellaan vaikkapa kiinteällä kiihtyvyysarvolla 1g kiihdyttävää havainnoitsijaa, niin silloinhan kaiken järjen mukaan ajan hidastumisen ohella, sen kuljettavan matkan on pidennyttävä!
Tässä liikkuva havaitsija, oli sitten kiihtyvä tai vakionopeudella, mittaa kellolla aika-avaruuden käyrän, joka on 4-ulotteisena käyränä lyhyempi kuin paikallaan olevan havaitsijan mittaama. Ja kyllä, ajan hidastuminen ilmenee sekä laakean avaruuden kiihtyvässä liikkeessä kuin myös gravitaatiossa shell observerin ajan hidastumisena.

Suurella nopeudella kuljettu 3-ulotteinen matka on myös kelvollinen suure. Tässä pitää tosin ensin määritellä, että mitä vasten matka mitataan. Toisen havaitsijan pituuskontraktoituneita etäisyyksiä vasten, vaiko mukana olevan kartan etäisyyksiä vasten.

Ja gravitaatiossa 3d-etäisyys on jälleen hyvinkin kimurantti suure :? . Paitsi, jos esimerkiksi pudotaan vapaassa pudotuksessa mittatikun vierssä, jolloin kuljettu matka nähdään suoraan mittatikun numeroista. Vielä voisin kerrata, että proper distance etäisyyksiä mikään massallinen kappale ei voi kulkea, sillä proper distancen päät ovat samassa ajassa, ja näiden välillä massakappale ei voi liikkua ilman, että aika etenisi. Fysikaalinen proper distancen mittaaminen ei siis ole mahdollista. Laakeassa avaruudessa tuo on toisaalta mahdollista mitata.
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 13:53 Koska kiihtyvä liike vastaa gravitaatiota!
Tämä on erittäin oikein. Kiihtyvä liike ja gravitaatio ovat ekvivalentteja, vrt. ekvivalenssiperiaate.
Avatar
Purdue
Reactions:
Viestit: 1445
Liittynyt: 17 Helmi 2024, 12:00
Paikkakunta: Helsinki

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Purdue »

Heitetäänpä sitten kysymys joka koskee geometriaa ja sitä kuinka esim. laskennallisesti avaruuden geometriaa ja useiden kappaleiden liikeratoja käytännössä mallinnetaan.

Otetaan esimerkin vuoksi tuollainen kuvio, jossa ei ole yhtä origoa ja koordinaatiostoa, vaan nuo kaksi massaa tuossa kuviossa ovat ikään kuin vapaassa liikkeessä suhteessa toisiinsa:

SpaceTime_7_080624a.jpg

Eli miten mä näkisin tuon kuvion:
- Ensinnäkin jotta noita massoja ja niiden liikeitä voisi mallintaa, niin niiden niiden koordinaatistojen pitäisi olla ekvivalentteja. Eli massan M1 ja massan M2 (x,y,z) suunnat olisivat yhteneväiset.
- Toisekseen kumpikin massa tarvitsisi muuttujan joka kuvaa pelkästään sen massan liiketilaa. Eli olisi muuttujat, jotka kuvaavat M1 ja M2 liiketiloja (x,y,z) suunnissa.
- Ja kolmanneksi pitäisi olla laskennallinen muuttuja, joka kuvaa massojen M1 ja M2 etäisyyttä toisiinsa, ja se olisi siis tuossa kuviossa tuo r(M1, M2) katkoviiva massojen välillä.


Kysymys kuuluu:
- Riittäisikö nuo kolme muuttujaa taikka parametria kuvaamaan noiden massojen suhteellista liikettä (x,y,z) ulottuvuuksilla?
- Ja laskennallisesti, kun otetaan r(M1, M2) huomioon, niin pystyisikö tuolla tavalla hahmottamaan noiden kappaleiden relativistista etäisyyttä (t,x,y,z) ulottuvuuksilla?


Ja se varsinainen kysymys, jonka pohjustukseksi tuon yllä olevan kuvion värkkäsin on se, että kuinka oikeasti fyysikot ja matemaatikot tuollaisia kahden taikka useamman kappaleen suhteellisia liikkeitä mallintavat?


Tuo idea tuossa yllä on se, että mitään yhteistä aika-avaruudellista koordinaatistoa ei tarvita sinne taustalle, vaan lähdetään siitä, että massojen (x,y,z) suunnat asetetaan yhteneväisiksi, ja sen jälkeen nuo kolme muuttujaa kuvaavat näiden massojen liiketiloja sekä etäisyyttä. Kaikki tarvittava informaatio siis sisältyy noiden massojen M1 ja M2 liiketiloja ja etäisyyttä kuvaaviin muuttujiin, jotka voidaan kaikki laskea erikseen. Kummallakin massalla on siis oma koordinaatistonsa, joita niiden liiketiloja kuvaavat muuttujat seuraavat.
~ The road to wisdom is paved with the pain of understanding the world.
Eusa
Reactions:
Viestit: 1692
Liittynyt: 07 Joulu 2022, 12:05

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Eusa »

Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 18:25 Heitetäänpä sitten kysymys joka koskee geometriaa ja sitä kuinka esim. laskennallisesti avaruuden geometriaa ja useiden kappaleiden liikeratoja käytännössä mallinnetaan.

Otetaan esimerkin vuoksi tuollainen kuvio, jossa ei ole yhtä origoa ja koordinaatiostoa, vaan nuo kaksi massaa tuossa kuviossa ovat ikään kuin vapaassa liikkeessä suhteessa toisiinsa:


SpaceTime_7_080624a.jpg


Eli miten mä näkisin tuon kuvion:
- Ensinnäkin jotta noita massoja ja niiden liikeitä voisi mallintaa, niin niiden niiden koordinaatistojen pitäisi olla ekvivalentteja. Eli massan M1 ja massan M2 (x,y,z) suunnat olisivat yhteneväiset.
- Toisekseen kumpikin massa tarvitsisi muuttujan joka kuvaa pelkästään sen massan liiketilaa. Eli olisi muuttujat, jotka kuvaavat M1 ja M2 liiketiloja (x,y,z) suunnissa.
- Ja kolmanneksi pitäisi olla laskennallinen muuttuja, joka kuvaa massojen M1 ja M2 etäisyyttä toisiinsa, ja se olisi siis tuossa kuviossa tuo r(M1, M2) katkoviiva massojen välillä.


Kysymys kuuluu:
- Riittäisikö nuo kolme muuttujaa taikka parametria kuvaamaan noiden massojen suhteellista liikettä (x,y,z) ulottuvuuksilla?
- Ja laskennallisesti, kun otetaan r(M1, M2) huomioon, niin pystyisikö tuolla tavalla hahmottamaan noiden kappaleiden relativistista etäisyyttä (t,x,y,z) ulottuvuuksilla?


Ja se varsinainen kysymys, jonka pohjustukseksi tuon yllä olevan kuvion värkkäsin on se, että kuinka oikeasti fyysikot ja matemaatikot tuollaisia kahden taikka useamman kappaleen suhteellisia liikkeitä mallintavat?


Tuo idea tuossa yllä on se, että mitään yhteistä aika-avaruudellista koordinaatistoa ei tarvita sinne taustalle, vaan lähdetään siitä, että massojen (x,y,z) suunnat asetetaan yhteneväisiksi, ja sen jälkeen nuo kolme muuttujaa kuvaavat näiden massojen liiketiloja sekä etäisyyttä. Kaikki tarvittava informaatio siis sisältyy noiden massojen M1 ja M2 liiketiloja ja etäisyyttä kuvaaviin muuttujiin, jotka voidaan kaikki laskea erikseen. Kummallakin massalla on siis oma koordinaatistonsa, joita niiden liiketiloja kuvaavat muuttujat seuraavat.


Tuossa analyysia, josta voisit olla kiinnostunut. Joitain bugeja näyttäis lipsahtaneen matematiikkaan.
Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Avatar
Purdue
Reactions:
Viestit: 1445
Liittynyt: 17 Helmi 2024, 12:00
Paikkakunta: Helsinki

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Purdue »

Eusa kirjoitti: 08 Kesä 2024, 18:29
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 18:25 Heitetäänpä sitten kysymys joka koskee geometriaa ja sitä kuinka esim. laskennallisesti avaruuden geometriaa ja useiden kappaleiden liikeratoja käytännössä mallinnetaan.

Otetaan esimerkin vuoksi tuollainen kuvio, jossa ei ole yhtä origoa ja koordinaatiostoa, vaan nuo kaksi massaa tuossa kuviossa ovat ikään kuin vapaassa liikkeessä suhteessa toisiinsa:


SpaceTime_7_080624a.jpg


Eli miten mä näkisin tuon kuvion:
- Ensinnäkin jotta noita massoja ja niiden liikeitä voisi mallintaa, niin niiden niiden koordinaatistojen pitäisi olla ekvivalentteja. Eli massan M1 ja massan M2 (x,y,z) suunnat olisivat yhteneväiset.
- Toisekseen kumpikin massa tarvitsisi muuttujan joka kuvaa pelkästään sen massan liiketilaa. Eli olisi muuttujat, jotka kuvaavat M1 ja M2 liiketiloja (x,y,z) suunnissa.
- Ja kolmanneksi pitäisi olla laskennallinen muuttuja, joka kuvaa massojen M1 ja M2 etäisyyttä toisiinsa, ja se olisi siis tuossa kuviossa tuo r(M1, M2) katkoviiva massojen välillä.


Kysymys kuuluu:
- Riittäisikö nuo kolme muuttujaa taikka parametria kuvaamaan noiden massojen suhteellista liikettä (x,y,z) ulottuvuuksilla?
- Ja laskennallisesti, kun otetaan r(M1, M2) huomioon, niin pystyisikö tuolla tavalla hahmottamaan noiden kappaleiden relativistista etäisyyttä (t,x,y,z) ulottuvuuksilla?


Ja se varsinainen kysymys, jonka pohjustukseksi tuon yllä olevan kuvion värkkäsin on se, että kuinka oikeasti fyysikot ja matemaatikot tuollaisia kahden taikka useamman kappaleen suhteellisia liikkeitä mallintavat?


Tuo idea tuossa yllä on se, että mitään yhteistä aika-avaruudellista koordinaatistoa ei tarvita sinne taustalle, vaan lähdetään siitä, että massojen (x,y,z) suunnat asetetaan yhteneväisiksi, ja sen jälkeen nuo kolme muuttujaa kuvaavat näiden massojen liiketiloja sekä etäisyyttä. Kaikki tarvittava informaatio siis sisältyy noiden massojen M1 ja M2 liiketiloja ja etäisyyttä kuvaaviin muuttujiin, jotka voidaan kaikki laskea erikseen. Kummallakin massalla on siis oma koordinaatistonsa, joita niiden liiketiloja kuvaavat muuttujat seuraavat.
Tuossa analyysia, josta voisit olla kiinnostunut. Joitain bugeja näyttäis lipsahtaneen matematiikkaan.
Jep. Kiitosta videosta. Sen verran pituutta tuolla, että yritän katsoa tuon jossakin välissä paremmalla ajalla ja kommentoin sitä sitten.
~ The road to wisdom is paved with the pain of understanding the world.
Avatar
Neutroni
Reactions:
Viestit: 6581
Liittynyt: 29 Marras 2022, 23:09

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Neutroni »

Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 18:25 Heitetäänpä sitten kysymys joka koskee geometriaa ja sitä kuinka esim. laskennallisesti avaruuden geometriaa ja useiden kappaleiden liikeratoja käytännössä mallinnetaan.

Otetaan esimerkin vuoksi tuollainen kuvio, jossa ei ole yhtä origoa ja koordinaatiostoa, vaan nuo kaksi massaa tuossa kuviossa ovat ikään kuin vapaassa liikkeessä suhteessa toisiinsa:


SpaceTime_7_080624a.jpg


Eli miten mä näkisin tuon kuvion:
- Ensinnäkin jotta noita massoja ja niiden liikeitä voisi mallintaa, niin niiden niiden koordinaatistojen pitäisi olla ekvivalentteja. Eli massan M1 ja massan M2 (x,y,z) suunnat olisivat yhteneväiset.
- Toisekseen kumpikin massa tarvitsisi muuttujan joka kuvaa pelkästään sen massan liiketilaa. Eli olisi muuttujat, jotka kuvaavat M1 ja M2 liiketiloja (x,y,z) suunnissa.
- Ja kolmanneksi pitäisi olla laskennallinen muuttuja, joka kuvaa massojen M1 ja M2 etäisyyttä toisiinsa, ja se olisi siis tuossa kuviossa tuo r(M1, M2) katkoviiva massojen välillä.
Tuollaisessa tapauksessa valitaan jokin koordinaatisto, jossa liikkeitä tarkastellaan. Valinta voidaan tehdä monellakin tavalla ja saada samat tulokset, mutta jos ei noiden massojen vuorovaikutuksia muun maailman kanssa tarvitse huomioida, yksi käytännöllinen tapa on sitoa origo massakeskipisteeseen ja vaatia koordinaatistolta inertiaalisuutta (eli se ei pyöri, pyöriminen on absoluuttinen asia). Sen realisointi vaatii sopivia referenssisuuntia, jollaisina käytännössä voidaan käyttää esimerkiksi etäisiä kvasaareja. Systeemin kuvaamiseen vaaditaan molempien massojen paikkavektorit ja nopeusvektorit tietyllä ajan hetkellä.

Toinen vaihtoehto, jota käytetään jos toinen kappale on paljon massiviisempi (esim. tähti ja planeetta tai atomiydin ja elektroni) on sitoa origo toiseen kappaleista. Sellainen koordinaatisto ei ole inertiaalinen mutta sen vaikutus esim. liikeyhtälöihin tai energiatiloihin voidaan huomioida muuttamalla kevyemmän kappaleen massaa sopivalla tavalla (ns. redusoitu massa).
Tuo idea tuossa yllä on se, että mitään yhteistä aika-avaruudellista koordinaatistoa ei tarvita sinne taustalle, vaan lähdetään siitä, että massojen (x,y,z) suunnat asetetaan yhteneväisiksi, ja sen jälkeen nuo kolme muuttujaa kuvaavat näiden massojen liiketiloja sekä etäisyyttä. Kaikki tarvittava informaatio siis sisältyy noiden massojen M1 ja M2 liiketiloja ja etäisyyttä kuvaaviin muuttujiin, jotka voidaan kaikki laskea erikseen. Kummallakin massalla on siis oma koordinaatistonsa, joita niiden liiketiloja kuvaavat muuttujat seuraavat.
Tarkoittaako tuo "suunnat yhteneväiseksi" että noilla massoilla on jokin kolmiulotteinen rakenne, johon voidaan kiinnittää koordinaatisto? Pistemassoilla niin ei ole. Yhdeksi referenssisuunnaksi voidaan ottaa massojen välinen jana mutta toinen pitää määritellä systeemin ulkopuolelta. En nyt äkkiseltään ala ruokajuomien jälkeen arvailemaan mitkä tuollaisen systeemin vapausasteet ovat. Joku vapaus tai kytkentä muuttujien välillä jää helposti huomaamatta. Olisiko suhteellinen nopeusvektori referenssihetkellä, suhteellinen paikkavektori referenssihetkellä, molempien asennot vaativat 3 vapausastetta, redusoitu massa.
Q-S
Reactions:
Viestit: 528
Liittynyt: 30 Marras 2022, 16:44

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Q-S »

Edellisen kommentoijan lisäksi:
Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 18:25 Ja se varsinainen kysymys, jonka pohjustukseksi tuon yllä olevan kuvion värkkäsin on se, että kuinka oikeasti fyysikot ja matemaatikot tuollaisia kahden taikka useamman kappaleen suhteellisia liikkeitä mallintavat?
Tässä jotain perusperiaatteita: https://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_ ... relativity

Lähtökohtaisesti etsitään ratkaisu Einsteinin kenttäyhtälölle, jota varten valitaan koordinaatisto. Paikka, etäisyys, nopeus, (koordinaatisto-)kiihtyvyys jne täytyy saada ilmaistua koordinaateilla ja muuttujilla, joihin voi sijoittaa numeerisia arvoja. Ja tietysti se tärkein, eli metriikka, lausutaan koordinaatistossa.

On kyllä mahdollista muodostaa abstrakteja lainalaisuuksia differentiaaligeometrian keinoin, mutta laskemiseen tarvitaan koordinaatisto.
Avatar
Stalker
Reactions:
Viestit: 1815
Liittynyt: 05 Joulu 2022, 12:43

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Stalker »

Kolmella massalla menee ymmärtääkseni hankalaksi :roll:
https://sethna.lassp.cornell.edu/Teachi ... /Chaos.htm
Tässä simuloitaneen Maa, Aurinko ja Jupiter systeemiä.
Avatar
Purdue
Reactions:
Viestit: 1445
Liittynyt: 17 Helmi 2024, 12:00
Paikkakunta: Helsinki

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Purdue »

Neutroni kirjoitti: 08 Kesä 2024, 18:43

Tuollaisessa tapauksessa valitaan jokin koordinaatisto, jossa liikkeitä tarkastellaan.


Valinta voidaan tehdä monellakin tavalla ja saada samat tulokset, mutta jos ei noiden massojen vuorovaikutuksia muun maailman kanssa tarvitse huomioida, yksi käytännöllinen tapa on sitoa origo massakeskipisteeseen ja vaatia koordinaatistolta inertiaalisuutta (eli se ei pyöri, pyöriminen on absoluuttinen asia). Sen realisointi vaatii sopivia referenssisuuntia, jollaisina käytännössä voidaan käyttää esimerkiksi etäisiä kvasaareja. Systeemin kuvaamiseen vaaditaan molempien massojen paikkavektorit ja nopeusvektorit tietyllä ajan hetkellä.


Toinen vaihtoehto, jota käytetään jos toinen kappale on paljon massiviisempi (esim. tähti ja planeetta tai atomiydin ja elektroni) on sitoa origo toiseen kappaleista. Sellainen koordinaatisto ei ole inertiaalinen mutta sen vaikutus esim. liikeyhtälöihin tai energiatiloihin voidaan huomioida muuttamalla kevyemmän kappaleen massaa sopivalla tavalla (ns. redusoitu massa).


Tarkoittaako tuo "suunnat yhteneväiseksi" että noilla massoilla on jokin kolmiulotteinen rakenne, johon voidaan kiinnittää koordinaatisto? Pistemassoilla niin ei ole. Yhdeksi referenssisuunnaksi voidaan ottaa massojen välinen jana mutta toinen pitää määritellä systeemin ulkopuolelta.
Mä ajattelisin, että tässä pitää nimenomaan ajatella sen boksin ulkopuolelta, eli sun kommentissa on kummasakin tapauksessa vain yksi origo. Se origo on joko sidottu niiden massojen massakeskipisteeseen, taikka sitten toiseen niistä kappaleista.

Mun idea tossa oli lähinnä se, että jos ajatellaan taivaankappaleita, kuten tähtiä jotka kiertävät galaksin keskustaa samassa suunnassa, niin esimerkiksi kahden tähden liikettä kuvattaisiin siten että olisi kaksi origoa, ja kolmen tähden liikettä että olisi kolme origoa, jne. Eli tietyllä tavalla tuo olisi keino lähestyä n-kappaleen ongelmaa.

Mutta niiden tähtien origoista lähtevät x,y,z -akselit olisi siis vakioitu siten, että ne akselit osoittavat samoihin kuvitteellisiin suuntiin joka tähden kohdalla.

Tällöin Tähti 1:n kohdalla olisi muuttuja joka seuraisi pelkästään sen liiketilaa siinä sen omasta origosta lähtevässä kehyksessä, eli suunta ja nopeus. Samoin Tähti 2:n kohdalla olisi muuttuja, joka tarkastelisi sen tähden liikettä siitä sen tähden omasta origosta lähtien eli suunta ja nopeus. Ja sitten olisi tietty tarve kolmannelle muuttujalle, joka seuraisi niiden kahden kappaleen välistä laskennallista etäisyyttä.

Tuo oli siis se idea. En tiedä kuinka se toimisi käytännössä, mutta pointti siis se ettei tuossa järjestelmässä olisi yhtä yhteistä origoa, vaan kaikki tähdet/massat liikkuisivat "vapaasti" suhteessa oman kehyksensä (x,y,z) mukaisesti.

Mutta koska jokaisen massan oman origon (x,y,z) suunnat olisivat saman suuntaisia kuin toisten massojen (x,y,z) suunnat, niin kun tiedetään systeemin alkutila, eli kummankin massan liiketila ja etäisyys toisistaan, niin sen systeemin myöhemmät tilat voidaan myös laskea pelkästään seuraamalla kummankin massan liiketilojen muutoksia.

Eli mitään yhteistä origoa tuolle järjestelmälle ei tarvita. Vaan jokaisella tarkasteltavalla massakeskittymällä olisi oma origonsa. Eli tuossa olisi vähän erilainen näkemys siitä kuinka n-kappaleen liikettä voitaisiin mallintaa.

Tuota voitaisiin soveltaa tähtien liikkeen ohella vaikka galaksien suhteellisen liikkeen analyysiin, koska galaksit nyt ei pyöri minkään yhteisen keskipisteen ympärillä.
~ The road to wisdom is paved with the pain of understanding the world.
Avatar
Neutroni
Reactions:
Viestit: 6581
Liittynyt: 29 Marras 2022, 23:09

Re: Ajasta, Avaruudesta ja Valon Nopeudesta

Viesti Kirjoittaja Neutroni »

Purdue kirjoitti: 08 Kesä 2024, 20:03 Mun idea tossa oli lähinnä se, että jos ajatellaan taivaankappaleita, kuten tähtiä jotka kiertävät galaksin keskustaa samassa suunnassa, niin esimerkiksi kahden tähden liikettä kuvattaisiin siten että olisi kaksi origoa, ja kolmen tähden liikettä että olisi kolme origoa, jne. Eli tietyllä tavalla tuo olisi keino lähestyä n-kappaleen ongelmaa.

Mutta niiden tähtien origoista lähtevät x,y,z -akselit olisi siis vakioitu siten, että ne akselit osoittavat samoihin kuvitteellisiin suuntiin joka tähden kohdalla.

Tällöin Tähti 1:n kohdalla olisi muuttuja joka seuraisi pelkästään sen liiketilaa siinä sen omasta origosta lähtevässä kehyksessä, eli suunta ja nopeus. Samoin Tähti 2:n kohdalla olisi muuttuja, joka tarkastelisi sen tähden liikettä siitä sen tähden omasta origosta lähtien eli suunta ja nopeus. Ja sitten olisi tietty tarve kolmannelle muuttujalle, joka seuraisi niiden kahden kappaleen välistä laskennallista etäisyyttä.

Tuo oli siis se idea. En tiedä kuinka se toimisi käytännössä, mutta pointti siis se ettei tuossa järjestelmässä olisi yhtä yhteistä origoa, vaan kaikki tähdet/massat liikkuisivat "vapaasti" suhteessa oman kehyksensä (x,y,z) mukaisesti.
Koordinaatistoja voi määritellä vaikka kuinka monta, jos haluaa. Laskuissa pitää sitten aina tehdä asianmukaiset muunnokset, kun tarkastellaan suureita eri koordinaatistoissa. Käytännössä se tekee asiat vain vaikeiksi ja monen kappaleiden systeemien laskeminen suoritetaan yhdessä koordinaatistossa. Mutta jos systeemi on esim. selvästi hierarkkinen (esim. planeettaa kiertävä kuut), ne voidaan laskea planeettaan tai planeetta-kuut -järjestelmän painopisteeseen kiinnitetyssä koordinaatistossa.
Vastaa Viestiin