Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Paikalla
Avatar
Stalker
Reactions:
Viestit: 1624
Liittynyt: 05 Joulu 2022, 12:43

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Stalker »

Tuulispää kirjoitti: 29 Touko 2023, 12:17
Stalker kirjoitti: 29 Touko 2023, 11:59 Sekin tiedetään että matematiikkaa hänelle opetti hänen matematiikan opettajansa!
Jännempää on tietää että vaimo teki matematiikan suhtikseen.
Kyllä se on sittenkin osa juutalaisten salaliittoa, nimittäin
https://www.redalyc.org/journal/5117/511767145014/html/
Milenahan oli serbi ja nethän ei ole juutalaisia.
Avatar
Tuulispää
Reactions:
Viestit: 9940
Liittynyt: 30 Marras 2022, 09:24
Viesti:

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Tuulispää »

Stalker kirjoitti: 29 Touko 2023, 16:42
Tuulispää kirjoitti: 29 Touko 2023, 12:17
Stalker kirjoitti: 29 Touko 2023, 11:59 Sekin tiedetään että matematiikkaa hänelle opetti hänen matematiikan opettajansa!
Jännempää on tietää että vaimo teki matematiikan suhtikseen.
Kyllä se on sittenkin osa juutalaisten salaliittoa, nimittäin
https://www.redalyc.org/journal/5117/511767145014/html/
Milenahan oli serbi ja nethän ei ole juutalaisia.

Miksi oli tärkeeää saada näyttämään siltä, että Einstein olisi sen keksinyt ?
Paikalla
Avatar
Stalker
Reactions:
Viestit: 1624
Liittynyt: 05 Joulu 2022, 12:43

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Stalker »

Tuulispää kirjoitti: 30 Touko 2023, 08:03
Stalker kirjoitti: 29 Touko 2023, 16:42
Tuulispää kirjoitti: 29 Touko 2023, 12:17
Stalker kirjoitti: 29 Touko 2023, 11:59 Sekin tiedetään että matematiikkaa hänelle opetti hänen matematiikan opettajansa!
Jännempää on tietää että vaimo teki matematiikan suhtikseen.
Kyllä se on sittenkin osa juutalaisten salaliittoa, nimittäin
https://www.redalyc.org/journal/5117/511767145014/html/
Milenahan oli serbi ja nethän ei ole juutalaisia.

Miksi oli tärkeeää saada näyttämään siltä, että Einstein olisi sen keksinyt ?
No tiedäthän sinä juutalaiset.
Q-S
Reactions:
Viestit: 352
Liittynyt: 30 Marras 2022, 16:44

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Q-S »

Varaktori kirjoitti: 28 Touko 2023, 13:44 No joo aloitetaan vaikka Feymannin propakaattorista. :mrgreen:
Koetan konkreettisesti. Oletetaan, että hiukkanen A on ajanhetkellä t₀ paikassa x₀, myöhemmin paikassa (t₁,x₁), ja lopuksi paikassa (t₂,x₂), missä siis t₀ < t₁ < t₂. Hiukkanen B on vastaavilla hetkillä paikoissa (t₀,y₀), (t₁,y₁) ja (t₂,y₂).

B muodostaa paikassa (t₀,y₀) ympärilleen "aallon", joka "kohtaa" A:n, kun A on paikassa (t₁,x₁). Tuo hetkellinen vaikutus ilmaistaisiin funktiolla Dᴮᴬ(t₀,y₀,t₁,x₁), missä t₀<t₁. Vastaava Dᴬᴮ(t₁,x₁,t₂,y₂) ilmaisee A:n vaikutuksen B:n myöhempiin ajanhetkiin.

Koko sirontatapahtuman (ts. -∞ < t < ∞) vaikutus B → A ilmaistaan funktiona Dᴮᴬ(t',x',t,x), missä kaikki A:n paikat (t,x) ja B:n paikat (t',x'). Tuo Dᴮᴬ integroidaan siten, että vain B:n menneisyyden paikat t' vaikuttavat A:n tulevaisuuden paikoissa t. Toinen funktio Dᴬᴮ(t,x,t',x') kuvaa A:n vaikutusta B:hen siten, että A:n menneet paikat vaikuttavat B:hen tulevaisuudessa.

Kyse on kuitenkin vuorovaikutuksesta. Kun B:n ympärille ajatellaan "aalto", josta "vain osa kohtaa" A:n, niin A:n "kohdanneiden" aaltojen liikemäärän on muutettava B:n (aallon lähteen) liikemäärää. Ne osat, jotka eivät "kohtaa" A:ta, eivät muuta B:n liikemäärää. Tähän on oltava funktio, joka ilmaisee A:n kohdanneen aallon vaikutuksen B:n liikemäärään menneisyydessä (joku veijarifyysikko lohkaissut että hiukkaset kulkevat ajassa taaksepäin). Tämä on loogista, sillä koko sirontatapahtuma kuvatan integroimalla ajan ja paikan yli.

Kvanttiteoria on propabilistinen ja kuvaa kaikki mahdolliset tavat A:n ja B:n vuorovaikutukseen. Yhdessä paikassa x tai x', ja yhtenä hetkenä t tai t' ei ole lokalisoituja hiukkasia A ja B. Ne mitataan vasta sironnan jälkeen mittalaitteissa.

Tässä kohti helpompi merkitä xᵤ=(t,x) ja yᵤ=(t',x'). Kvanttikenttä on tietyn aaltoyhtälön ratkaisu. Skalaarikenttä φ(xᵤ), joka vuorovaikuttaa itsensä kanssa, on ratkaisu Klein-Gordonin yhtälölle

(∂ᵤ∂ᵛ + m²) φ = V'(φ),

missä potentiaali V'(φ) = ∂V(φ)/∂φ tarkoittaa V:n derivaattaa kentän φ suhteen.

Ajatellaan lokalisoitu "piikki" kentässä φ(yᵤ) paikassa yᵤ. "Piikin" ja kentän φ(xᵤ) vuorovaikutus voidaan ilmaista

(∂ᵤ∂ᵛ + m²) G(xᵤ,yᵤ) = δ(xᵤ-yᵤ),

missä G(xᵤ,yᵤ) kuvaa paikassa yᵤ olevan Diracin deltafunktion vaikutusta kenttään φ paikassa xᵤ. Ratkaisu G on Klein-Gordon yhtälön Greenin funktio

G(xᵤ,yᵤ) = ∫ d⁴k/(2π)⁴ exp[-ikᵘ(xᵤ-yᵤ)] / (-kᵤkᵘ + m²),

missä kᵤ on aaltovektori ja m on massa. Esim ajasta riippumatonta 1-dim kenttää φ(x) vastaavan yhtälön (-(∂₁)² + m²) G(x,x') = δ(x-x') Greenin funktio on

G(x,x') = ∫ dk/2π exp[-ik(x-x')] / (-k² + m²) = exp(-mr) / 4πr,

missä r = |x-x'|. Tämä G on Yukawa potentiaali, joka vaimenee nopeasti etäisyyden |x-x'| kasvaessa. Maxwellin yhtälön G = 1/4πr, Coulombin potentiaali.

Toisena esimerkkinä φ⁴-teoria, jonka potentiaali V(φ)=(1/4!) λφ⁴ ja V'(φ)=(1/3!) λφ³, missä λ on vuorovaikutuksen voimakkuutta kuvaava kytkinvakio. Kenttä on tässä tapauksessa φ(xᵤ) = ∫ d⁴y (1/3!) λφ³ G(xᵤ,yᵤ), missä G on edellä mainittu Greenin funktio. Lopullinen φ(xᵤ) lausutaan sarjakehitelmänä, koska oikealla puolella esiintyy edelleen φ(xᵤ), mutta jääköön nyt tähän muotoon.

Okei. Propagaattoreista. Vapaan skalaarikentän φ tapauksessa todennäköisyys sille, että ajanhetkellä t paikkaan x preparoitu hiukkanen löytyy eri ajanhetkellä t' paikasta x' on

D(xᵤ', xᵤ) = < 1_xᵤ' | 1_xᵤ > = ∫ d³k/((2π)³ 2ωₖ) exp[-ikᵘ(xᵤ'-xᵤ)],

missä ωₖ=k⁰=√(k²+m²) ja |1_xᵤ'> on hiukkasen lopputila. D voidaan johtaa helposti vapaan kentän ratkaisusta φ, relativistisesta normituksesta ja kvanttimekaniikan aksioomista. Kun t'>t, saadaan todennäköisyys hiukkasen löytymiseksi myöhempänä ajanhetkenä t' paikasta x'. Vastaavasti t'<t kertoo millä tod. näk. hiukkanen oli paikssa x', kun se myöhemmin mitataan paikassa x (tässä lopputila |1_xᵤ'> on menneisyydessä). Kun t=t', saadaan tod. näk samalla ajanhetkellä. Funktio D on Wightmanin funktio tai kahden pisteen korrelaatiofunktio.

Eri aikajärjestykset t:n ja t':n kesken hallitaan porrasfunktiolla Θ(t'-t), joka antaa arvot Θ(t'-t)=0, kun t'<t ja Θ(t'-t)=1 kun t'>t.

Näitä pyröittelemällä löydetään funktio

Dᴿ(xᵤ', xᵤ) = Θ(t'-t) [ D(xᵤ', xᵤ) - D(xᵤ, xᵤ') ].

Tämä Dᴿ on jäljistetty, retarded, propagaattori. Se ilmaisee tod. näk. lopputiloille myöhemmällä hetkellä t' > t. Vastaava edistetty, advanced, on Dᴬ(xᵤ', xᵤ) = -Θ(t-t') [ D(xᵤ', xᵤ) - D(xᵤ, xᵤ') ], joka ilmaisee menneisyyden tod. näk, kun siis t' < t.

Sirontatodennäköisyyksissä esiitynyy käytännössä aina lausekkeita, jotka ovat muotoa

∫ d⁴x ∫ d⁴x' < 0 | T φ(xᵤ) φ(xᵤ') | 0 >,

missä T on aikajärjestysoperaattori. T asettaa operaattorikentät φ(xᵤ) ja φ(xᵤ') ajan suhteen oikeaa järjestykseen

T φ(xᵤ) φ(xᵤ') = φ(xᵤ) φ(xᵤ'), kun t>t' ja
T φ(xᵤ) φ(xᵤ') = φ(xᵤ') φ(xᵤ), kun t<t',

jotta kenttäoperaattorit kohdistuvat vakuumiin |0> oikeassa aikajärjestyksessä.

T voidaan lausua porrasfunktiota käyttäen, jolloin integrandi on

< 0 | T φ(xᵤ) φ(xᵤ') | 0 >
= Θ(t-t') φ(xᵤ) φ(xᵤ') + Θ(t'-t) φ(xᵤ') φ(xᵤ)
= Θ(t'-t) D(xᵤ',xᵤ) + Θ(t-t') D(xᵤ,xᵤ')
≡ Dᶠ(xᵤ',xᵤ).

Sepustukseni alkuosaa esimerkkinä käyttäen: Dᶠ:n ensimmäinen termi Θ(t-t') φ(xᵤ) φ(xᵤ') ilmaisee paikassa xᵤ olevan B:n vaikutuksen A:n ajallisesti myöhempään paikkaan xᵤ'. Toinen termi kuvaa tod. näk. sille, että A:n menneisyyden paikasta xᵤ' vaikutus etenee B:n myöhempään paikkaan xᵤ. Tämä Dᶠ integroidaan koko aika-avaruuden yli siten, että kaikki A:n ja B:n paikat xᵤ' ja xᵤ huomioidaan.

Dᶠ on Feynmanin propagaattori, joka ilmaisee transitioamplitudin sirontatapahtumalle. Dᶠ on Klein-Gordon tapauksessa Greenin funktio

(∂ᵤ∂ᵛ + m²) Dᶠ(xᵤ',xᵤ) = δ(xᵤ-xᵤ').

Ratkaisu Dᶠ(xᵤ',xᵤ) = ∫ d⁴k/(2π)⁴ i exp[-ikᵘ(xᵤ-xᵤ')] / (kᵤkᵘ - m² + iε), missä tuo iε on pieni kompleksiluku eikä siitä sen enempää 😜.

Että tämän suuntaista joo 🤷‍♂️
Q-S
Reactions:
Viestit: 352
Liittynyt: 30 Marras 2022, 16:44

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Q-S »

Edellisessä pieni toistuva typo. Kaikki ∂ᵤ∂ᵛ pitää olla ∂ᵥ∂ᵛ
Avatar
Varaktori
Reactions:
Viestit: 2879
Liittynyt: 05 Tammi 2023, 21:36

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Varaktori »

Q-S kirjoitti: 30 Touko 2023, 20:29 ...missä tuo iε on pieni kompleksiluku eikä siitä sen enempää 😜.

Että tämän suuntaista joo 🤷‍♂️
Q-S perkele. :mrgreen:
Onhan siinä hieman eroa kun vertaa näiden korpifilosofien tuotoksiin. Leikkailin tuollaisen pienen lainauksen lopusta ihan vaan heittääkseni että sitä myös regulaattoriksi tuota pientä lukua kutsutaan. Kuten sanoin, niin kunnioittaen katseella seuraan.
Avatar
Deimos
Reactions:
Viestit: 6496
Liittynyt: 30 Marras 2022, 04:50

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Deimos »

Ajattelin kerrata yläasteen matikan aluksi. Olen jo niin pitkällä että kirjat ovat pöydällä. Alkaa näköjään potenssilaskuista ja säännöistä. Täytyy paikata tuo erittäin tärkeä alkoholiharrastus jollakin. Neljä opusta alkeita. Sen jälkeen lukion pitkä matikka jos kyvyt riittävät. Olen huomannut että useassa asiassa opettajasta olisi hyötyä. (Tuli ilmi muun muassa ohjelmoinnissa).

No, jos joku ongelma on itselle itseopiskelussa ongelma niin kai täältä voi kysyä. Eli vanha paperi, kynä ja oppikirja-menetelmä.

En nyt ole katsonut avointa yliopistoa mutta käsittääkseni ohjelmoinnin Mooc-ympäristö ajettiin alas.

Vaikka en lahjakas ole matemaattisesti niin jumiudun YouTubessa välillä katsomaan matematiikan ihmeellisyyksiä.
-"Being sane while your are insane is most difficult thing to do."
Q-S
Reactions:
Viestit: 352
Liittynyt: 30 Marras 2022, 16:44

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Q-S »

Varaktori kirjoitti: 31 Touko 2023, 13:40
Q-S kirjoitti: 30 Touko 2023, 20:29 ...missä tuo iε on pieni kompleksiluku eikä siitä sen enempää 😜.

Että tämän suuntaista joo 🤷‍♂️
Leikkailin tuollaisen pienen lainauksen lopusta ihan vaan heittääkseni että sitä myös regulaattoriksi tuota pientä lukua kutsutaan.
Kyllä, regulaattori on otuksen eräs nimitys.

Ihan perusratkaisusta puuttuu periaatteessa iε -termi, mutta onneton integrandi on singulaari (massakuorella, on-shell, kᵤkᵘ = m²), jonka takia nuo navat pitää ohittaa iε:llä kompleksitasossa.

Mutta joo. sepustustani pitäisi jatkaa ainakin parin viestin verran, jotta propagaattori näkyisi fysikaalisesti järkevässä sironnassa, vaikka fermionien välillä, ja laskea sironta loppuun asti jollain luvuilla. ehkä joku päivä.
Avatar
Varaktori
Reactions:
Viestit: 2879
Liittynyt: 05 Tammi 2023, 21:36

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Varaktori »

Q-S kirjoitti: 31 Touko 2023, 17:08
Varaktori kirjoitti: 31 Touko 2023, 13:40
Q-S kirjoitti: 30 Touko 2023, 20:29 ...missä tuo iε on pieni kompleksiluku eikä siitä sen enempää 😜.

Että tämän suuntaista joo 🤷‍♂️
Leikkailin tuollaisen pienen lainauksen lopusta ihan vaan heittääkseni että sitä myös regulaattoriksi tuota pientä lukua kutsutaan.
Kyllä, regulaattori on otuksen eräs nimitys.

Ihan perusratkaisusta puuttuu periaatteessa iε -termi, mutta onneton integrandi on singulaari (massakuorella, on-shell, kᵤkᵘ = m²), jonka takia nuo navat pitää ohittaa iε:llä kompleksitasossa.

Mutta joo. sepustustani pitäisi jatkaa ainakin parin viestin verran, jotta propagaattori näkyisi fysikaalisesti järkevässä sironnassa, vaikka fermionien välillä, ja laskea sironta loppuun asti jollain luvuilla. ehkä joku päivä.
S(x, y) = ∫ (d³p) [γ^μp_μ + m] e^(-ip⋅(x-y)) / (p^2 - m^2 + iε)
Koitan testailla saanko mä noita harakanvarpaita tänne. Voisin koittaa kanssa jotain jos viitsit sitten sanoa missä menee metsään sillä metsään ne menee. Palaan paremmalla aikaa asiaan.
Q-S
Reactions:
Viestit: 352
Liittynyt: 30 Marras 2022, 16:44

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Q-S »

Varaktori kirjoitti: 01 Kesä 2023, 20:03
Q-S kirjoitti: 31 Touko 2023, 17:08
Varaktori kirjoitti: 31 Touko 2023, 13:40
Q-S kirjoitti: 30 Touko 2023, 20:29 ...missä tuo iε on pieni kompleksiluku eikä siitä sen enempää 😜.

Että tämän suuntaista joo 🤷‍♂️
Leikkailin tuollaisen pienen lainauksen lopusta ihan vaan heittääkseni että sitä myös regulaattoriksi tuota pientä lukua kutsutaan.
Kyllä, regulaattori on otuksen eräs nimitys.

Ihan perusratkaisusta puuttuu periaatteessa iε -termi, mutta onneton integrandi on singulaari (massakuorella, on-shell, kᵤkᵘ = m²), jonka takia nuo navat pitää ohittaa iε:llä kompleksitasossa.

Mutta joo. sepustustani pitäisi jatkaa ainakin parin viestin verran, jotta propagaattori näkyisi fysikaalisesti järkevässä sironnassa, vaikka fermionien välillä, ja laskea sironta loppuun asti jollain luvuilla. ehkä joku päivä.
S(x, y) = ∫ (d³p) [γ^μp_μ + m] e^(-ip⋅(x-y)) / (p^2 - m^2 + iε)
Koitan testailla saanko mä noita harakanvarpaita tänne. Voisin koittaa kanssa jotain jos viitsit sitten sanoa missä menee metsään sillä metsään ne menee. Palaan paremmalla aikaa asiaan.
Joo kvantti-harakanvarpaisto on tärkeäkin valinta. Notaatiot vaihtelevat. Tyypillisesti nelivekorit kirjoitetaan ilman indeksejä. Esim x ja y ovat kaksi eri aika-avaruuden paikkaa, missä x = xᵤ = (x₀,x₁,x₂,x₃)ᵀ = (ct,x,y,z)ᵀ. Nämä pystyvektoreita (ᵀ on transpoosi). Kvanttikenttien hieroglyfeissä nelivektorikin on pieni x eikä X, kuten joskus GR:ssa. Kentät ovat lähes poikkeuksetta isoilla kirjaimilla kuten fotonikenttä Aᵤ.

3-dim vektorit on usein lihavoitu x = (x₁,x₂,x₃)ᵀ, jotta erottuvat nelivektoreista. Usein 3d-integraalin mittakin lihavoidaan ∫ d³k, mutta ei aina. Vastaava 4-dim on ∫ d⁴k tai vain ∫ dk .

Minkowskivektorien k ja x sisätulo (metriikan signatuuri melko poikkeuksetta -,+,+,+) kirjoitetaan tyypillisesti pötköön ilman indeksejä, eli kx = kᵤxᵘ = kᵤηᵘᵛxᵥ = k₀x₀ - (k₁x₁+k₂x₂+k₃x₃). Jos käytetään indeksejä, niin kᵤxᵘ tai esim invariantti neliö kᵤkᵘ. Yleensä indeksit tosiaan jätetään pois, koska niitä olisi joka paikassa. Ja kᵤkᵘ kirjoitetaan usein k². Myös 3d-sisätulo usein k·k = k², ja asiayhteydestä selviää kumpi k² kyseessä. Mutta siis minkowskisisätulo kx ja euklidinen k·x.

Esimerkiksi Klein-Gordon yhtälön kvantisoitu ratkaisu on

φ(x) = ∫ d³k/[ (2π)³ √(2ωₖ) ] [ a(k) exp(-ikx) + a†(k) exp(ikx) ].

Luonti- ja tuhoamisoperaattorien a†(k) ja a(k) parametri on tässä 3-vektori k. Eksponentissa Minkowskisisätulo ikx = i ( ωt - k·x ) = i (k₀x₀ - k·x).

Joskus Lorentzinvariantti mitta d³k/[ (2π)³ √(2ωₖ) ] korvataan merkinnällä, jossa k:n päällä on ~, eli siis dk̃ tai d, jotta koko rimpsua ei tarvitse raahata mukana. Merkintä ωₖ = Eₖ = ω = k₀ = √(k·k + m), mikä on seuraus relativistisesta (k₀)² - k·k = m². Alaindeksi ₖ korostaa relativistista dispersiorelaatiota. Niin ja k:ta käytetään kai useimmiten bosonille ja fermionin liikemäärä on p.

Joskus a(k):n tilalla on vastaava nelivektori-operaattori a(k) = √(2ωₖ) a(k), minkä seurauksena erinäiset relativistiset normitukset muuttuvat kovin eri näköisiksi kuin hiukan yleisemmän operaattorin a(k) tapauksessa.

Differentiaalit ovat samoja kuin muutoinkin ∂ᵤ = ∂/∂xᵘ = ( ∂/c∂t, -∂/∂x, -∂/∂y, -∂/dz )ᵀ.
Q-S
Reactions:
Viestit: 352
Liittynyt: 30 Marras 2022, 16:44

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Q-S »

Höh heti virhe. Signatuuri on (+,-,-,-)
Q-S
Reactions:
Viestit: 352
Liittynyt: 30 Marras 2022, 16:44

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Q-S »

Nyt kun aiheeseen jäin jumiin, niin vapaan Klein-Gordon yhtälön (∂ᵤ∂ᵘ + m²) φ = 0 ratkaisun periaatteista. Aaltoyhtälö tuo on, joten eräs ratkaisu on φ(x)=cos(kx), missä kx=kᵤxᵘ ja kᵤ=(ω,k)ᵀ on dispersiorelaation kᵤkᵘ=m² toteuttava aaltovektori.

Kompleksiratkaisu löytyy Eulerin kaavalla exp(i kx) = cos(kx) + i sin(kx), mistä helposti φ(x)=exp(ikx) ja φ(x)=exp(-ikx).

Nämä ovat tasoaaltoja, joiden lineaarikombinaatiot ovat myös ratkaisuja. Esim. φ(x)=2exp(ikx) + 7exp(-ipx) - 13exp(iqx), missä k,p ja q ovat mielivaltaisia, mutta dispersiorelaation toteuttavia vektoreita. Yleinen ratkaisu integraalina lausuttuna on

φ(x) = ∫ d⁴k [ a(k) exp(ikx) + b(k) exp(-ikx) ],

missä kertoimiet a(k),b(k) ∈ ℂ painottavat tasoaallot (kunkin aaltovektori k) kuten edellä 2, 7 ja -13. Tämä φ(x) sallii kuitenkin sen, että kᵤkᵘ ≠ m². Tämä on epäfysikaalinen k eikä toteuta alkuperäistä yhtälöä. Ehto kᵤkᵘ=m² saadaan aikaan Diracin deltafunktiolla

φ(x) = ∫ d⁴k δ(k²-m²) [ a(k) exp(ikx) + b(k) exp(-ikx) ],

missä δ(k²-m²)=0, kun k²≠m². Toinen fysikaalinen vaatimus on se, että energia k₀ = ωₖ = ±√(k·k + m²) on positiivinen. Tämä saavutetaan porrasfunktiolla Θ(k₀) = 1, kun k₀ ≥ 0 ja Θ(k₀) = 0, kun k < 0. Näin saadaan

φ(x) = ∫ d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀) [ a(k) exp(ikx) + b(k) exp(-ikx) ].

Integraalin mittaa voidaan muokata

d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀)
= d⁴k δ( (k₀)²-k·k-m² ) Θ(k₀), missä sijoitettu k² = (k₀)²-k·k
= d⁴k δ( (k₀)²-(ωₖ)² ) Θ(k₀), missä sijoitettu -k·k-m² = -(ωₖ)²
= d⁴k/(2k₀) δ(k₀-ωₖ),

missä viimeinen rivi seuraus deltafunktion ominaisuudesta δ( x²-a² ) = 1/(2|a|) [ δ(x+a) + δ(x-a) ]. Ensimmäinen δ(x+a) katoaa, sillä (k₀)²+(ωₖ)² > 0, kun k₀>0 (hiukkasella on aina nollasta poikkeava energia k₀). Näin ollen

d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀) = dk₀ d³k/(2k₀) δ(k₀-ωₖ), joka integroidaan molemmin puolin
∫ d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀) = ∫ dk₀ d³k/(2k₀) δ(k₀-ωₖ)
∫ d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀) = ∫ d³k/(2k₀)
∫ d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀) = ∫ d³k/(2ωₖ),

missä kolmas rivi seuraa δ-funktion ominaisuudesta ∫ dx δ(x-a) f(x) = f(a). Tässä vaiheessa aaltoratkaisu on

φ(x) = ∫ d³k/(2ωₖ) [ a(k) exp(ikx) + b(k) exp(-ikx) ].

Kun halutaan, että φ(x) ∈ ℝ, mikä tarkoittaa reaalista skalaarikenttää (osoittautuu fysikaalisesti oikeaksi), riittää käyttää ehtoa φ(x) = φ*(x). Termit exp(ikx) ja exp(-ikx) ovat sellaisenaan kompleksikonjugaatteja. Reaalisuus toteutuu, kun b(k) = a*(k). Nämä kertoimet muutetaan kvantisoinnissa operaattoreiksi a(k) ja a†(k). Relativistinen normitus (jota en nyt kirjoita) antaa tuloksen, jonka nojalla operaattorit voidaan lausua myös a(k)=√(2ωₖ) a(k) sekä vastaava Hermiten konjugaatti. Näiden jälkeen aaltoratkaisu on

φ(x) = ∫ d³k/√(2ωₖ) [ a(k) exp(ikx) + a†(k) exp(-ikx) ],

missä integraalin mitta d³k/√(2ωₖ) on Lorentzinvariantti. Tästä puuttuu vielä lisänormitus 1/(2π)³, josta ehkä toiste. Joo, jopa yksinkertaisen reaalisen skalaarikentän muodostaminen vaatii kohtuullisen tarkastelun :o
Avatar
Tauko
Reactions:
Viestit: 2297
Liittynyt: 06 Joulu 2022, 01:20

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Tauko »

Q-S kirjoitti: 02 Kesä 2023, 22:03 Nyt kun aiheeseen jäin jumiin, niin vapaan Klein-Gordon yhtälön (∂ᵤ∂ᵘ + m²) φ = 0 ratkaisun periaatteista. Aaltoyhtälö tuo on, joten eräs ratkaisu on φ(x)=cos(kx), missä kx=kᵤxᵘ ja kᵤ=(ω,k)ᵀ on dispersiorelaation kᵤkᵘ=m² toteuttava aaltovektori.

Kompleksiratkaisu löytyy Eulerin kaavalla exp(i kx) = cos(kx) + i sin(kx), mistä helposti φ(x)=exp(ikx) ja φ(x)=exp(-ikx).

Nämä ovat tasoaaltoja, joiden lineaarikombinaatiot ovat myös ratkaisuja. Esim. φ(x)=2exp(ikx) + 7exp(-ipx) - 13exp(iqx), missä k,p ja q ovat mielivaltaisia, mutta dispersiorelaation toteuttavia vektoreita. Yleinen ratkaisu integraalina lausuttuna on

φ(x) = ∫ d⁴k [ a(k) exp(ikx) + b(k) exp(-ikx) ],

missä kertoimiet a(k),b(k) ∈ ℂ painottavat tasoaallot (kunkin aaltovektori k) kuten edellä 2, 7 ja -13. Tämä φ(x) sallii kuitenkin sen, että kᵤkᵘ ≠ m². Tämä on epäfysikaalinen k eikä toteuta alkuperäistä yhtälöä. Ehto kᵤkᵘ=m² saadaan aikaan Diracin deltafunktiolla

φ(x) = ∫ d⁴k δ(k²-m²) [ a(k) exp(ikx) + b(k) exp(-ikx) ],

missä δ(k²-m²)=0, kun k²≠m². Toinen fysikaalinen vaatimus on se, että energia k₀ = ωₖ = ±√(k·k + m²) on positiivinen. Tämä saavutetaan porrasfunktiolla Θ(k₀) = 1, kun k₀ ≥ 0 ja Θ(k₀) = 0, kun k < 0. Näin saadaan

φ(x) = ∫ d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀) [ a(k) exp(ikx) + b(k) exp(-ikx) ].

Integraalin mittaa voidaan muokata

d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀)
= d⁴k δ( (k₀)²-k·k-m² ) Θ(k₀), missä sijoitettu k² = (k₀)²-k·k
= d⁴k δ( (k₀)²-(ωₖ)² ) Θ(k₀), missä sijoitettu -k·k-m² = -(ωₖ)²
= d⁴k/(2k₀) δ(k₀-ωₖ),

missä viimeinen rivi seuraus deltafunktion ominaisuudesta δ( x²-a² ) = 1/(2|a|) [ δ(x+a) + δ(x-a) ]. Ensimmäinen δ(x+a) katoaa, sillä (k₀)²+(ωₖ)² > 0, kun k₀>0 (hiukkasella on aina nollasta poikkeava energia k₀). Näin ollen

d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀) = dk₀ d³k/(2k₀) δ(k₀-ωₖ), joka integroidaan molemmin puolin
∫ d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀) = ∫ dk₀ d³k/(2k₀) δ(k₀-ωₖ)
∫ d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀) = ∫ d³k/(2k₀)
∫ d⁴k δ(k²-m²) Θ(k₀) = ∫ d³k/(2ωₖ),

missä kolmas rivi seuraa δ-funktion ominaisuudesta ∫ dx δ(x-a) f(x) = f(a). Tässä vaiheessa aaltoratkaisu on

φ(x) = ∫ d³k/(2ωₖ) [ a(k) exp(ikx) + b(k) exp(-ikx) ].

Kun halutaan, että φ(x) ∈ ℝ, mikä tarkoittaa reaalista skalaarikenttää (osoittautuu fysikaalisesti oikeaksi), riittää käyttää ehtoa φ(x) = φ*(x). Termit exp(ikx) ja exp(-ikx) ovat sellaisenaan kompleksikonjugaatteja. Reaalisuus toteutuu, kun b(k) = a*(k). Nämä kertoimet muutetaan kvantisoinnissa operaattoreiksi a(k) ja a†(k). Relativistinen normitus (jota en nyt kirjoita) antaa tuloksen, jonka nojalla operaattorit voidaan lausua myös a(k)=√(2ωₖ) a(k) sekä vastaava Hermiten konjugaatti. Näiden jälkeen aaltoratkaisu on

φ(x) = ∫ d³k/√(2ωₖ) [ a(k) exp(ikx) + a†(k) exp(-ikx) ],

missä integraalin mitta d³k/√(2ωₖ) on Lorentzinvariantti. Tästä puuttuu vielä lisänormitus 1/(2π)³, josta ehkä toiste. Joo, jopa yksinkertaisen reaalisen skalaarikentän muodostaminen vaatii kohtuullisen tarkastelun :o
Kun en tämän alueen matematiikkaa enää osaa, en sen pyöritteltystä osaa sanoa.
Mitä mieleen tuli, kun ratkaisu on tasoaalto, että onko ratkaisut ajasta riippumattomia, vai kehittyykö aalto ajan kuluessa alkuaallosta?
Se, että on eräs ratkaisu, tarkoittanee, että on useita ratkaisuja, aaltoja, jotka toteuttavat saman yhtälön (yksittäisaalto / moniaalto).
Vielä tuli mieleen, että missä kohtaa alkaa apporoksimaatiot ja mihin asti päästään analyyttisesti, ennen kuin on siirryttävä numeerisen laskennan puolelle.
Toivottavasti kommenttini ei ole häriköintiä.
Q-S
Reactions:
Viestit: 352
Liittynyt: 30 Marras 2022, 16:44

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Q-S »

Tauko kirjoitti: 02 Kesä 2023, 22:51 Kun en tämän alueen matematiikkaa enää osaa, en sen pyöritteltystä osaa sanoa.
Mitä mieleen tuli, kun ratkaisu on tasoaalto, että onko ratkaisut ajasta riippumattomia, vai kehittyykö aalto ajan kuluessa alkuaallosta?
Se, että on eräs ratkaisu, tarkoittanee, että on useita ratkaisuja, aaltoja, jotka toteuttavat saman yhtälön (yksittäisaalto / moniaalto).
Vielä tuli mieleen, että missä kohtaa alkaa apporoksimaatiot ja mihin asti päästään analyyttisesti, ennen kuin on siirryttävä numeerisen laskennan puolelle.
Toivottavasti kommenttini ei ole häriköintiä.
Hyviä kysymyksiä. 'Aikariippumattomuuteen' sanoisin äkkiseltään, että relativistinen teoria ei ole aikariippumaton, koska aika t on aina mukana liikeyhtälössä kuten on avaruudellinen paikkakin x. Tuo määritelmä 'aikariippumaton'+minkowskiavaruus on itse asiassa aika mielenkiintoinen. En nyt yön tunteina saa aivojani asentoon, että osaisin täsmällisesti vastata. Heh, erikoista.

Aalto voi olla kyllä stationaarinen jollekin havaitsijalle, mutta stationaarisuus ei ole Lorentzinvariantti ominaisuus. Toiselle havaitsijalle aalto etenee.

Vapaan Klein-Gordon yhtälön tasoaalto on olemassa, kun a(k) tai b(k) ovat nollasta poikkeavia jollekin aaltovektorille k. Aallon vaihenopeus v = ω/|k| = √(k² + m²) / |k|. Massalliselle kentälle v < 1, mikä on alle valonnopeuden c=1. Jos luotaisiin tiivis aaltopaketti (ei ole enää tasoaalto), niin saataisiin suunnilleen ryhmänopeus v_g = 1 / √(1 + m²/k²), ja tämä nopeus v_g → 0, kun liikemäärä k → 0. Eli massallisen skalaarikentän nopeutta voi muuttaa liikemäärää muuttamalla.

Yleisesti ottaen vapaa tasoaalto etenee sellaisena kuin se on muodostettu, se ei kehity ajan suhteen. Mahdollisia tasoaaltoja on mielivaltainen määrä.

Yksinkertainen itsensä kanssa vuorovaikuttava kenttä on jo huomattavan mutkikas. Esimerkiksi φ⁴-teoria, jonka ℒ = ½∂ᵤφ∂ᵘφ - ½mφ² - (1/4!) λφ⁴, missä vapaan Lagrangen lisäksi vuorovaikutustermi -(1/4!) λφ⁴. Tuo λ on kytkinvakio. Epähomogeeninen Klein-Gordon yhtälö (1) on

(∂ᵤ∂ᵘ + m²) φ = (1/3!) λφ³.

Ratkaisu on φ(x) = ∫ d⁴y (1/3!) λφ³(y) G(x,y),

missä G(x,y) on Greenin funktio. Ratkaisu φ(x) esiintyy integrandissa muodossa φ³(y). Siispä häiriöteoria ja yrite (oletuksella, että λ on pieni. Jos olisi suuri, niin ei toimi, kun sarjan korkeammat termit olisivatkin määrääviä)

φ(x) = φ₀(x) + λ φ₁(x) + λ² φ₂(x) + ...

Tämä sijoitetaan yhtälöön (1)

(∂ᵤ∂ᵘ + m²) ( φ₀ + λ φ₁ + ... ) = (1/3!) λ ( φ₀ + λ φ₁ + ... )³
(∂ᵤ∂ᵘ + m²) ( φ₀ + λ φ₁ + ... ) = (1/3!) λφ₀³ + (1/2) λ²φ₀²φ₁ + (1/2) λ³φ₀φ₁² + (1/3!) λ⁴φ₁³ + ....,

mistä nähdään, että

(∂ᵤ∂ᵘ + m²) φ₀ = 0
(∂ᵤ∂ᵘ + m²) φ₁ = (1/3!) φ₀³
(∂ᵤ∂ᵘ + m²) φ₂ = (1/2) φ₀²φ₁
....

Kun φ₀ on ratkaistu, ratkeaa φ₁ ja kun se on ratkaistu, ratkeaa φ₂ jne. Tuo ensimmäinen φ₀ on vapaan Klein-Gordonin aaltoratkaisu, joka oli edellisessä viestissä. Tästä päästään eteen päin

φ₀ + λ φ₁ + λ² φ₂ + ... = ∫ d⁴y (1/3!)λ ( φ₀ + λ φ₁ + λ² φ₂ + ...)³ G(x,y)
φ₀ + λ φ₁ + λ² φ₂ + ... = ∫ d⁴y (1/3!) ( λφ₀³ + 3λ²φ₀² φ₁ + 3λ³φ₀ φ₁² + ...) G(x,y),

mistä voi nähdä, että

φ₁ = (1/3!) ∫ d⁴y φ₀³ G(x,y)
φ₂ = [..jotain vastaavaa...]
...,

Ja Greenin funktiohan oli G(x,y) = ∫ d⁴k/(2π)⁴ exp[-ik(x-y)] / (-k² + m²).

kysymykseen vastaus: alkumetreillä jo karkaa käsistä ;). Ennen kuin on edes kvantisoitu tai tuotu ensimmäistäkään spinoria tai vektoribosonia mukaan. On tässä kuitenkin se hyvä puoli, että teoriassa on hyödyllisiä työkaluja häiriösarjojen yksinkertaistamiseen, kuten juurikin Feynmanin diagrammit.
Eusa
Reactions:
Viestit: 1398
Liittynyt: 07 Joulu 2022, 12:05

Re: Jos Albert Einstein ei olisi syntynyt?

Viesti Kirjoittaja Eusa »

Hm. Aikariippumaton aika-avaruus voisi tarkoittaa sitä, että ajalliset polut ovat vääjäämättömiä - toisin sanoen millään yhteisellä ajalla ei ole merkitystä; menneisyys ja tulevaisuus kaikille ajallisille rakenteille on kiinteä, eikä puhdasta sattumaa tapahdu. Kyse olisi siis superdeterminismistä, ellei kausaliteettia yritetä määritellä liian ovelasti...
Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Vastaa Viestiin