Ongelmaketju - ratkaise & esitä

[Wisti]

Tehtävä olikin ovela.50= 10cosh(x/10) antaa x:lle arvon 22,9. Sen sijaan ketjun pituudella laskien
40=10sinh(x/10) antaa 20,9.
Toisaalta, jos pylväät yhdessä, kiikkuu ketju kaksinkerroin ja sen pituus on totta vieköön 80 m. Näinhän täällä esitettiin.
Kumpi sitten edustaa mahdollista toista ratkaisua vai edustaako kumpikaan? Ei kumpikaan.
Haksahdin siis. Pisteet (0,10) ja (x,50) uhdistyvät 40 pituisella ketjun puolikkaalla vain, kun x=0.

[Lakrankki]

Tuo 3. kohta on kai hankalin ainakin mulle. En osaa ratkaista sitä. Tietokone-avusteisesti väsäämäni kolmannen asteen yhtälön juuri toimii vain noin 208 kg

Kohdassa 3. jos massa on alle tietyn rajan, suunnilleen 207,4 kg niin sen jälkeen ainoa reaalinen ja positiivinen vastaus tulee R:n eri juuresta kuin silloin jos massa on yli tuon.

In[31]:= N[%14 /. {V -> 207.4/7850, r -> 305/1000}] // InputForm
Out[31]//InputForm= (R == 0.40668367705818126 || R == 0.10165816147090935 - 0.002277802982485755*I || R == 0.10165816147090935 + 0.002277802982485755*I) && b == (-2.*(0.305*R - 1.*R^2))/(0.305 + R)

In[32]:= N[%14 /. {V -> 207.3/7850, r -> 305/1000}] // InputForm
Out[32]//InputForm= (R == 0.10046130696155295 || R == 0.10287680892781775 || R == 0.4066618841106277) && b == (-2.*(0.305*R - 1.*R^2))/(0.305 + R)

ja näistä kolmesta R:n reaalijuuresta vain kolmas on se, jolla b:stä tulee positiivinen

In[33]:= N[b == (-2.*(0.305*R - 1.*R^2))/(0.305 + R) /. R -> 0.4066618841106277]
Out[33]= b == 0.116184

en tiedä kuinka tavallista tai epätavallista tämä on, enkä sitäkään miten Mathematica numeroi ne root objectit 1,2,3 kun jos käytin aina root 1:tä niin silloin tulee ongelmia alle 207,4 kg tapauksissa.


Kohdassa 4. missä b = R, kysyttiin paljonko silloin on massaa, kun pinta-ala on minimissä. R = b ja R = 3 r ja b = 3 r. En osaa selittää miksi. Ja massa on hieman päälle 16793 kg.

In[41]:= M == 8*b*Pi*r^2*7850 /. {b -> 3 305/1000, r -> 305/1000} // N
Out[41]= M == 16793.1

Pakko sanoa, että hämmästyttää edelleen tämän helponoloisen pinta-alan minimointiongelman vaikeus ja hankaluus.

[Wisti]

Missä tuo tentti on ollut, jossa noin hankala tehtävä pitäisi saman tien ratkaista?

[Lakrankki]

Ei missään. Tämä tuli joskus aikoja sitten sattumalta eteen pienemmässä muodossa, missä piti vain minimoida pinta-ala numeerisesti jotta saadaan R ja b.

Ja joskus silloin tuli mietittyä, että kai tuon nyt saisi eksaktistikin ratkaistua, jos vain "vähän" yrittäisi.

Sen jälkeen tuli eteen mm. tuo ~207 kilon mystinen raja, jonka alapuolella kehitelty ratkaisukaava ei toimi, kun se perustui ajatukseen, että otetaan se reaalijuuri ja se toimii "aina".

Ja kuvaajia piirtäessä huomattiin, että R ja b kuvaajat leikkaavat jossakin kohdassa, eikä sitäkään kukaan saanut laskettua, että millä massalla tarkalleen. Silmämääräisesti nähtiin, että se on noin 16900 kg.

[Wisti]

Ei missään. Tämä tuli joskus aikoja sitten sattumalta eteen pienemmässä muodossa, missä piti vain minimoida pinta-ala numeerisesti jotta saadaan R ja b.

Ja joskus silloin tuli mietittyä, että kai tuon nyt saisi eksaktistikin ratkaistua, jos vain "vähän" yrittäisi.

Sen jälkeen tuli eteen mm. tuo ~207 kilon mystinen raja, jonka alapuolella kehitelty ratkaisukaava ei toimi, kun se perustui ajatukseen, että otetaan se reaalijuuri ja se toimii "aina".

Ja kuvaajia piirtäessä huomattiin, että R ja b kuvaajat leikkaavat jossakin kohdassa, eikä sitäkään kukaan saanut laskettua, että millä massalla tarkalleen. Silmämääräisesti nähtiin, että se on noin 16900 kg.

No oliko se pisteytys vain sinun antamaa?
Serkkupojalle tehtäväsi näytin. Hän sitä ratkoi ja kirjoitti saatteessa näin:
Liitteenä on minun minun körtelöni tämän laskemiseksi. En tosin tuossa järjestyksessä kohta kohdalta mennyt. Enkä niitä tarkkoja lausekkeita ruvennut näkyviin kirjoittamaan mutta periaatteessa ne voi tehdä jos haluaa. Jotenkin tuntuu ettei minun ratkaisuni ole sellainen kuin tehtävän laatija on ajatellut. En minä numeerisia likiarvoja ruvennut miettimään ja tuo eniten pisteitä antava viimeinen kohta ratkesi helposti.
Keskityin lähinnä kohtaan 2. Tiesin vähän menetelmiä miten reaalikertoimisen 3. asteen yhtälön reaalijuuret löytää käyttämättä varsinaisesti ratkaisukaavoja. Tarvitaan hyperbolisia funktioita silloin kun on vain yksi reaalijuuri ja trigonometrisia funktioita kun on kolme (eri suurta) reaalijuurta.
Sanoit mistä tämä tehtävä on, mutta ei oikein jäänyt mieleen. Tuntuu kyllä aika vaikealta jos tuollaisen pitäisi jossain koetilanteessa rajoitetussa ajassa laskea. Ehkä siihen on jokin ovela ratkaisu on, esimerkiksi valitsemalla tuntemattomaksi sopiva lauseke.

[Lakrankki]

miten reaalikertoimisen 3. asteen yhtälön reaalijuuret löytää käyttämättä varsinaisesti ratkaisukaavoja. Tarvitaan hyperbolisia funktioita silloin kun on vain yksi reaalijuuri ja trigonometrisia funktioita kun on kolme (eri suurta) reaalijuurta.

Mielenkiintoista, hän oli ehkä törmännyt samaan n. 207 kg rajaan, jonka eri puolilla tulee erilaisia juuria. Tai niin voisin päätellä tuosta tekstistä.

Minä en osaa mitään hyperbolista tai trigonometrista 3. asteen yhtälön ratkaisua.

Alkuperäisen kysymyksen kohtaan 2. ei ole olemassa varmaankaan hirmu lyhyttä vastausta ollenkaan.

Keksin pisteytyksen itse, tämä ei ole mistään kopioitu. Tämä on vain niitä hauskoja, helpon näköinen pikavilkaisulla ja sitten kun alkaa tekemään, niin se muuttuu hirveämmäksi pala palalta. Esim. ihan alussa näyttää hienolta kun pinta-alan yhtälö sievenee pienemmäksi ja derivaatatkin ovat vielä helpon näköisiä. Siinä hetkessä luulee, että kohta on valmista ..

[Lakrankki]

Löysin lopulta, sen mistä se noin 207 kg raja syntyy. Se on 8 Pi r^3/27 ja kun r oli 0,305 niin tuo antaa 0,02641.. joka on tilavuus ja kun kerrotaan annetulla tiheydellä 7850 niin tulee se "kriittinen" massa 207,3219... kg.

Mathematican Reduce-komento antaa erilaisia ratkaisuja riippuen juuri tuosta 8 Pi r^3/27 rajasta, onko tilavuus V

0 > V > 8 Pi r^3/27 tai
V == 8 Pi r^3/27 tai
V > 8 Pi r^3/27

Ja kokeilin myös Gröbner Basis -himmeliä, saisiko sen avulla tätä tehtävää yhtään sievemmäksi. Ei tullut sievemmäksi, vähän ehkä erilaiseksi. Ja olin jokseenkin täysin oman osaamisalueen ulkopuolisessa maastossa. Mutta netissä oli hyviä esimerkkejä.

[Aslakki]

Kuinka suuri alipaine (bar) tarvitaan jotta voidaan imeä 10mm sisähalkaisijan putkella 5W30 öljyä 40cm korkeuteen astiasta.
Putki on kohtisuorassa astiaan nähden ja astiassa 10cm öljyä (90 °C), ilmanpaine 1 bar.

[Wisti]

Kuinka suuri alipaine (bar) tarvitaan jotta voidaan imeä 10mm sisähalkaisijan putkella 5W30 öljyä 40cm korkeuteen astiasta.
Putki on kohtisuorassa astiaan nähden ja astiassa 10cm öljyä (90 °C), ilmanpaine 1 bar.

Jos öljyn pitää nousta koko ajan vain sen 40 cm, sain, että imupäässä paineen on oltava 0,96 bar tai pienempi.

[Aslakki]

Kuinka suuri alipaine (bar) tarvitaan jotta voidaan imeä 10mm sisähalkaisijan putkella 5W30 öljyä 40cm korkeuteen astiasta.
Putki on kohtisuorassa astiaan nähden ja astiassa 10cm öljyä (90 °C), ilmanpaine 1 bar.

Jos öljyn pitää nousta koko ajan vain sen 40 cm, sain, että imupäässä paineen on oltava 0,96 bar tai pienempi.

Aivan, viskositeetilla ei ole merkitystä, aineen tiheys ratkaisee.