Collatzin pähkinän todistus

[JMe1]

En ymmärtänyt tuosta matematiikasta mitään, mutta jos paperia vertaa simulaatioon jossa näkyi se että aina kun tuli binäärisenä luku jossa oli ykköset yliedustettuna, siitä seurasi pitkä ketju. Voiko ilmiötä peilata jotenkin tuohon julkaisuusi ?

[Phobos]

En ymmärtänyt tuosta matematiikasta mitään, mutta jos paperia vertaa simulaatioon jossa näkyi se että aina kun tuli binäärisenä luku jossa oli ykköset yliedustettuna, siitä seurasi pitkä ketju. Voiko ilmiötä peilata jotenkin tuohon julkaisuusi ?

Olen kuullut/luullut että Eusa matematiikka on ihan jotain muuta. En tosin tiedä. Voi olla että Eusa on oikeasti jonkin jäljillä.

Vieläköhän tässä iässä kerkeisi perehtyä matikkaan? Yleensä olen tehnyt että opisken sen mitä kulloinkin tarvitsen.

Olette eri tasolla aivan. Sen myönnän.

[Eusa]

En ymmärtänyt tuosta matematiikasta mitään, mutta jos paperia vertaa simulaatioon jossa näkyi se että aina kun tuli binäärisenä luku jossa oli ykköset yliedustettuna, siitä seurasi pitkä ketju. Voiko ilmiötä peilata jotenkin tuohon julkaisuusi ?

Kyllä. B+1 jaollisuus 2^n:llä ennakoi, että seuraavaksi noustaan peräkkäisillä termeillä (3x+1)/2 aina A 3^n-1:een asti, A = (B+1)/2^n.

Tuo 2^n näkyy tietysti binäärinumeroiden peräkkäisyyksinä.

[Lakrankki]

Nyt se ilmestyi Stackexchangeen

[Eusa]

Nyt se ilmestyi Stackexchangeen

Tarkoitatko tätä vai jotain muuta?

https://math.stackexchange.com/a/5082791

[Lakrankki]

Tarkoitatko tätä vai jotain muuta?

Ei ollut tuo. Math.s.e. ilmestyi jonkun toisen nimimerkin lyhyt viesti, missä oli muistaakseni linkki ja lyhyt tiivistelmä juuri tuosta sinun asiasta. Nimimerkki oli kirjoitettu kokonaan isoilla kirjaimilla ja muistaakseni kaksiosainen ZXC VBN tyyliin. Se sai nopeasti -3 votes ja sinne ehti tulemaan pari kriittistä kommenttiakin, mutta miinuksia tuli kai vielä pari lisää ja se deletoitiin.

Sinänsä hölmö käytäntö, että nyt niitä kommenttejakaan ei enää näe, vaikka siellä saattaisi olla hyviä vinkkejä.

Math.s.e. on hyvin vihamielisen oloinen kyllä. Porukalla koulukiusausta. Käytännössä aina kun olen kirjoittanut sinne mitä hyvänsä, niin tulee pelkkää kuraa vastaukseksi ja miinuksia ja deletointia. Milloin on huonoa englantia, milloin pari numeroa pitäisi olla mathjaxilla tehtyjä, tai että tähän on jo vastatu 10 vuotta sitten tai kysymys on typerä ja mitä olet itse tehnyt (paha tehdä jos ei osaa). Kerran joku antoi armoa ja vastasi laajasti mun kysymykseen vaikka olikin jo melkein deletointirajalla. Sitten se herättikin hieman asiallista keskustelua, kun joku nimekäs oli tavallaan hyväksynyt kysymyksen vastaamalla siihen.

Kierrän tätä nykyään siten, että kysyn jollakin toisella s.e. alueella. Niissä on hieman rennompi ilmapiiri.

[Kohina]

Tarkoitatko tätä vai jotain muuta?

Ei ollut tuo. Math.s.e. ilmestyi jonkun toisen nimimerkin lyhyt viesti, missä oli muistaakseni linkki ja lyhyt tiivistelmä juuri tuosta sinun asiasta. Nimimerkki oli kirjoitettu kokonaan isoilla kirjaimilla ja muistaakseni kaksiosainen ZXC VBN tyyliin. Se sai nopeasti -3 votes ja sinne ehti tulemaan pari kriittistä kommenttiakin, mutta miinuksia tuli kai vielä pari lisää ja se deletoitiin.

Sinänsä hölmö käytäntö, että nyt niitä kommenttejakaan ei enää näe, vaikka siellä saattaisi olla hyviä vinkkejä.

Math.s.e. on hyvin vihamielisen oloinen kyllä. Porukalla koulukiusausta. Käytännössä aina kun olen kirjoittanut sinne mitä hyvänsä, niin tulee pelkkää kuraa vastaukseksi ja miinuksia ja deletointia. Milloin on huonoa englantia, milloin pari numeroa pitäisi olla mathjaxilla tehtyjä, tai että tähän on jo vastatu 10 vuotta sitten tai kysymys on typerä ja mitä olet itse tehnyt (paha tehdä jos ei osaa). Kerran joku antoi armoa ja vastasi laajasti mun kysymykseen vaikka olikin jo melkein deletointirajalla. Sitten se herättikin hieman asiallista keskustelua, kun joku nimekäs oli tavallaan hyväksynyt kysymyksen vastaamalla siihen.

Kierrän tätä nykyään siten, että kysyn jollakin toisella s.e. alueella. Niissä on hieman rennompi ilmapiiri.

Joo sille on syynsä miksi Perelman viettää aikansa äipän pirtillä ilman nykyajan hössötyksiä.

[Eusa]

Tarkoitatko tätä vai jotain muuta?

Ei ollut tuo. Math.s.e. ilmestyi jonkun toisen nimimerkin lyhyt viesti, missä oli muistaakseni linkki ja lyhyt tiivistelmä juuri tuosta sinun asiasta. Nimimerkki oli kirjoitettu kokonaan isoilla kirjaimilla ja muistaakseni kaksiosainen ZXC VBN tyyliin. Se sai nopeasti -3 votes ja sinne ehti tulemaan pari kriittistä kommenttiakin, mutta miinuksia tuli kai vielä pari lisää ja se deletoitiin.

Sinänsä hölmö käytäntö, että nyt niitä kommenttejakaan ei enää näe, vaikka siellä saattaisi olla hyviä vinkkejä.

Math.s.e. on hyvin vihamielisen oloinen kyllä. Porukalla koulukiusausta. Käytännössä aina kun olen kirjoittanut sinne mitä hyvänsä, niin tulee pelkkää kuraa vastaukseksi ja miinuksia ja deletointia. Milloin on huonoa englantia, milloin pari numeroa pitäisi olla mathjaxilla tehtyjä, tai että tähän on jo vastatu 10 vuotta sitten tai kysymys on typerä ja mitä olet itse tehnyt (paha tehdä jos ei osaa). Kerran joku antoi armoa ja vastasi laajasti mun kysymykseen vaikka olikin jo melkein deletointirajalla. Sitten se herättikin hieman asiallista keskustelua, kun joku nimekäs oli tavallaan hyväksynyt kysymyksen vastaamalla siihen.

Kierrän tätä nykyään siten, että kysyn jollakin toisella s.e. alueella. Niissä on hieman rennompi ilmapiiri.

Jaha. Olisihan ollut mukava lukea, jos referoi työtäni...

[Eusa]

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.30259.54567

Paperi päivitetty helpommin luettavaksi ja todistelu seurattavammaksi.

[Eusa]

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.30259.54567
Lisäsin huomioita peilimodulaarisuudesta myös mod 4 -luokkaan ja terävöitin lukuavaruuden positiivisuuden merkitystä (verrattuna sisarketjuun).

[Lakrankki]

Voitko näyttää lyhyesti, miten tämä sinun menetelmäsi tehoaa vaikkapa tähän tunnetusti pitkän ketjun aiheuttavaan lukuun: 9 780 657 630. Tai pystyykö tästä jotenkin näkemään etukäteen, että tulossa on pitkä ketju.

[Eusa]

Voitko näyttää lyhyesti, miten tämä sinun menetelmäsi tehoaa vaikkapa tähän tunnetusti pitkän ketjun aiheuttavaan lukuun: 9 780 657 630. Tai pystyykö tästä jotenkin näkemään etukäteen, että tulossa on pitkä ketju.

Tuo pitää jakaa kerran kahdella, että päästään parittomaan B. Sitten B+1 on 4 kertaa jaollinen kahdella, mutta ei kertaakaan kolmella. Se tarkoittaa, että ollaan ketjukorkeudessa menossa alhaalla. (B+1)/2⁴ antaa kaksi hyvin eri suurta alkutekijää 23 ja 13288937.

Näiden tietojen ja tutkimuksen perusteella voi uskoa, että kun seuraavaksi kerrotaan 3⁴:llä, vähennetään yksi ja jaetaan kahdella, lähdetään käymään pikku hiljaa läpi lisää alkutekijöitä. Koska menossa oleva luku A mod 4 ≡ 3 ja 4 on parillinen potenssi, ennuste on, ettei jakaudu heti enempää kahdella.

Tarkistus: Kyllä, tulee aiemman kahden sijaan kolme alkutekijää eikä jakaudu pienemmäksi. Teoreeman perusteella ketjulla on tuosta hyvät edellytykset kumpuilla monipuolisesti alkutekijämäärää lisäten. Itse asiassa voinkin ajaa koodillani lohkojen jonon:

3x+1, seed=4890328815;
lohko-nro | B | (n,r) -potenssit | A_0 3^n 3^r -1 | alkutekijät | m= edellisen kahdella jaon määrä
0 | 4890328815 | (4,0) | 24757289630 | 5 × 97 × 25522979 | m=1
1 | 12378644815 | (4,0) | 62666889380 | 5 × 29 × 108046361 | m=2
2 | 15666722345 | (1,1) | 23500083518 | 17 × 691178927 | m=1
3 | 11750041759 | (5,0) | 89226879614 | 257 × 173593151 | m=1
4 | 44613439807 | (6,0) | 508174962812 | 11 × 887 × 13020779 | m=2
5 | 127043740703 | (5,1) | 964738405970 | 5 × 983 × 98142259 | m=1
6 | 482369202985 | (1,0) | 723553804478 | 31649 × 11430911 | m=1
7 | 361776902239 | (5,0) | 2747243351384 | 7 × 19 × 79 × 239 × 136751 | m=3
8 | 343405418923 | (2,0) | 772662192578 | 29 × 13321761941 | m=1
9 | 386331096289 | (1,0) | 579496644434 | 2357 × 122930981 | m=1
10 | 289748322217 | (1,0) | 434622483326 | 97 × 8573 × 261323 | m=1
11 | 217311241663 | (6,0) | 2475310862078 | 1237655431039 | m=1
12 | 1237655431039 | (7,0) | 21146503341284 | 17 × 37 × 8404810549 | m=2
13 | 5286625835321 | (1,1) | 7929938752982 | 151 × 26258075341 | m=1
14 | 3964969376491 | (2,0) | 8921181097106 | 348389 × 12803477 | m=1
15 | 4460590548553 | (1,0) | 6690885822830 | 5 × 11 × 17 × 26161 × 136769 | m=1
16 | 3345442911415 | (3,0) | 11290869826028 | 13 × 5281 × 41115719 | m=2
17 | 2822717456507 | (2,1) | 6351114277142 | 23 × 6451 × 21402527 | m=1
18 | 3175557138571 | (2,0) | 7145003561786 | 457 × 10663 × 733123 | m=1
19 | 3572501780893 | (1,0) | 5358752671340 | 5 × 23 × 157 × 8089 × 9173 | m=2
20 | 1339688167835 | (2,1) | 3014298377630 | 5 × 301429837763 | m=1
21 | 1507149188815 | (4,0) | 7629942768380 | 5 × 107 × 3565393817 | m=2
22 | 1907485692095 | (6,1) | 21727454211530 | 5 × 383221 × 5669693 | m=1
23 | 10863727105765 | (1,0) | 16295590658648 | 7 × 38891 × 7482263 | m=3
24 | 2036948832331 | (2,0) | 4583134872746 | 53 × 2749 × 15728309 | m=1
25 | 2291567436373 | (1,0) | 3437351154560 | 5 × 10723 × 500873 | m=7
26 | 26854305895 | (3,0) | 90633282398 | 113 × 401032223 | m=1
27 | 45316641199 | (4,0) | 229415496074 | 114707748037 | m=1
28 | 114707748037 | (1,0) | 172061622056 | 8053 × 2670769 | m=3
29 | 21507702757 | (1,0) | 32261554136 | 7^2 × 29 × 2837927 | m=3
30 | 4032694267 | (2,0) | 9073562102 | 11 × 3907 × 105563 | m=1
31 | 4536781051 | (2,0) | 10207757366 | 5103878683 | m=1
32 | 5103878683 | (2,0) | 11483727038 | 7 × 349 × 2350333 | m=1
33 | 5741863519 | (5,0) | 43602276104 | 101 × 53963213 | m=3
34 | 5450284513 | (1,0) | 8175426770 | 5 × 7 × 5851 × 19961 | m=1
35 | 4087713385 | (1,0) | 6131570078 | 3065785039 | m=1
36 | 3065785039 | (4,0) | 15520536764 | 19 × 13331 × 15319 | m=2
37 | 3880134191 | (4,1) | 19643179346 | 7 × 17 × 82534367 | m=1
38 | 9821589673 | (1,0) | 14732384510 | 5 × 31 × 1447 × 32843 | m=1
39 | 7366192255 | (7,0) | 125858300498 | 7 × 8989878607 | m=1
40 | 62929150249 | (1,0) | 94393725374 | 13 × 1901 × 1909799 | m=1
41 | 47196862687 | (5,0) | 358401176036 | 59 × 569 × 607 × 4397 | m=2
42 | 89600294009 | (1,1) | 134400441014 | 7 × 29 × 3889 × 85121 | m=1
43 | 67200220507 | (2,0) | 151200496142 | 331 × 4283 × 53327 | m=1
44 | 75600248071 | (3,0) | 255150837242 | 7 × 571 × 1873 × 17041 | m=1
45 | 127575418621 | (1,0) | 191363127932 | 47840781983 | m=2
46 | 47840781983 | (5,1) | 363290938190 | 5 × 41 × 12197 × 72647 | m=1
47 | 181645469095 | (3,0) | 613053458198 | 859 × 1433 × 249017 | m=1
48 | 306526729099 | (2,0) | 689685140474 | 11^3 × 647 × 400441 | m=1
49 | 344842570237 | (1,0) | 517263855356 | 32213 × 4014403 | m=2
50 | 129315963839 | (6,1) | 1472989650614 | 457 × 17597 × 91583 | m=1
51 | 736494825307 | (2,0) | 1657113356942 | 131 × 151 × 191 × 219301 | m=1
52 | 828556678471 | (3,0) | 2796378789842 | 11 × 106189 × 1196999 | m=1
53 | 1398189394921 | (1,0) | 2097284092382 | 1048642046191 | m=1
54 | 1048642046191 | (4,0) | 5308750358846 | 11 × 241306834493 | m=1
55 | 2654375179423 | (5,0) | 20156661518750 | 5^5 × 29 × 111209167 | m=1
56 | 10078330759375 | (4,0) | 51021549469340 | 5 × 47161 × 54092947 | m=2
57 | 12755387367335 | (3,1) | 43049432364758 | 41 × 827 × 634816297 | m=1
58 | 21524716182379 | (2,0) | 48430611410354 | 24215305705177 | m=1
59 | 24215305705177 | (1,0) | 36322958557766 | 661 × 27475762903 | m=1
60 | 18161479278883 | (2,0) | 40863328377488 | 19 × 134418843347 | m=4
61 | 2553958023593 | (1,1) | 3830937035390 | 5 × 383093703539 | m=1
62 | 1915468517695 | (6,0) | 21818383584380 | 5 × 41 × 127 × 1471 × 142427 | m=2
63 | 5454595896095 | (5,1) | 41420837585978 | 112249 × 184504261 | m=1
64 | 20710418792989 | (1,0) | 31065628189484 | 7 × 41 × 863 × 2557 × 12263 | m=2
65 | 7766407047371 | (2,1) | 17474415856586 | 13^3 × 36809 × 108041 | m=1
66 | 8737207928293 | (1,0) | 13105811892440 | 5 × 17 × 43 × 448215181 | m=3
67 | 1638226486555 | (2,0) | 3686009594750 | 5^3 × 7 × 2106291197 | m=1
68 | 1843004797375 | (6,0) | 20992976520110 | 5 × 7 × 23 × 877 × 14867863 | m=1
69 | 10496488260055 | (3,0) | 35425647877688 | 17 × 101 × 109 × 23660887 | m=3
70 | 4428205984711 | (3,0) | 14945195198402 | 7 × 1067513942743 | m=1
71 | 7472597599201 | (1,0) | 11208896398802 | 139609 × 40143889 | m=1
72 | 5604448199401 | (1,0) | 8406672299102 | 7^2 × 11 × 47 × 8243 × 20129 | m=1
73 | 4203336149551 | (4,0) | 21279389257106 | 1553 × 4273 × 1603337 | m=1
74 | 10639694628553 | (1,0) | 15959541942830 | 5 × 1103017 × 1446899 | m=1
75 | 7979770971415 | (3,0) | 26931727028528 | 7 × 240461848469 | m=4
76 | 1683232939283 | (2,1) | 3787274113388 | 2927 × 323477461 | m=2
77 | 946818528347 | (2,1) | 2130341688782 | 19 × 271 × 367 × 733 × 769 | m=1
78 | 1065170844391 | (3,0) | 3594951599822 | 11 × 17 × 19 × 6053 × 83579 | m=1
79 | 1797475799911 | (3,0) | 6066480824702 | 19 × 159644232229 | m=1
80 | 3033240412351 | (6,0) | 34550504071946 | 19 × 50131 × 18136957 | m=1
81 | 17275252035973 | (1,0) | 25912878053960 | 5 × 283 × 829 × 2761307 | m=3
82 | 3239109756745 | (1,0) | 4858664635118 | 7 × 19 × 18265656523 | m=1
83 | 2429332317559 | (3,0) | 8198996571764 | 19 × 29 × 5903 × 630197 | m=2
84 | 2049749142941 | (1,1) | 3074623714412 | 541 × 1420805783 | m=2
85 | 768655928603 | (2,1) | 1729475839358 | 17203 × 50266693 | m=1
86 | 864737919679 | (6,0) | 9849905366354 | 73 × 419 × 161014571 | m=1
87 | 4924952683177 | (1,0) | 7387429024766 | 7 × 41 × 67 × 6379 × 30113 | m=1
88 | 3693714512383 | (9,0) | 141998794428230 | 5 × 29147 × 487181509 | m=1
89 | 70999397214115 | (2,0) | 159748643731760 | 5 × 1996858046647 | m=4
90 | 9984290233235 | (2,1) | 22464653024780 | 5 × 1123232651239 | m=2
91 | 5616163256195 | (2,1) | 12636367326440 | 5 × 11 × 13 × 29 × 73 × 1043531 | m=3
92 | 1579545915805 | (1,0) | 2369318873708 | 59 × 107 × 93826979 | m=2
93 | 592329718427 | (2,1) | 1332741866462 | 41 × 229 × 70973579 | m=1
94 | 666370933231 | (4,0) | 3373502849486 | 7 × 11 × 179 × 1787 × 68483 | m=1
95 | 1686751424743 | (3,0) | 5692786058510 | 5 × 191 × 379 × 7864159 | m=1
96 | 2846393029255 | (3,0) | 9606576473738 | 67 × 2579 × 3529 × 7877 | m=1
97 | 4803288236869 | (1,0) | 7204932355304 | 17 × 52977443789 | m=3
98 | 900616544413 | (1,0) | 1350924816620 | 5 × 181 × 1699 × 219649 | m=2
99 | 337731204155 | (2,1) | 759895209350 | 5^2 × 15197904187 | m=1
100 | 379947604675 | (2,0) | 854882110520 | 5 × 971 × 983 × 22391 | m=3
101 | 106860263815 | (3,0) | 360653390378 | 180326695189 | m=1
102 | 180326695189 | (1,0) | 270490042784 | 13 × 650216449 | m=5
103 | 8452813837 | (1,0) | 12679220756 | 14759 × 214771 | m=2
104 | 3169805189 | (1,1) | 4754707784 | 594338473 | m=3
105 | 594338473 | (1,0) | 891507710 | 5 × 17 × 179 × 29297 | m=1
106 | 445753855 | (9,0) | 17136275678 | 79^2 × 1372879 | m=1
107 | 8568137839 | (4,0) | 43376197814 | 269 × 80624903 | m=1
108 | 21688098907 | (2,0) | 48798222542 | 3581 × 6813491 | m=1
109 | 24399111271 | (3,0) | 82347000542 | 39419 × 1044509 | m=1
110 | 41173500271 | (4,0) | 208440845126 | 104220422563 | m=1
111 | 104220422563 | (2,0) | 234495950768 | 463 × 31654421 | m=4
112 | 14655996923 | (2,1) | 32975993078 | 7 × 47 × 131 × 163 × 2347 | m=1
113 | 16487996539 | (2,0) | 37097992214 | 19 × 229 × 4263157 | m=1
114 | 18548996107 | (2,0) | 41735241242 | 499 × 41818879 | m=1
115 | 20867620621 | (1,0) | 31301430932 | 61 × 128284553 | m=2
116 | 7825357733 | (1,1) | 11738036600 | 5^2 × 19 × 3088957 | m=3
117 | 1467254575 | (4,0) | 7427976290 | 5 × 7 × 2551 × 41597 | m=1
118 | 3713988145 | (1,0) | 5570982218 | 43 × 103 × 628921 | m=1
119 | 2785491109 | (1,0) | 4178236664 | 7^3 × 1522681 | m=3
120 | 522279583 | (5,0) | 3966060590 | 5 × 29 × 139 × 98389 | m=1
121 | 1983030295 | (3,0) | 6692727248 | 9343 × 44771 | m=4
122 | 418295453 | (1,1) | 627443180 | 5 × 7 × 13 × 344749 | m=2
123 | 156860795 | (2,1) | 352936790 | 5 × 599 × 58921 | m=1
124 | 176468395 | (2,0) | 397053890 | 5 × 31 × 569 × 2251 | m=1
125 | 198526945 | (1,0) | 297790418 | 148895209 | m=1
126 | 148895209 | (1,0) | 223342814 | 111671407 | m=1
127 | 111671407 | (4,0) | 565336502 | 277 × 769 × 1327 | m=1
128 | 282668251 | (2,0) | 636003566 | 11 × 2753 × 10501 | m=1
129 | 318001783 | (3,0) | 1073256020 | 5 × 59 × 909539 | m=2
130 | 268314005 | (1,1) | 402471008 | 3391 × 3709 | m=5
131 | 12577219 | (2,0) | 28298744 | 17 × 251 × 829 | m=3
132 | 3537343 | (6,0) | 40292558 | 20146279 | m=1
133 | 20146279 | (3,0) | 67993694 | 2221 × 15307 | m=1
134 | 33996847 | (4,0) | 172109042 | 7 × 12293503 | m=1
135 | 86054521 | (1,0) | 129081782 | 17 × 19 × 211 × 947 | m=1
136 | 64540891 | (2,0) | 145217006 | 11 × 67 × 98519 | m=1
137 | 72608503 | (3,0) | 245053700 | 5^2 × 73 × 33569 | m=2
138 | 61263425 | (1,1) | 91895138 | 4273 × 10753 | m=1
139 | 45947569 | (1,0) | 68921354 | 109 × 316153 | m=1
140 | 34460677 | (1,0) | 51691016 | 13^3 × 17 × 173 | m=3
141 | 6461377 | (1,0) | 9692066 | 4846033 | m=1
142 | 4846033 | (1,0) | 7269050 | 5^2 × 145381 | m=1
143 | 3634525 | (1,0) | 5451788 | 97 × 14051 | m=2
144 | 1362947 | (2,1) | 3066632 | 71 × 5399 | m=3
145 | 383329 | (1,0) | 574994 | 7 × 67 × 613 | m=1
146 | 287497 | (1,0) | 431246 | 257 × 839 | m=1
147 | 215623 | (3,0) | 727730 | 5 × 61 × 1193 | m=1
148 | 363865 | (1,0) | 545798 | 11 × 24809 | m=1
149 | 272899 | (2,0) | 614024 | 76753 | m=3
150 | 76753 | (1,0) | 115130 | 5 × 29 × 397 | m=1
151 | 57565 | (1,0) | 86348 | 21587 | m=2
152 | 21587 | (2,1) | 48572 | 12143 | m=2
153 | 12143 | (4,1) | 61478 | 59 × 521 | m=1
154 | 30739 | (2,0) | 69164 | 17291 | m=2
155 | 17291 | (2,1) | 38906 | 7^2 × 397 | m=1
156 | 19453 | (1,0) | 29180 | 5 × 1459 | m=2
157 | 7295 | (7,1) | 124658 | 157 × 397 | m=1
158 | 62329 | (1,0) | 93494 | 46747 | m=1
159 | 46747 | (2,0) | 105182 | 7 × 11 × 683 | m=1
160 | 52591 | (4,0) | 266246 | 239 × 557 | m=1
161 | 133123 | (2,0) | 299528 | 37441 | m=3
162 | 37441 | (1,0) | 56162 | 28081 | m=1
163 | 28081 | (1,0) | 42122 | 21061 | m=1
164 | 21061 | (1,0) | 31592 | 11 × 359 | m=3
165 | 3949 | (1,0) | 5924 | 1481 | m=2
166 | 1481 | (1,1) | 2222 | 11 × 101 | m=1
167 | 1111 | (3,0) | 3752 | 7 × 67 | m=3
168 | 469 | (1,0) | 704 | 11 | m=6
169 | 11 | (2,1) | 26 | 13 | m=1
170 | 13 | (1,0) | 20 | 5 | m=2
171 | 5 | (1,1) | 8 | 1 | m=3
172 | 1 | - (stop)

[Eusa]

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.30259.54567
 
Päivitin todistuslujuuksia ja poistin Lyapunov driftin toimimattomana. Se olikin stokastinen ja heuristinen argumentti. Korvasin omalla deterministisellä todistusrakenteellani.

[Eusa]

Sain mielestäni läpimurron aikaan Collatzin slot-rakenteen läpivalaisussa ja merkitsin qed-merkin todistukselle.

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.30259.54567

[Eusa]

CRT-rakenteiset Collatz-lohkot vs. aiemmat lähestymistavat, ja miksi lohkokovarianssi on hyvin perusteltu

1. Mitä aiempi työ tallentaa?
Useimmat klassiset analyysit koodaavat Collatz-dynamiikkaa kiihdytetyn parittomien lukujen kuvauksen
T(n) = (3n + 1)/2^a kautta, jossa a = v2(3n + 1) >= 1,
ja järjestävät kokonaisluvut kongruenssien mukaan (mod 2^k, mod 3, mod 6 jne.). Ne tutkivat pariteettivektoreita,
pysäytysaikoja ja käänteistä puuta: n:llä on pariton alkukuva m = (2^an - 1)/3, jos 2^an ≡ 1 (mod 3)
(mikä on sama kuin "a parillinen ja n ≡ 1 (mod 3)" tai "a pariton ja n ≡ 2 (mod 3)").

2. Mitä tämä työ lisää?
Keskitymme parittomiin 2^K-lohkoihin: jäännösluokkiin r (pariton) modulo 2^K, joissa K >= 1. Kiinalaisen
jäännöslauseen (CRT) mukaan jokainen tällainen lohko sisältää äärettömän monta kokonaislukua kussakin jäännösluokassa
modulo 3. Keskeistä on tarkastella lohkojen välisiä kaaria lineaaristen kongruenssien kautta; vierekkäisyydestä tulee
puhtaasti kongruentiaalinen käsite eikä tiettyjen kokonaislukujen ominaisuus. Tämä tuottaa yhtenäisen
"lohko-naapurusto"-graafin.

3. Miksi jokainen lohko sallii samat aloituskanavat (a–e)?
Alla "lohko" tarkoittaa paritonta jäännösluokkaa modulo 2^K. Koko ajan tarkkaa arvostusta a = v2(3n+1) noudatetaan
; tiheysnäkökohdat takaavat äärettömän monta tällaista n:ää asiaankuuluvissa kongruenssiluokissa.

(a) Lohkon sisäiset askelpisteet (T(n) pysyy samassa lohkossa).
Vaatimus T(n) ≡ n (mod 2^K) on yhtäpitävä kuin
(3n + 1)/2^a ≡ n (mod 2^K),
joka on sama kuin
3n + 1 ≡ 2^an (mod 2^{K+a})
(2^a - 3) n ≡ 1 (mod 2^{K+a}).
Koska 2^a - 3 on pariton, se on käännettävissä modulo 2^{K+a}, joten jokaiselle a >= 1 on olemassa yksikäsitteinen
ratkaisuluokka modulo 2^{K+a}, ja siten hyvin määritelty jäännösluokka modulo 2^K. Sen nostojen joukossa
äärettömän monella n:llä on tarkka arvo a.

(b) Syötöt käänteisten kaarien kautta, joissa a = 4k (parillisen a:n 4-kertainen luokka).
Käänteisessä kuvauksessa m = (2^an - 1)/3 integrointiehto on 2^an ≡ 1 (mod 3). Parilliselle a:lle
tämä on n ≡ 1 (mod 3). Jokainen pariton 2^K-lohko sisältää äärettömän monta n ≡ 1 (mod 3), joten 4k-kanavaa
on tasaisesti jokaisessa lohkossa.

(c) Merkinnät käänteisten reunojen kautta, joissa a = 2 + 4k (toinen parillinen luokka).
Jälleen tarvitsemme n ≡ 1 (mod 3). CRT:n mukaan jokainen lohko sisältää äärettömän monta tällaista n. Siten molemmat parilliset a-
alaluokat (4k ja 2+4k) esiintyvät jokaisessa lohkossa.

(d) Alaspäin suuntautuvat haarat (puhtaat 2:n potenssit lohkon yläpuolella).
Millä tahansa parittomalla n:llä lohkossa ja millä tahansa t >= 1, luku 2^tn on n:n yläpuolella ja virtaa alaspäin t jakolaskun verran.
Siksi jokainen lohko saa merkintöjä puhtaista 2-jakolaskuhaaroista.

(e) Pakotetut ylöspäin suuntautuvat askeleet (joissa jakaminen kahdella on mahdotonta).
Parittomat pisteet eivät voi olla jaollisia kahdella ja niiden on otettava 3n+1 askel. Jokainen pariton 2^K-lohko sisältää äärettömän monta
tällaista pistettä, ja CRT antaa niiden luokan määrätä modulo 3 samanaikaisesti 2^K-jäännöksen kanssa.

Huomautus mod 3:sta eteenpäin suuntautuville askeleille:
Jos T(n) käyttää arvoa a, niin
T(n) ≡ (3n + 1) \* (2^a)^{-1} (mod 3) ≡ 2^a (mod 3),
joten T(n) ≡ 1 (mod 3), kun a on parillinen ja T(n) ≡ 2 (mod 3), kun a on pariton. Koska jokainen 2^K-lohko
sisältää äärettömän monta kokonaislukua jokaisessa jäännösluokassa modulo 3, tämä ei aseta epäsymmetristä rajoitusta
lohkoille.

4. Lohkojen kovarianssi ja tasainen naapurustorakenne
Kiinnitetään kaksi paritonta 2^K-lohkoa: lähde r (mod 2^K) ja kohde s (mod 2^K). Päätyäksemme s:ään eteenpäin suuntautuvan
nousun jälkeen, jonka arvo on a, tarvitsemme
(3m + 1)/2^a ≡ s (mod 2^K)
, joka on yhtäpitävä lineaarisen kongruenssin
3m + 1 ≡ 2^as (mod 2^{K+a}) kanssa.
Koska 3 on käännettävissä modulo 2^{K+a}, jokaiselle parille (s, a) on olemassa yksikäsitteinen ratkaisuluokka m:lle
modulo 2^{K+a}. Tämän luokan supistamalla modulo 2^K saadaan aikaan määrätty lähdejäännös r. Näin ollen jokaiselle
a:lle on olemassa hyvin määritelty r:n "kuvalohko", ja päinvastoin, jokaiselle (s, a):lle on olemassa hyvin määritelty
lähdejäännösluokka modulo 2^K. Näiden luokkien kokonaislukuhissien joukossa positiivisella 2-adisella osuudella
on tarkka arvo a, joten kanavat ovat aidosti asuttuja. Vierekkäisyys määräytyy siis
ratkaistavien lineaaristen kongruenssien perusteella ja on tasainen lohkojen välillä ("lohkokovarianssi").

5. Näennäisten poikkeusten käsittely
Välittömiä kohteita s ≡ 0 (mod 3) ei voi esiintyä parittomalta parittomalle -askeleella, koska 3n + 1 ≡ 1 (mod 3),
ja kertomalla (2^a)^{-1}:llä (mod 3) ei koskaan saada nollaa. Jokainen 2^K-lohko sisältää kuitenkin myös
elementtejä, joissa s ≡ 1 ja s ≡ 2 (mod 3), joten sekä parillinen a että pariton a -kanavat ovat läsnä jokaisessa
lohkossa. Vaikka äärellisillä alueilla voi olla eri lukumääriä lohkoa kohden, asymptoottisesti jokaisella parittomalla 2^K-lohkolla
on luonnollinen tiheys 1/2^K parittomien kokonaislukujen joukossa ja se on tasaisesti jakautunut modulo 3, joten nämä kanavat ovat
tasaisesti käytettävissä.

Johtopäätös
Koska (i) jokainen pariton 2^K-lohko sisältää koko mod-3-spektrin; (ii)
lohkojen välisiä etureunoja ja takareunoja hallitsevat lineaariset kongruenssit modulo 2^{K+a}, joissa 3 a yksiköllä; ja (iii) tarkkoja
arvostuksia esiintyy positiivisella 2-adisella tiheydellä relevanttien jäännösluokkien sisällä, on perusteltua
väittää lohkokovarianssia CRT:n ratkaistavuuden suhteen. Erityisesti missään hypoteettisessa silmukassa
"rotaatio" ei voi hyödyntää erityisiä lohkoluokkia välttääkseen yhdenmukaisia ​​naapuruusrajoitteita:
Samat syöttömekanismit (a–e) ovat olemassa jokaiselle lohkolle, ja lohkotason vierekkäisyys on yhtenevä
ja yhtenäinen eikä idiosynkraattinen.