Ongelmaketju - ratkaise & esitä ★ Toimittajan suosikki

[POPE]

Kun siinä sanottiin jatkuvasti nouseva jono ja annettiin esimerkki sen tyypistä viiden suorana, pidin itsestään selvänä, mistä tehtävässä oli kysymys. Ehkäpä tehtävän olisi paremminkin voinut muotoilla.

Ok


Selvennetään tehtävää
Kolmestatoista kortista 1,2,3,....13, vedetään perättäisesti 5 kpl. Mikä on tn., että tällöin saadaan nouseva jono ( esim 1,4,6,10,12)

...itse sanoisin "aidosti kasvava jono"... alkuperäinen oli epäselvä, esimerkistä huolimatta - ehdotan vastausta 1/120 = 0,00833...

Päädyin samaan.

[Wisti]

Nätti tulos. En osannut. Miten meni.

[Ykkösnolla]

Nätti tulos. En osannut. Miten meni.

Otettiinpa 5 korttia miten hyvänsä, saadaan niistä suotuisa laittamalla ne suuruusjärjestykseen, niinpä suotuisia on ncr(13,5).
Kaikkiaan järjestyksiä on 13*12*11*10*9.

[Wisti]

Oho! Tosiaan.

[POPE]

Nätti tulos. En osannut. Miten meni.

Päättelin seuraavasti.
Viisi vedettyä korttia voi tulla 5! järjestyksessä. Yhdessä näista luvut ovat suuruusjärjestyksessä—>tn=1/5!

[JMe1]

Todella vaikea logiikkatehtävä:
Meillä on kuvan mukaisesti viisi koloa, yhdessä niistä on kettu. Se vaihtaa joka yö koloa säännöllä (yksi vasemmalle tai yksi oikealle). Saat joka aamu käydä tarkistamassa yhden kolon. Mitä strategiaa pitää käyttää jotta kettu löytyy varmuudella?

[Tauko]

Todella vaikea logiikkatehtävä:
Meillä on kuvan mukaisesti viisi koloa, yhdessä niistä on kettu. Se vaihtaa joka yö koloa säännöllä (yksi vasemmalle tai yksi oikealle). Saat joka aamu käydä tarkistamassa yhden kolon. Mitä strategiaa pitää käyttää jotta kettu löytyy varmuudella?

Äkkiä ajatellen tulee strategia
2,2,4,4,3 ja alusta uudelleen toistaen.

[POPE]

Todella vaikea logiikkatehtävä:
Meillä on kuvan mukaisesti viisi koloa, yhdessä niistä on kettu. Se vaihtaa joka yö koloa säännöllä (yksi vasemmalle tai yksi oikealle). Saat joka aamu käydä tarkistamassa yhden kolon. Mitä strategiaa pitää käyttää jotta kettu löytyy varmuudella?

Ketun kolot 1,2,3,4,5. Nyt k=3 kuvan mukaan. Yön jälkeen k=2 tai k=4. Tutkitaan 4. Jos kettu on siinä, homma selvä. Jos ei, niin k=2. Yön jälkeen k=1 tai k=3. Tutkitaan 3. Jos kettu on siinä, niin homma selvä. Jos ei, niin k=1. Yön jälkeen k=2. Tutkitaan 2, missä kettu on.
Jos lähtötilannetta ei tiedetä (k=3), tehtävä on todellakin vaikea.

[Jorma]

Todella vaikea logiikkatehtävä:
Meillä on kuvan mukaisesti viisi koloa, yhdessä niistä on kettu. Se vaihtaa joka yö koloa säännöllä (yksi vasemmalle tai yksi oikealle). Saat joka aamu käydä tarkistamassa yhden kolon. Mitä strategiaa pitää käyttää jotta kettu löytyy varmuudella?

Tehtävä on sama, joka oli kotisivullani jo edellisellä vuosisadalla. Silloin tosin metsästin jotain hirviötä ja minulla oli 6 kasapanosta joita heittelin luolastoon.
Ratkaisu lähtee siitä, että oletetaan ketun olevan parillisessa kolossa siis 2 tai 4. Silloin tarkastetaan kolo 2, jos kettu ei ole siellä on se ollut kolossa 4, josta siirtyy koloon 3 tai 5. Tarkastetaan kolo 3, jos kettu ei ole siellä on se kolossa 5, josta pääsee vain koloon 4. Nyt on tehty 3 tarkastusta ja ellei kettua nähdä on se alun perin ollut parittomassa kolossa, mutta nyt kolmen tarkastuksen jälkeen parillisessa kolossa, ja käytetään samaa järjestystä 2,3,4. Vastaava menetelmä toimii vaikka koloja olisi useampiakin.

[Wisti]

On noita helpompiakin tehtäviä nähty.

[POPE]

Jämähdin pohtimaan vanhaa tehtävää.
n hatullista henkilöä joutuu poistumaan ravintolasta hälytyksen vuoksi ja jokainen ottaa lähtiessään hatun sattumanvaraisesti. Laskettavana on tn sille, että k henkilöä saa oman hattunsa.
Alussa helpohkoa mutta sitten vaikeutuu.
k=n, tn=1/n!
k=n-1, tn=0
k=n-2, tn=c(n,n-2)/n!
k=n-3, tn=c(n,n-3)*3/n!
k=n-4, tn=c(n,n-4)*9/n!
Tästä eteenpäin ei osaamiseni riitä.

[POPE]

Pikku korjaus
Jämähdin pohtimaan vanhaa tehtävää.
n hatullista henkilöä joutuu poistumaan ravintolasta hälytyksen vuoksi ja jokainen ottaa lähtiessään hatun sattumanvaraisesti. Laskettavana on tn sille, että k henkilöä saa oman hattunsa.
Alussa helpohkoa mutta sitten vaikeutuu.
k=n, tn=1/n!
k=n-1, tn=0
k=n-2, tn=c(n,n-2)/n!
k=n-3, tn=c(n,n-3)*2/n!
k=n-4, tn=c(n,n-4)*9/n!
Tästä eteenpäin ei osaamiseni riitä.

[Ykkösnolla]

Pikku korjaus
Jämähdin pohtimaan vanhaa tehtävää.
n hatullista henkilöä joutuu poistumaan ravintolasta hälytyksen vuoksi ja jokainen ottaa lähtiessään hatun sattumanvaraisesti. Laskettavana on tn sille, että k henkilöä saa oman hattunsa.
Alussa helpohkoa mutta sitten vaikeutuu.
k=n, tn=1/n!
k=n-1, tn=0
k=n-2, tn=c(n,n-2)/n!
k=n-3, tn=c(n,n-3)*2/n!
k=n-4, tn=c(n,n-4)*9/n!
Tästä eteenpäin ei osaamiseni riitä.

Tutuntuntuinen tehtävä. Muistelin, että Neperin luku e sisältyy jotenkin tähän. Hyllystäni löysinkin kirjan, jossa on ratkaistu "tn, että kukaan ei saa hattuaan", ja sitä sitten käytetään hyväksi pääongelman ratkaisussa, mutta kyllä näyttää aika vaikealta. https://vowi.fsinf.at/images/c/cf/TU_Wi ... roblem.pdf, sieltä löytyy tuo alku sekä myös pääongelma.

Mutta tuosta "tn, että kukaan ei saa hattuaan" varmaan kannattaa aloittaa. Sekin alkaa vastatapahtumalla "ainakin yksi saa oman hattunsa", P(E_1 U E_2 U ... U E_n) = ...yhteenlaskukaava hauskimmassa muodossaan...
E_1 = 1. henkilö saa hattunsa = 1/n, E_2 = 2. henkilö saa hattunsa = 1/n, jne.. ei taida nyt kyllä into riittää!

Se on selvää, että mitään yksinkertaisempaa ratkaisua ei ole.

[POPE]

Pikku korjaus
Jämähdin pohtimaan vanhaa tehtävää.
n hatullista henkilöä joutuu poistumaan ravintolasta hälytyksen vuoksi ja jokainen ottaa lähtiessään hatun sattumanvaraisesti. Laskettavana on tn sille, että k henkilöä saa oman hattunsa.
Alussa helpohkoa mutta sitten vaikeutuu.
k=n, tn=1/n!
k=n-1, tn=0
k=n-2, tn=c(n,n-2)/n!
k=n-3, tn=c(n,n-3)*2/n!
k=n-4, tn=c(n,n-4)*9/n!
Tästä eteenpäin ei osaamiseni riitä.

Tutuntuntuinen tehtävä. Muistelin, että Neperin luku e sisältyy jotenkin tähän. Hyllystäni löysinkin kirjan, jossa on ratkaistu "tn, että kukaan ei saa hattuaan", ja sitä sitten käytetään hyväksi pääongelman ratkaisussa, mutta kyllä näyttää aika vaikealta. https://vowi.fsinf.at/images/c/cf/TU_Wi ... roblem.pdf, sieltä löytyy tuo alku sekä myös pääongelma.

Mutta tuosta "tn, että kukaan ei saa hattuaan" varmaan kannattaa aloittaa. Sekin alkaa vastatapahtumalla "ainakin yksi saa oman hattunsa", P(E_1 U E_2 U ... U E_n) = ...yhteenlaskukaava hauskimmassa muodossaan...
E_1 = 1. henkilö saa hattunsa = 1/n, E_2 = 2. henkilö saa hattunsa = 1/n, jne.. ei taida nyt kyllä into riittää!

Se on selvää, että mitään yksinkertaisempaa ratkaisua ei ole.

Kehittelin rekursiivisen menetelmän ongelmaan " kukaan ei saa hattuaan" .
2 hatun jono, 2! ,ei omaa hattua 1
3 hatun jono, 3! , ei omaa hattua 3!-(c(3,1)*1+c(3,3)*1)=2, tn=2/3!=1/3
4 hatun jono, 4! , ei omaa hattua 4!-(c(4,1)*2+c(4,2)*1+c(4,4)*1)=9, tn=9/4!=3/8
5 hatun jono, 5! , ei omaa hattua 5!-(c(5,1)*9+c(5,2)*2+c(5,3)*1+c(5,5)*1=44, tn=44/5!
6 hatun jono, 6! , ei omaa hattua 6!-(c(6,1)*44+c(6,2)*9+c(6,3)*2+c(6,4)*1+c(6,6)*1=264, tn=264/6!
7 hatun jono, 7! , ei omaa hattua 7!-(c(7,1)*264+c(7,2)*44+c(7,3)*9+c(7,4)*2+c(7,5)*1+c(7,7)*1=1861, tn=1861/7!
jne..

[POPE]

Pikku korjaus
Jämähdin pohtimaan vanhaa tehtävää.
n hatullista henkilöä joutuu poistumaan ravintolasta hälytyksen vuoksi ja jokainen ottaa lähtiessään hatun sattumanvaraisesti. Laskettavana on tn sille, että k henkilöä saa oman hattunsa.
Alussa helpohkoa mutta sitten vaikeutuu.
k=n, tn=1/n!
k=n-1, tn=0
k=n-2, tn=c(n,n-2)/n!
k=n-3, tn=c(n,n-3)*2/n!
k=n-4, tn=c(n,n-4)*9/n!
Tästä eteenpäin ei osaamiseni riitä.

Tutuntuntuinen tehtävä. Muistelin, että Neperin luku e sisältyy jotenkin tähän. Hyllystäni löysinkin kirjan, jossa on ratkaistu "tn, että kukaan ei saa hattuaan", ja sitä sitten käytetään hyväksi pääongelman ratkaisussa, mutta kyllä näyttää aika vaikealta. https://vowi.fsinf.at/images/c/cf/TU_Wi ... roblem.pdf, sieltä löytyy tuo alku sekä myös pääongelma.

Mutta tuosta "tn, että kukaan ei saa hattuaan" varmaan kannattaa aloittaa. Sekin alkaa vastatapahtumalla "ainakin yksi saa oman hattunsa", P(E_1 U E_2 U ... U E_n) = ...yhteenlaskukaava hauskimmassa muodossaan...
E_1 = 1. henkilö saa hattunsa = 1/n, E_2 = 2. henkilö saa hattunsa = 1/n, jne.. ei taida nyt kyllä into riittää!

Se on selvää, että mitään yksinkertaisempaa ratkaisua ei ole.

Kehittelin rekursiivisen menetelmän ongelmaan " kukaan ei saa hattuaan" .
2 hatun jono, 2! ,ei omaa hattua 1
3 hatun jono, 3! , ei omaa hattua 3!-(c(3,1)*1+c(3,3)*1)=2, tn=2/3!=1/3
4 hatun jono, 4! , ei omaa hattua 4!-(c(4,1)*2+c(4,2)*1+c(4,4)*1)=9, tn=9/4!=3/8
5 hatun jono, 5! , ei omaa hattua 5!-(c(5,1)*9+c(5,2)*2+c(5,3)*1+c(5,5)*1=44, tn=44/5!
6 hatun jono, 6! , ei omaa hattua 6!-(c(6,1)*44+c(6,2)*9+c(6,3)*2+c(6,4)*1+c(6,6)*1=264, tn=264/6!
7 hatun jono, 7! , ei omaa hattua 7!-(c(7,1)*264+c(7,2)*44+c(7,3)*9+c(7,4)*2+c(7,5)*1+c(7,7)*1=1861, tn=1861/7!
jne..

Lasketaan rekursiivisesti, että k ei saa omaa hattuaan P(Ek). Silloin tn, että n-k saa oman hattunsa, on
c(n,n-k)*P(Ek)*k!/n!=p(Ek)/(n-k)!