Tiedepalsta.fi

Erästä tehtävää pyöritellessäni jouduin laskemaan kulmanpuolittajan pituuden. Sain mielenkiitoisen ja helposti muistettavan tuloksen. Yritin googlaamalla varmistaa tuloksen mutta mutta en löytänyt vahvistusta.
Tehtävä:
Kolmion sivujen a ja b välisen kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun osiin, joiden pituudet ovat x ja y.
Kuinka pitkä on kulmanpuolittja?

POPE kirjoitti: ↑02 Touko 2025, 22:34 Erästä tehtävää pyöritellessäni jouduin laskemaan kulmanpuolittajan pituuden. Sain mielenkiitoisen ja helposti muistettavan tuloksen. Yritin googlaamalla varmistaa tuloksen mutta mutta en löytänyt vahvistusta.
Tehtävä:
Kolmion sivujen a ja b välisen kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun osiin, joiden pituudet ovat x ja y.
Kuinka pitkä on kulmanpuolittja?

https://proofwiki.org/wiki/Length_of_Angle_Bisector, jos siellä olevassa kaavassa korvaa c:n a:lla ja a:n (x+y):llä, saa pituuden muuttujien a, b, x ja y avulla. Mutta tulos ei ole mitenkään tyylikäs, joten kaavasi ei ehkä ole ok.
Piirtämällä jonkun ei-säännöllisen kolmion ja mittaamalla pituuksia ja vertaamalla niitä kaavan tulokseen on yleensä helppo todeta jokin kaava vääräksi.

Ykkösnolla kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 01:41

POPE kirjoitti: ↑02 Touko 2025, 22:34 Erästä tehtävää pyöritellessäni jouduin laskemaan kulmanpuolittajan pituuden. Sain mielenkiitoisen ja helposti muistettavan tuloksen. Yritin googlaamalla varmistaa tuloksen mutta mutta en löytänyt vahvistusta.
Tehtävä:
Kolmion sivujen a ja b välisen kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun osiin, joiden pituudet ovat x ja y.
Kuinka pitkä on kulmanpuolittja?

https://proofwiki.org/wiki/Length_of_Angle_Bisector, jos siellä olevassa kaavassa korvaa c:n a:lla ja a:n (x+y):llä, saa pituuden muuttujien a, b, x ja y avulla. Mutta tulos ei ole mitenkään tyylikäs, joten kaavasi ei ehkä ole ok.
Piirtämällä jonkun ei-säännöllisen kolmion ja mittaamalla pituuksia ja vertaamalla niitä kaavan tulokseen on yleensä helppo todeta jokin kaava vääräksi.

Päädyin siistiin kaavaan, jossa esiintyvät a,b,x ja y.

POPE kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 08:06

Ykkösnolla kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 01:41

POPE kirjoitti: ↑02 Touko 2025, 22:34 Erästä tehtävää pyöritellessäni jouduin laskemaan kulmanpuolittajan pituuden. Sain mielenkiitoisen ja helposti muistettavan tuloksen. Yritin googlaamalla varmistaa tuloksen mutta mutta en löytänyt vahvistusta.
Tehtävä:
Kolmion sivujen a ja b välisen kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun osiin, joiden pituudet ovat x ja y.
Kuinka pitkä on kulmanpuolittja?

https://proofwiki.org/wiki/Length_of_Angle_Bisector, jos siellä olevassa kaavassa korvaa c:n a:lla ja a:n (x+y):llä, saa pituuden muuttujien a, b, x ja y avulla. Mutta tulos ei ole mitenkään tyylikäs, joten kaavasi ei ehkä ole ok.
Piirtämällä jonkun ei-säännöllisen kolmion ja mittaamalla pituuksia ja vertaamalla niitä kaavan tulokseen on yleensä helppo todeta jokin kaava vääräksi.

Päädyin siistiin kaavaan, jossa esiintyvät a,b,x ja y.

No, testaa kaavasi (laskimen avulla) vaikkapa seuraavilla arvoilla: a=1.935, b=4.403, x=1,786, y=4,063. Jos tulos ei ole 1,124 (plusmiinus 0,005), on kaavasi virheellinen. Muutoin se on melkoisen varmasti OK, ja sitten sen todistamista voi alkaa pohtia!

Ykkösnolla kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 11:01

POPE kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 08:06

Ykkösnolla kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 01:41

POPE kirjoitti: ↑02 Touko 2025, 22:34 Erästä tehtävää pyöritellessäni jouduin laskemaan kulmanpuolittajan pituuden. Sain mielenkiitoisen ja helposti muistettavan tuloksen. Yritin googlaamalla varmistaa tuloksen mutta mutta en löytänyt vahvistusta.
Tehtävä:
Kolmion sivujen a ja b välisen kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun osiin, joiden pituudet ovat x ja y.
Kuinka pitkä on kulmanpuolittja?

https://proofwiki.org/wiki/Length_of_Angle_Bisector, jos siellä olevassa kaavassa korvaa c:n a:lla ja a:n (x+y):llä, saa pituuden muuttujien a, b, x ja y avulla. Mutta tulos ei ole mitenkään tyylikäs, joten kaavasi ei ehkä ole ok.
Piirtämällä jonkun ei-säännöllisen kolmion ja mittaamalla pituuksia ja vertaamalla niitä kaavan tulokseen on yleensä helppo todeta jokin kaava vääräksi.

Päädyin siistiin kaavaan, jossa esiintyvät a,b,x ja y.

No, testaa kaavasi (laskimen avulla) vaikkapa seuraavilla arvoilla: a=1.935, b=4.403, x=1,786, y=4,063. Jos tulos ei ole 1,124 (plusmiinus 0,005), on kaavasi virheellinen. Muutoin se on melkoisen varmasti OK, ja sitten sen todistamista voi alkaa pohtia!

Kaavani antoii neljän numeron tarkkuudella 1,263, joten olen väärässä tai sinun luvuissasi on epätarkkuutta.

POPE kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 12:12

Ykkösnolla kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 11:01

POPE kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 08:06

Ykkösnolla kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 01:41

POPE kirjoitti: ↑02 Touko 2025, 22:34 Erästä tehtävää pyöritellessäni jouduin laskemaan kulmanpuolittajan pituuden. Sain mielenkiitoisen ja helposti muistettavan tuloksen. Yritin googlaamalla varmistaa tuloksen mutta mutta en löytänyt vahvistusta.
Tehtävä:
Kolmion sivujen a ja b välisen kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun osiin, joiden pituudet ovat x ja y.
Kuinka pitkä on kulmanpuolittja?

https://proofwiki.org/wiki/Length_of_Angle_Bisector, jos siellä olevassa kaavassa korvaa c:n a:lla ja a:n (x+y):llä, saa pituuden muuttujien a, b, x ja y avulla. Mutta tulos ei ole mitenkään tyylikäs, joten kaavasi ei ehkä ole ok.
Piirtämällä jonkun ei-säännöllisen kolmion ja mittaamalla pituuksia ja vertaamalla niitä kaavan tulokseen on yleensä helppo todeta jokin kaava vääräksi.

Päädyin siistiin kaavaan, jossa esiintyvät a,b,x ja y.

No, testaa kaavasi (laskimen avulla) vaikkapa seuraavilla arvoilla: a=1.935, b=4.403, x=1,786, y=4,063. Jos tulos ei ole 1,124 (plusmiinus 0,005), on kaavasi virheellinen. Muutoin se on melkoisen varmasti OK, ja sitten sen todistamista voi alkaa pohtia!

Kaavani antoii neljän numeron tarkkuudella 1,263, joten olen väärässä tai sinun luvuissasi on epätarkkuutta.

Jäi neliöjuuri ottamatta
√1,263=1,124 .
Täsmää.

POPE kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 08:06

Ykkösnolla kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 01:41

POPE kirjoitti: ↑02 Touko 2025, 22:34 Erästä tehtävää pyöritellessäni jouduin laskemaan kulmanpuolittajan pituuden. Sain mielenkiitoisen ja helposti muistettavan tuloksen. Yritin googlaamalla varmistaa tuloksen mutta mutta en löytänyt vahvistusta.
Tehtävä:
Kolmion sivujen a ja b välisen kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun osiin, joiden pituudet ovat x ja y.
Kuinka pitkä on kulmanpuolittja?

https://proofwiki.org/wiki/Length_of_Angle_Bisector, jos siellä olevassa kaavassa korvaa c:n a:lla ja a:n (x+y):llä, saa pituuden muuttujien a, b, x ja y avulla. Mutta tulos ei ole mitenkään tyylikäs, joten kaavasi ei ehkä ole ok.
Piirtämällä jonkun ei-säännöllisen kolmion ja mittaamalla pituuksia ja vertaamalla niitä kaavan tulokseen on yleensä helppo todeta jokin kaava vääräksi.

Päädyin siistiin kaavaan, jossa esiintyvät a,b,x ja y.

Tietysti on mahdollista, ja varmaan todennäköistäkin, että kun linkkini kaavaan on tehty mainitsemani sijoitukset, voi lauseketta tavalla tai toisella sieventää huomioimalla, että x ja y ovat puolittajan leikkauspisteen määräämät osat kolmannesta sivusta, eivätkä vain mitkä tahansa x ja y, joille x+y=kolmas sivu. Kokeilinkin sijoitella ehtoa a/b=x/y tuohon linkin kaavaan, mutta en kyllä edistynyt yhtään. Ehkä siis kannattaa yrittää puhtaalta pöydältä.

Tällaisen kaavan sain aikaan: [math]d^2 = ab-xy

Käytin ensin kosinilausetta osakolmioihin, ratkaisin cos-alfat ja merkitsin ne yhtäsuuriksi. Tästä yhtälöstä puolittajan pituus d sitten ratkesikin.

Ykkösnolla kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 20:16 Tällaisen kaavan sain aikaan: [math]d^2 = ab-xy

Käytin ensin kosinilausetta osakolmioihin, ratkaisin cos-alfat ja merkitsin ne yhtäsuuriksi. Tästä yhtälöstä puolittajan pituus d sitten ratkesikin.

Eikö olekin siisti kaava!

POPE kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 20:26

Ykkösnolla kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 20:16 Tällaisen kaavan sain aikaan: [math]d^2 = ab-xy

Käytin ensin kosinilausetta osakolmioihin, ratkaisin cos-alfat ja merkitsin ne yhtäsuuriksi. Tästä yhtälöstä puolittajan pituus d sitten ratkesikin.

Eikö olekin siisti kaava!

Kyllä näin on. Kirjoitan vielä ilokseni paperilaskuni puhtaaksi ja liitän tänne. Voit sitten verrata, laskitko samaan tapaan.

Tässä lasku:

merkinnät: [math]2\alpha=puolitettava kulma, [math]x=at ja [math]y=bt

[math](at)^2=a^2+d^2-2ad\cos{\alpha} ja [math](bt)^2=b^2+d^2-2bd\cos{\alpha}
[math]\iff[math]\dfrac{a^2+d^2-(at)^2}{2ad}=\dfrac{b^2+d^2-(bt)^2}{2bd}
[math]\iff[math]\dfrac{a^2+d^2-(at)^2}{a}=\dfrac{b^2+d^2-(bt)^2}{b}
[math]\iff[math]b(a^2+d^2-(at)^2)=a(b^2+d^2-(bt)^2)
[math]\iff[math](b-a)d^2=ab^2-a(bt)^2-ba^2+b(at)^2
[math]\iff[math](b-a)d^2=ab^2(1-t^2)-ba^2(1-t^2)
[math]\iff[math](b-a)d^2=(1-t^2)(ab^2-ba^2)
[math]\iff[math](b-a)d^2=(1-t^2)ab(b-a)
[math]\iff[math]d^2=(1-t^2)ab
sijoitetaan tähän [math]t^2=t \cdot t = \dfrac{x}{a} \cdot \dfrac{y}{b}
[math]\iff[math]d^2=\left( 1-\dfrac{xy}{ab} \right) \cdot ab = ab-xy

Ykkösnolla kirjoitti: ↑03 Touko 2025, 21:00 Tässä lasku:

merkinnät: [math]2\alpha=puolitettava kulma, [math]x=at ja [math]y=bt

[math](at)^2=a^2+d^2-2ad\cos{\alpha} ja [math](bt)^2=b^2+d^2-2bd\cos{\alpha}
[math]\iff[math]\dfrac{a^2+d^2-(at)^2}{2ad}=\dfrac{b^2+d^2-(bt)^2}{2bd}
[math]\iff[math]\dfrac{a^2+d^2-(at)^2}{a}=\dfrac{b^2+d^2-(bt)^2}{b}
[math]\iff[math]b(a^2+d^2-(at)^2)=a(b^2+d^2-(bt)^2)
[math]\iff[math](b-a)d^2=ab^2-a(bt)^2-ba^2+b(at)^2
[math]\iff[math](b-a)d^2=ab^2(1-t^2)-ba^2(1-t^2)
[math]\iff[math](b-a)d^2=(1-t^2)(ab^2-ba^2)
[math]\iff[math](b-a)d^2=(1-t^2)ab(b-a)
[math]\iff[math]d^2=(1-t^2)ab
sijoitetaan tähän [math]t^2=t \cdot t = \dfrac{x}{a} \cdot \dfrac{y}{b}
[math]\iff[math]d^2=\left( 1-\dfrac{xy}{ab} \right) \cdot ab = ab-xy

Minulla täsmälleen samat laskelmat. Käytin jopa samaa parametria (t)!

Löysin vielä tällaisen:
https://math.stackexchange.com/question ... ect=1&lq=1
... ja siinä math.stackexchange-älypää toteaa vastauksen alussa: "It directly follows from the law of cosines, ..."

Lisäksi voi olla, että tuo kaava ab-xy saattaa löytyä tehtävänä jostain vanhasta trigonometrian oppikirjasta (esim. Väisälän trigonometria) tai vanhoista ylioppilastehtävistä. Ja vanhalla tarkoitan vuosia 1860-1950!

Ykkösnolla kirjoitti: ↑04 Touko 2025, 17:42 Löysin vielä tällaisen:
https://math.stackexchange.com/question ... ect=1&lq=1
... ja siinä math.stackexchange-älypää toteaa vastauksen alussa: "It directly follows from the law of cosines, ..."

Lisäksi voi olla, että tuo kaava ab-xy saattaa löytyä tehtävänä jostain vanhasta trigonometrian oppikirjasta (esim. Väisälän trigonometria) tai vanhoista ylioppilastehtävistä. Ja vanhalla tarkoitan vuosia 1860-1950!

Olihan selvää, että tämä tulos oli tunnettu, mutta minulle se oli uusi ja yllättävä laskelmieni tulos.
Uusi kiva ongelma
Täydennä
8,12,20,_,44

No, ei ihan löytynyt, mutta tällainen paljon helpompi oli Väisälässä tehtävänä:
"179. Olkoot b ja c kaksi kolmion sivua ja [math]\alpha niiden välinen kulma. Todistettava, että tämän kulman puolittajasta kolmion sisään jäävän osan pituus [math]\frac{2bc\cos{\frac{1}{2} \alpha}}{b+c}."
Väisälän kirjaa käytettiin lukioissa ehkä joskus vuosina 1950-1975.

Ja tässä pari yo-tehtävää vuodelta 1926, ensimmäinen on lyhyttä matematiikkaa, toinen pitkää. Silloin geometriaa arvostettiin!
"Todista, että tasakylkisen kolmion kannalla olevasta pisteestä kolmion kylkiä vastaan piirrettyjen etäisyyksien summa on yhtä suuri kuin kannan toisesta päätepisteestä piirretty korkeusjana."
"Todista, että jokaisessa kolmiossa mediaanien (keskijanojen) neliöiden summa on [math]\frac{3}{4} sivujen neliöiden summasta."

Jos geometria alkaa kyllästyttää, niin tässä vielä yksi arvoitus: MHK-239, MOA-379, TKH-439 ja SVN-489 näyttävät autojen rekisterinumeroilta. Yksi puuttuu, viimeinen. Mikä se on? Tämän keksin äsken ulkona kävellessäni...