Ongelmaketju - ratkaise & esitä ★ Toimittajan suosikki

[JMe1]

Oletetaan, että sinulla on kolme kulhoa: 8, 5 ja 3 litran tilavuudet. Jaa 8 litraa puoliksi (4 + 4 litraa) käyttäen mahdollisimman vähän vedensiirtoja. Huomaa, että 8 litran kulho on aluksi täytetty 8 litralla vettä ja kaksi muuta kulhoa ovat tyhjiä – se on kaikki vesi, mitä sinulla on jäljellä.

Malliratkaisussa on 7 kaatoa.

[Ykkösnolla]

Oletetaan, että sinulla on kolme kulhoa: 8, 5 ja 3 litran tilavuudet. Jaa 8 litraa puoliksi (4 + 4 litraa) käyttäen mahdollisimman vähän vedensiirtoja. Huomaa, että 8 litran kulho on aluksi täytetty 8 litralla vettä ja kaksi muuta kulhoa ovat tyhjiä – se on kaikki vesi, mitä sinulla on jäljellä.

Malliratkaisussa on 7 kaatoa.

Vesimäärän 8 litraa voi jakaa noihin astioihin vain 24 tavalla (8+0+0, 7+1+0, …, 0+5+3). Kirjoitin nämä kaikki 24 paperille silmien eteen, jolloin pystyy mukavasti näkemään, mistä pääsee mihin (piirtelin pieniä nuolia). Näin löysinkin melko pian 7 pituisen reitin "8+0+0":sta "4+4+0":aan.

[JMe1]

Kirjoitin nämä kaikki 24 paperille

Systemaattista ongelman ratkaisua. Itse diggaan enemmän intuitiota.

[Ykkösnolla]

Kirjoitin nämä kaikki 24 paperille

Systemaattista ongelman ratkaisua. Itse diggaan enemmän intuitiota.

Siinäkin on puolensa. Itse tosiaan haen usein ratkaisuja pieniä yksityiskohtia katselemalla, siellä totuus usein piilottelee.

[JMe1]

Hieman kevyempi sarjassa vedenkaatotehtävät:
Kuinka voit mitata 6 litraa vettä käyttämällä vain 4 ja 9 litran kulhoja?

[Eusa]

Hieman kevyempi sarjassa vedenkaatotehtävät:
Kuinka voit mitata 6 litraa vettä käyttämällä vain 4 ja 9 litran kulhoja?

Lopputilanteeseen tullaan niin, että 4 litran kulhossa on yksi litra pohjalla ja kun 9 litran täysi kulho vajennetaan siihen mitä menee 3 litraa, niin jää 6 litraa.

[Ykkösnolla]

Ratkaisu näkyy olevan sellainen, että sanamuotoa voisi tiukentaa: uutta vettä saa tuoda vain 4 ja 9 litran erissä, eli vain tyhjän astian saa täyttää uudella vedellä. (Tämä ei siis vaikuta asiaan, taitaa jopa selkeyttää tehtävän miettimistä.)

(Oletan myös, että vettä saa vapaasti kaataa pois (eli astian saa tyhjentää)! Ja että vettä riittää.)

Omassa ratkaisussani on kaikkiaan 10 tilannetta,

- ensimmäisenä lähtötilanne 0+0,
- toisena 0+9 (täytin ison astian),
...
- kahdeksantena 1+9 (eli ratkaisuni lienee sama kuin Eusalla)
- yhdeksäntenä 4+6 (kaadoin isosta astiasta pieneen niin paljon kuin siihen mahtui)
- kymmenentenä 0+6 (tyhjensin pienen astian)

Tässä myös edellisen tehtävän ratkaisu, jos on vaikka halua tarkastaa ja huomauttaa mahdollisista virheistä:
(8,0,0)
(3,5,0)
(3,2,3)
(6,2,0)
(6,0,2)
(1,5,2)
(1,4,3)
(4.4,0)

[JMe1]

Tässä myös edellisen tehtävän ratkaisu, jos on vaikka halua tarkastaa ja huomauttaa mahdollisista virheistä:

Oikealtahan tuo näyttää:
Kaada 5 litraa 8 litran säiliöstä 5 litran kulhoon,
Kaada 3 litraa 5 litran säiliöstä 3 litran kulhoon,
Kaada nämä 3 litraa takaisin 8 litran kulhoon,
Kaada loput 2 litraa 5 litran säiliöstä 3 litran kulhoon,
Kaada 5 litraa 8 litran säiliöstä 5 litran kulhoon,
Kaada puuttuva 1 litra 5 litran säiliöstä 3 litran kulhoon (5 litran kulhossa pitäisi olla jäljellä 4 litraa),
Kaada 3 litraa takaisin 3 litran säiliöstä 8 litran kulhoon (ja siinä kaikki - 8 litran kulhossa 4 litraa).

[Konemies]

Ei ole teillä desin mittoja kulhossa? Ostin Lidlistä kivan mittakulhosarjan jossa kulhot menevät sisäkkäin.

[Ykkösnolla]

Tässä pari ongelmaa, parempien puuttuessa:

1) Piirrä kulma (suuruudella ei ole väliä, vaikkapa affa=100 astetta). Merkitse kulman kylkiä o ja v (oikea kylki ja vasen kylki). Kutsutaan kulmia kylkien mukaan, tämä on siis kulma ov.
Puolita kulma alfa=ov, merkitse puolittajaa p1.
Puolita kulma op1, merkitse puolittajaa p2.
Puolita kulma p1p2, merkitse puolittajaa p3.
Puolita kulma p2p3, merkitse puolittajaa p4.
Puolita kulma p3p4, merkitse puolittajaa p5.
...
Mikä on kulman opn suuruus? Mikä on sen raja-arvo, kun n -> ääretön? (Nämä ovat siis alfan lausekkeita.)

2) Heitetään kolikkoa 100 kertaa, ja kootaan tulos 10x10 taulukkoon (neliön muotoon siis). Etsitään vierekkäisiä HH-pareja ja HT-pareja, sekä "ylhäältä alas"- että "vasemmalta oikealle"-suunnissa (mutta ei tietenkään toisiin suuntiin). Mikä on todennäköisyys, että HT-pareja on enemmän? Ratkaise ohjelmoimalla. (Tai kevyempiä versioita, käy kaikki vaihtoehdot läpi: 4 heittoa kootaan 2x2-taulukkoon tai 9 heittoa 3x3-taulukkoon. Tai kokoa 125 = 5x5x5 heittoa kuutiomuotoon ja...)

[Ykkösnolla]

Ei ole teillä desin mittoja kulhossa? Ostin Lidlistä kivan mittakulhosarjan jossa kulhot menevät sisäkkäin.

Nyt on niin, että matematiikassa voi helposti käsitellä vaikka miljoonan litran kulhoja. Eikä tarvitse mennä kuntosalille.

[Tauko]

Täällä tuntuu olevan ohjelmoinnista kiinnostuneita, joten tehtävä (saa ratkaista myös ohjelmoimatta).

1) On 3x3 ruudukko.
Lähtien vasemmasta alakulmasta, voiko ruudukon käydä läpi shakkihevosen siirroin, että jokaisessa ruudussa käydään täsmälleen kerran? Jos voi, esitä reitti.

2) Entä 5x5 ruudukko?

[Eusa]

Täällä tuntuu olevan ohjelmoinnista kiinnostuneita, joten tehtävä (saa ratkaista myös ohjelmoimatta).

1) On 3x3 ruudukko.
Lähtien vasemmasta alakulmasta, voiko ruudukon käydä läpi shakkihevosen siirroin, että jokaisessa ruudussa käydään täsmälleen kerran? Jos voi, esitä reitti.

2) Entä 5x5 ruudukko?

3×3 -keskiruutu ei selvästikään ole kuljettavissa ratsulla minkään muun ruudun kesken.

[Tauko]

Täällä tuntuu olevan ohjelmoinnista kiinnostuneita, joten tehtävä (saa ratkaista myös ohjelmoimatta).

1) On 3x3 ruudukko.
Lähtien vasemmasta alakulmasta, voiko ruudukon käydä läpi shakkihevosen siirroin, että jokaisessa ruudussa käydään täsmälleen kerran? Jos voi, esitä reitti.

2) Entä 5x5 ruudukko?

3×3 -keskiruutu ei selvästikään ole kuljettavissa ratsulla minkään muun ruudun kesken.

OK, entä 3x4 ruudukko? Ennen 5x5 probleemaa.

[POPE]

Tässä pari ongelmaa, parempien puuttuessa:

1) Piirrä kulma (suuruudella ei ole väliä, vaikkapa affa=100 astetta). Merkitse kulman kylkiä o ja v (oikea kylki ja vasen kylki). Kutsutaan kulmia kylkien mukaan, tämä on siis kulma ov.
Puolita kulma alfa=ov, merkitse puolittajaa p1.
Puolita kulma op1, merkitse puolittajaa p2.
Puolita kulma p1p2, merkitse puolittajaa p3.
Puolita kulma p2p3, merkitse puolittajaa p4.
Puolita kulma p3p4, merkitse puolittajaa p5.
...
Mikä on kulman opn suuruus? Mikä on sen raja-arvo, kun n -> ääretön? (Nämä ovat siis alfan lausekkeita.)

2) Heitetään kolikkoa 100 kertaa, ja kootaan tulos 10x10 taulukkoon (neliön muotoon siis). Etsitään vierekkäisiä HH-pareja ja HT-pareja, sekä "ylhäältä alas"- että "vasemmalta oikealle"-suunnissa (mutta ei tietenkään toisiin suuntiin). Mikä on todennäköisyys, että HT-pareja on enemmän? Ratkaise ohjelmoimalla. (Tai kevyempiä versioita, käy kaikki vaihtoehdot läpi: 4 heittoa kootaan 2x2-taulukkoon tai 9 heittoa 3x3-taulukkoon. Tai kokoa 125 = 5x5x5 heittoa kuutiomuotoon ja...)

1) alfa=a
op1=a/2
op2=a/2-a/4
op3=a/2-a/4+a/8
opn=a/2*∑(-1/2)^(n-1)—>a/3, kun n—>∞