Ongelmaketju - ratkaise & esitä ★ Toimittajan suosikki

[Wisti]

En päässyt tempuillani eteenpäin. Näköjään tangentit kannattaa muuttaa muotoon sin/cos ja käyttää hyväksi tietoa tan(90-x) =1/tanx.
Tuolta ratkaisu löytyy
https://www.doubtnut.com/qna/642529812

Linkin ratkaisussa hyödynnettiin MAOL:in taulukon tuloksia
tanx+ tany =sin(x+y)/(cosx*cosy) , cos(90°-x)=sinx ja sin 2x=2sinx*cosx ja ja sin 18° ja sin 54°.

Kyllä, kyllä. Vähän runotonta vääntöä ratkaisu oli.
Mutta varmaan runotonkin vääntö olisi kelvannut, jos olisi itse vääntänyt.

[Ykkösnolla]

En päässyt tempuillani eteenpäin. Näköjään tangentit kannattaa muuttaa muotoon sin/cos ja käyttää hyväksi tietoa tan(90-x) =1/tanx.
Tuolta ratkaisu löytyy
https://www.doubtnut.com/qna/642529812

Linkin ratkaisussa hyödynnettiin MAOL:in taulukon tuloksia
tanx+ tany =sin(x+y)/(cosx*cosy) , cos(90°-x)=sinx ja sin 2x=2sinx*cosx ja ja sin 18° ja sin 54°.

Kyllä, kyllä. Vähän runotonta vääntöä ratkaisu oli.
Mutta varmaan runotonkin vääntö olisi kelvannut, jos olisi itse vääntänyt.

Tuolla useampikin ratkaisutapa (ei tarvita mitään arvoja, esim. sin 18 tms.):
https://math.stackexchange.com/question ... ect=1&lq=1

[POPE]

Linkissä

On ratkaistu eräs geometrinen tehtävä.
Löytyisikö sille kenties hieman yksinkertaisempi ratkaisu?

[JMe1]

Kolmion voi pakottaa tasasivuiseksi jolloin sivujen pituudet ovat 100/3 kukin. Sille sitten korkeusjana jne.

[JMe1]

Kolmion voi pakottaa tasasivuiseksi jolloin sivujen pituudet ovat 100/3 kukin. Sille sitten korkeusjana jne.

Otetaanpa takapakkia. Ei taida ympärysmittaa enää saada sopimaan lukemaan 100.

[JMe1]

Löytyisikö sille kenties hieman yksinkertaisempi ratkaisu?

No, millainen se oikaiseva ratkaisu on ?

[Ykkösnolla]

Ei oikein löydy toista ratkaisutapaa. Merkintöjä voisi varmaankin yksinkertaistaa (vähemmän muuttujia, kolmioiden mittakaavan k avulla), ja turhia päässälaskuvälivaiheita voisi jättää kirjoittamatta. Tämä taitaa olla sellainen lasku, jossa kolmioita voi olla äärettömän eri muotoisia, ja sellaisia on aina jossain mielessä ikävä miettiä, kun ei voi kiinnittyä yhteen muotoon. Kolmio voisi varmaan olla myös tasakylkinen, ja katsoa, saako silloin toisin laskien saman vastauksen.

Mutta edellä oli vain "musta tuntuu"-tosiseikkoja.

Mutta toinen probleema, miten selität likimain samat numerot tan-funktion likiarvoissa:

tan(89) = 57,28996163075942468728

tan(89.9) = 572,95721335428773113642

tan(89.99) = 5729,57789313059023638934

ja vaikkapa

tan(89.5) = 114,58865012930960816389

tan(89.95) = 1145,91529937342298354403

tan(89.995) = 11459,1558735276432940192

yms

[POPE]

Löytyisikö sille kenties hieman yksinkertaisempi ratkaisu?

No, millainen se oikaiseva ratkaisu on ?

Kolmion piirin puolikas p=100/2=50
Kolmion ala A=ah/2=pr=50r, missä r on sisään piirretyn ympyrän säde—>r=ah/100
Kolmiot yhdenmuotoisia mittakaavassa 12/a—> korkeuksien suhde (h-2r)/h=(h-2*ah/100)/h=12/a—>
a^2-50a+600=0—>a=20 tai a=30

[Ykkösnolla]

Löytyisikö sille kenties hieman yksinkertaisempi ratkaisu?

No, millainen se oikaiseva ratkaisu on ?

Kolmion piirin puolikas p=100/2=50
Kolmion ala A=ah/2=pr=50r, missä r on sisään piirretyn ympyrän säde—>r=ah/100
Kolmiot yhdenmuotoisia mittakaavassa 12/a—> korkeuksien suhde (h-2r)/h=(h-2*ah/100)/h=12/a—>
a^2-50a+600=0—>a=20 tai a=30

Siisti ratkaisu. Kolmion alan kaava A = 1/2 * p * r on minulle aika vieras (p kolmion piiri, r sisäänpiirretyn ympyrän säde).

[Ykkösnolla]

Löytyisikö sille kenties hieman yksinkertaisempi ratkaisu?

No, millainen se oikaiseva ratkaisu on ?

Kolmion piirin puolikas p=100/2=50
Kolmion ala A=ah/2=pr=50r, missä r on sisään piirretyn ympyrän säde—>r=ah/100
Kolmiot yhdenmuotoisia mittakaavassa 12/a—> korkeuksien suhde (h-2r)/h=(h-2*ah/100)/h=12/a—>
a^2-50a+600=0—>a=20 tai a=30

Siisti ratkaisu. Kolmion alan kaava A = 1/2 * p * r on minulle aika vieras (p kolmion piiri, r sisäänpiirretyn ympyrän säde).

Kyseinen kaava tuleekin suoraan pinta-aloista, kolmion ala = 1/2*a*r + 1/2*b*r + 1/2*c*r = 1/2*r*(a+b+c) = 1/2*r*p. Olenhan tämänkin laskun joskus nähnyt...

[POPE]

Ei oikein löydy toista ratkaisutapaa. Merkintöjä voisi varmaankin yksinkertaistaa (vähemmän muuttujia, kolmioiden mittakaavan k avulla), ja turhia päässälaskuvälivaiheita voisi jättää kirjoittamatta. Tämä taitaa olla sellainen lasku, jossa kolmioita voi olla äärettömän eri muotoisia, ja sellaisia on aina jossain mielessä ikävä miettiä, kun ei voi kiinnittyä yhteen muotoon. Kolmio voisi varmaan olla myös tasakylkinen, ja katsoa, saako silloin toisin laskien saman vastauksen.

Mutta edellä oli vain "musta tuntuu"-tosiseikkoja.

Mutta toinen probleema, miten selität likimain samat numerot tan-funktion likiarvoissa:

tan(89) = 57,28996163075942468728

tan(89.9) = 572,95721335428773113642

tan(89.99) = 5729,57789313059023638934

ja vaikkapa

tan(89.5) = 114,58865012930960816389

tan(89.95) = 1145,91529937342298354403

tan(89.995) = 11459,1558735276432940192

yms

Sama ongelma hieman toisin
tan 2°=0,03492..
tan 0,2°=0,003940...
tan 0,02°=0,0003490..
tan x≈ x+x^3/3
tan x/10 ≈x/10+x^3/3000
tan x-10*tan x/10≈99x^3/300<0,1x, kun x<√(0,1*300/99)≈31°
tan30°=0,577.. tan 3°=0,052
tan x-10*tan x/10≈99x^3/300<0,01x, kun x<√(0,01*300/99)≈10°
tan 9°=0,518.. , tan 0,9°=0,0517..
jne...

[Wisti]

Rumin merkinnöin tan(90-x) =(tan90 -tanx) / (1-tan90*tanx) = 1/tanx (!) Niinpä tan89 =tan(90-1)=1/tan1
Kun lisäksi muistetaan, että tanx on suunnilleen x pienille kulmille radiaaneina on ymmärrettävää, että tan89,9, jolloin x on 0,1 tulee 10-kertaiseksi x:n arvoon 1 verrattuna.

[Wisti]

Ilman raja-arvoja tietysti myös tan(90-x) = cotx = 1/tanx. Unohtui, kun en kotangentin kautta koskaan ajattele.

[POPE]

Ei oikein löydy toista ratkaisutapaa. Merkintöjä voisi varmaankin yksinkertaistaa (vähemmän muuttujia, kolmioiden mittakaavan k avulla), ja turhia päässälaskuvälivaiheita voisi jättää kirjoittamatta. Tämä taitaa olla sellainen lasku, jossa kolmioita voi olla äärettömän eri muotoisia, ja sellaisia on aina jossain mielessä ikävä miettiä, kun ei voi kiinnittyä yhteen muotoon. Kolmio voisi varmaan olla myös tasakylkinen, ja katsoa, saako silloin toisin laskien saman vastauksen.

Mutta edellä oli vain "musta tuntuu"-tosiseikkoja.

Mutta toinen probleema, miten selität likimain samat numerot tan-funktion likiarvoissa:

tan(89) = 57,28996163075942468728

tan(89.9) = 572,95721335428773113642

tan(89.99) = 5729,57789313059023638934

ja vaikkapa

tan(89.5) = 114,58865012930960816389

tan(89.95) = 1145,91529937342298354403

tan(89.995) = 11459,1558735276432940192

yms

tan(89) =cot 1°
tan(89.9) =cot 0,1°
tan(89.99) =cot 0,01°

tan(89.5) =cot 0,5°
tan(89.95) = cot 0,05°
tan(89.995) = cot 0,005°

Turvauduin WA:han
abs(0,1*cot( 0,1x)-cot x)<0,01*cot x, kun x<0,17303≈10°
cot 9°=tan 81°=6,31... cot 0,9°= tan 89,1°= 63,6..

abs(0,1*cot( 0,1x)-cot x)<0,001*cot x, kun x<0,0,0550148≈3°
cot 2,5° = tan 87,5° = 22,90... cot 0,25° = tan 89,75°=229,1..

abs(0,1*cot( 0,1x)-cot x)<0,0001*cot x, kun x< 0,0174067≈1°
cot 0,8° = tan 89,2° =71,615... cot 0,08° = tan 89,92=716,19...
jne...

[Ykkösnolla]

Tässä oma vastaukseni (aika pitkä tarina):

Ensinnäkin, kosineilla tapahtuu seuraavaa:

cos(89.9) = 0,00174532836589830884
cos(89.99) = 0,0001745329243133368
cos(89,999) = 0,0000174532925190572

Jälleen samoja numeroita!

Kun x lähellä lukua pi/2, on cos x [math]\approx pi/2 - x, ja asteissa (kun x on asteina) on sama kaava cos x [math]\approx pi/2 - x*pi/180.
(Esimerkiksi cos(89,9) = 0,00174532836589830884 ja pi/2-89.9*pi/180 = 0,00174532925199432958.)

Nyt on helppo nähdä, että luku cos(89,99) on kymmenesosa luvusta cos(89,9):

[math]\dfrac{\cos(89.99)}{\cos(89.9)}\approx\dfrac{\dfrac{\pi}{2}-89.99 \cdot \dfrac{\pi}{180}}{\dfrac{\pi}{2}-89.9 \cdot \dfrac{\pi}{180}}=\dfrac{90-89.99}{90-89.9}=\dfrac{0.01}{0.1}=\dfrac{1}{10}

Yleinen todistus menisi vastaavaan tapaan, tutkimalla lukuja cos(90-10^(-n)).

Sitten tangentteihin, tan 89,9 = sin(89,9) / cos(89,9) ja tan 89,99 = sin(89,99) / cos(89,99). Näissä osoittajat ovat likimain ykkösiä, ja jälkimmäisen nimittäjä on 1/10 edellisen nimittäjästä, joten se, siis tan 89,99, on kymmenkertainen verrattuna edelliseen, siis lukuun tan 89,9.

Tuo cos x [math]\approx pi/2 - x on alkua funktion cos x Taylorin polynomista pisteessä x = pi/2, aika tunnettu kaava.