Collatzin pähkinän todistus

[Eusa]

Mitäpä heikkouksia arvon raati löytää seuraavasta todistuksesta?

a) Collatz-ketjujen joukon osoitetaan kulkevan numeroidusti läpi kaikki luonnolliset luvut >2.

b) Osoitetaan, että mikä tahansa Collatz-ketjujen joukon jäsen sisältää luvun 2^n, josta se kahdella jakaen päätyy ykköseen.

c) Osoitetaan, että a-kohta tarkoittaa sitä, ettei ketju voi jäädä luuppiin.

Kohta a:

Oleellinen huomio: rekursio (3x+1)/2 tarkoittaa samaa kuin x+(x+1)/2. Muodostetaan kuvaus x:n ja sen lisäystermin (x+1)/2 välille: x -> (x+1)/2.

Rekursio tulee aina käyttöön, kun x on pariton luku. Todetaan, että lisäys numeroi kaikki rekursiotilanteet järjestysnumeroin:
x - - > x+(x+1)/2; (x+1)/2
3 ‐ - > 5; +2
5 ‐ - > 8; +3
7 ‐ - > 11; +4
9 - - > 14; +5 ...

Lisäystermi juoksee järjestyksessä läpi koko avaruuden identifioiden ketjut numeroin:
1: ydinketju 1...2...1...
2...n: jokaiselle parittomalle luvulle on vain yksi lineaarisesti yksilöityvä ketjunsa, väliin ei jää aukkoja.

Käytännössä voi ajatella, että lähtöluvuksi arvotaan jokin pariton luku, koska kaikki parilliset lähtöluvut palautuvat parittomaan - tai siihen ykköseen, jos muotoa 2^n, kun kakkosella kuitenkin jaetaan sarjana.

Kohta b:

Ketjujen yksilöintituotteet muodostuvat 3-transitioina; 5, 8, 11, 14, 17,...

Todetaan, että mukaan tulee eräs 2^n eli 8=2^3. Kertomalla tuollaisen 2^n -luvun 2^m:llä saadaan luonnollisesti uusi kahden potenssi. Voidaan muodostaa vaikka rekursio y + y×3 = y×4, joka on uusi mahdollinen 2^n -luku, johon voi päätyä.

Siis mikäli ketjussa ei ole luuppia, ennen pitkää osutaan tuollaiseen kakkosen potenssiin ja redusoidutaan ykköseen.

Kohta c:

Todistuksen avain on siinä, että voidaan osoittaa minkä tahansa Collatz-ketjun välttävän luuppiin joutumisen.

Kohdan a ketjujen numeroituva kattava yksilöinti perustuu seuraavan luvun saamiseen eräästä parittomasta luvusta niin, että lisäys (x+1)/2 käy lineaarisesti läpi koko luonnollisen lukuavaruuden täyttäen sen. Tämä on ominaista vain Collatzin konjektuurille. Muissa samanmuotoisissa ketjuissa käy toisin. Esim. (5x+1)/2 antaa lisäykset lineaarisesti kolmen välein; +5, +8, +11,... ja (7x+1)/2 geometrisesti; +8, +12, +18,...

Mitä tämä tarkoittaa? Kun lisäys kasvaa aina yhdellä, lisäysten lisäykset ovat jaollisia vain ykkösellä tai dimensioisesti itsellään ja päädytään nousevien alkulukujen kerrannaisiin lisäyksiin, jolloin ei voida joutua luuppiin vain kakkosella jakamalla, koska parittomat luvut (ketjun jäsenet) esiintyvät kahden välein.

Esimerkki lähtien luvusta 7:
7 ‐ - > 11, lisäys on +4 eli parittomien kesken +2 jäsentä
11 ‐ - > 17, lisäys on tietysti +4+2=+6 eli +3 jäsentä
17 ‐ - > 26, lisäys on +6+3=+9 eli +4,5 jäsentä eli päädytään parilliseen lukuun

Esimerkki lähtien luvusta 15:
15 ‐ - > 23, +8, +4j (2×2)
23 ‐ - > 35, +12, +6j (2×3)
35 ‐ - > 53, +18, +9j (3×3)
53 ‐ - > 80

Koska jokainen pariton luku edustaa kattavasti lineaarista otosta, vältytään vääjäämättä luupeilta alkulukukertoimisin ainutkertaisin lisäyksin.

Siinä se. Toivon hedelmällistä keskustelua ontumisen löytämiseksi...

[Eusa]

Seuraava esimerkki (3-dimensioinen):
47 ‐ - > 71 (2×2×3)
71 ‐ - > 107 (2×3×3)
107 ‐ - > 161 (3×3×3)
161 ‐ - > 242.

[Eusa]

Seuraava esimerkki (3-dimensioinen):
47 ‐ - > 71 (2×2×3)
71 ‐ - > 107 (2×3×3)
107 ‐ - > 161 (3×3×3)
161 ‐ - > 242.

Tähänhän tulee vielä eteen:
31 ‐ - > 47 (2×2×2)
47 ‐ - > 71 (2×2×3)
71 ‐ - > 107 (2×3×3)
107 ‐ - > 161 (3×3×3)
161 ‐ - > 242.

[Sulervo]

Todetaan, että mukaan tulee eräs 2^n eli 8=2^3. Kertomalla tuollaisen 2^n -luvun 2^m:llä saadaan luonnollisesti uusi kahden potenssi. Voidaan muodostaa vaikka rekursio y + y×3 = y×4, joka on uusi mahdollinen 2^n -luku, johon voi päätyä.

Siis mikäli ketjussa ei ole luuppia, ennen pitkää osutaan tuollaiseen kakkosen potenssiin ja redusoidutaan ykköseen.

Collatz-konjektuuri voidaan tietenkin ilmaista muodossa "jokainen Collatz-jono redusoituu johonkin kakkosen potenssiin". Mutta en näe lauseesi "Voidaan muodostaa vaikka rekursio y + y×3 = y×4, joka on uusi mahdollinen 2^n -luku, johon voi päätyä" osoittavan, että tuollainen reduktio välttämättä tapahtuisi jokaiselle ko. jonolle.

[Eusa]

Todetaan, että mukaan tulee eräs 2^n eli 8=2^3. Kertomalla tuollaisen 2^n -luvun 2^m:llä saadaan luonnollisesti uusi kahden potenssi. Voidaan muodostaa vaikka rekursio y + y×3 = y×4, joka on uusi mahdollinen 2^n -luku, johon voi päätyä.

Siis mikäli ketjussa ei ole luuppia, ennen pitkää osutaan tuollaiseen kakkosen potenssiin ja redusoidutaan ykköseen.

Collatz-konjektuuri voidaan tietenkin ilmaista muodossa "jokainen Collatz-jono redusoituu johonkin kakkosen potenssiin". Mutta en näe lauseesi "Voidaan muodostaa vaikka rekursio y + y×3 = y×4, joka on uusi mahdollinen 2^n -luku, johon voi päätyä" osoittavan, että tuollainen reduktio välttämättä tapahtuisi jokaiselle ko. jonolle.

Siinä vaiheessa todistusta on ehto "mikäli ketjussa ei ole luuppia", mihin pureudutaan kohdassa c.

[John Carter]

Luku 1 pitää jättää pois, niin ongelma on ratkaistu.

[Eusa]

Luku 1 pitää jättää pois, niin ongelma on ratkaistu.

Mikä ongelma ratkeaa ykkönen hylkäämällä?

[Jalo Arkkivalo]

Mitäpä heikkouksia arvon raati löytää seuraavasta todistuksesta?

a) Collatz-ketjujen joukon osoitetaan kulkevan numeroidusti läpi kaikki luonnolliset luvut >2.

b) Osoitetaan, että mikä tahansa Collatz-ketjujen joukon jäsen sisältää luvun 2^n, josta se kahdella jakaen päätyy ykköseen.

c) Osoitetaan, että a-kohta tarkoittaa sitä, ettei ketju voi jäädä luuppiin.

Kohta a:

Oleellinen huomio: rekursio (3x+1)/2 tarkoittaa samaa kuin x+(x+1)/2. Muodostetaan kuvaus x:n ja sen lisäystermin (x+1)/2 välille: x -> (x+1)/2.

Rekursio tulee aina käyttöön, kun x on pariton luku. Todetaan, että lisäys numeroi kaikki rekursiotilanteet järjestysnumeroin:
x - - > x+(x+1)/2; (x+1)/2
3 ‐ - > 5; +2
5 ‐ - > 8; +3
7 ‐ - > 11; +4
9 - - > 14; +5 ...

Lisäystermi juoksee järjestyksessä läpi koko avaruuden identifioiden ketjut numeroin:
1: ydinketju 1...2...1...
2...n: jokaiselle parittomalle luvulle on vain yksi lineaarisesti yksilöityvä ketjunsa, väliin ei jää aukkoja.

Käytännössä voi ajatella, että lähtöluvuksi arvotaan jokin pariton luku, koska kaikki parilliset lähtöluvut palautuvat parittomaan - tai siihen ykköseen, jos muotoa 2^n, kun kakkosella kuitenkin jaetaan sarjana.

Kohta b:

Ketjujen yksilöintituotteet muodostuvat 3-transitioina; 5, 8, 11, 14, 17,...

Todetaan, että mukaan tulee eräs 2^n eli 8=2^3. Kertomalla tuollaisen 2^n -luvun 2^m:llä saadaan luonnollisesti uusi kahden potenssi. Voidaan muodostaa vaikka rekursio y + y×3 = y×4, joka on uusi mahdollinen 2^n -luku, johon voi päätyä.

Siis mikäli ketjussa ei ole luuppia, ennen pitkää osutaan tuollaiseen kakkosen potenssiin ja redusoidutaan ykköseen.

Kohta c:

Todistuksen avain on siinä, että voidaan osoittaa minkä tahansa Collatz-ketjun välttävän luuppiin joutumisen.

Kohdan a ketjujen numeroituva kattava yksilöinti perustuu seuraavan luvun saamiseen eräästä parittomasta luvusta niin, että lisäys (x+1)/2 käy lineaarisesti läpi koko luonnollisen lukuavaruuden täyttäen sen. Tämä on ominaista vain Collatzin konjektuurille. Muissa samanmuotoisissa ketjuissa käy toisin. Esim. (5x+1)/2 antaa lisäykset lineaarisesti kolmen välein; +5, +8, +11,... ja (7x+1)/2 geometrisesti; +8, +12, +18,...

Mitä tämä tarkoittaa? Kun lisäys kasvaa aina yhdellä, lisäysten lisäykset ovat jaollisia vain ykkösellä tai dimensioisesti itsellään ja päädytään nousevien alkulukujen kerrannaisiin lisäyksiin, jolloin ei voida joutua luuppiin vain kakkosella jakamalla, koska parittomat luvut (ketjun jäsenet) esiintyvät kahden välein.

Esimerkki lähtien luvusta 7:
7 ‐ - > 11, lisäys on +4 eli parittomien kesken +2 jäsentä
11 ‐ - > 17, lisäys on tietysti +4+2=+6 eli +3 jäsentä
17 ‐ - > 26, lisäys on +6+3=+9 eli +4,5 jäsentä eli päädytään parilliseen lukuun

Esimerkki lähtien luvusta 15:
15 ‐ - > 23, +8, +4j (2×2)
23 ‐ - > 35, +12, +6j (2×3)
35 ‐ - > 53, +18, +9j (3×3)
53 ‐ - > 80

Koska jokainen pariton luku edustaa kattavasti lineaarista otosta, vältytään vääjäämättä luupeilta alkulukukertoimisin ainutkertaisin lisäyksin.

Siinä se. Toivon hedelmällistä keskustelua ontumisen löytämiseksi...

Minun mielestäni todistelun ongelma on kohdassa (a).

Vaikka todistatkin että kummallekin on olemassa oma lineaarisesti kasvava ketjunsa, ketjujen kulmakertomet ovat erit.

Ja tästä ei mielestäni voidakaaan tehdä siten päätelmää että niiden muodostama ketjupari, olisi aukoton toistensa suhteen, koska kyse on kuitenkin luonnollisten lukujen joukosta.

[Eusa]

Mitäpä heikkouksia arvon raati löytää seuraavasta todistuksesta?

a) Collatz-ketjujen joukon osoitetaan kulkevan numeroidusti läpi kaikki luonnolliset luvut >2.

b) Osoitetaan, että mikä tahansa Collatz-ketjujen joukon jäsen sisältää luvun 2^n, josta se kahdella jakaen päätyy ykköseen.

c) Osoitetaan, että a-kohta tarkoittaa sitä, ettei ketju voi jäädä luuppiin.

Kohta a:

Oleellinen huomio: rekursio (3x+1)/2 tarkoittaa samaa kuin x+(x+1)/2. Muodostetaan kuvaus x:n ja sen lisäystermin (x+1)/2 välille: x -> (x+1)/2.

Rekursio tulee aina käyttöön, kun x on pariton luku. Todetaan, että lisäys numeroi kaikki rekursiotilanteet järjestysnumeroin:
x - - > x+(x+1)/2; (x+1)/2
3 ‐ - > 5; +2
5 ‐ - > 8; +3
7 ‐ - > 11; +4
9 - - > 14; +5 ...

Lisäystermi juoksee järjestyksessä läpi koko avaruuden identifioiden ketjut numeroin:
1: ydinketju 1...2...1...
2...n: jokaiselle parittomalle luvulle on vain yksi lineaarisesti yksilöityvä ketjunsa, väliin ei jää aukkoja.

Käytännössä voi ajatella, että lähtöluvuksi arvotaan jokin pariton luku, koska kaikki parilliset lähtöluvut palautuvat parittomaan - tai siihen ykköseen, jos muotoa 2^n, kun kakkosella kuitenkin jaetaan sarjana.

Kohta b:

Ketjujen yksilöintituotteet muodostuvat 3-transitioina; 5, 8, 11, 14, 17,...

Todetaan, että mukaan tulee eräs 2^n eli 8=2^3. Kertomalla tuollaisen 2^n -luvun 2^m:llä saadaan luonnollisesti uusi kahden potenssi. Voidaan muodostaa vaikka rekursio y + y×3 = y×4, joka on uusi mahdollinen 2^n -luku, johon voi päätyä.

Siis mikäli ketjussa ei ole luuppia, ennen pitkää osutaan tuollaiseen kakkosen potenssiin ja redusoidutaan ykköseen.

Kohta c:

Todistuksen avain on siinä, että voidaan osoittaa minkä tahansa Collatz-ketjun välttävän luuppiin joutumisen.

Kohdan a ketjujen numeroituva kattava yksilöinti perustuu seuraavan luvun saamiseen eräästä parittomasta luvusta niin, että lisäys (x+1)/2 käy lineaarisesti läpi koko luonnollisen lukuavaruuden täyttäen sen. Tämä on ominaista vain Collatzin konjektuurille. Muissa samanmuotoisissa ketjuissa käy toisin. Esim. (5x+1)/2 antaa lisäykset lineaarisesti kolmen välein; +5, +8, +11,... ja (7x+1)/2 geometrisesti; +8, +12, +18,...

Mitä tämä tarkoittaa? Kun lisäys kasvaa aina yhdellä, lisäysten lisäykset ovat jaollisia vain ykkösellä tai dimensioisesti itsellään ja päädytään nousevien alkulukujen kerrannaisiin lisäyksiin, jolloin ei voida joutua luuppiin vain kakkosella jakamalla, koska parittomat luvut (ketjun jäsenet) esiintyvät kahden välein.

Esimerkki lähtien luvusta 7:
7 ‐ - > 11, lisäys on +4 eli parittomien kesken +2 jäsentä
11 ‐ - > 17, lisäys on tietysti +4+2=+6 eli +3 jäsentä
17 ‐ - > 26, lisäys on +6+3=+9 eli +4,5 jäsentä eli päädytään parilliseen lukuun

Esimerkki lähtien luvusta 15:
15 ‐ - > 23, +8, +4j (2×2)
23 ‐ - > 35, +12, +6j (2×3)
35 ‐ - > 53, +18, +9j (3×3)
53 ‐ - > 80

Koska jokainen pariton luku edustaa kattavasti lineaarista otosta, vältytään vääjäämättä luupeilta alkulukukertoimisin ainutkertaisin lisäyksin.

Siinä se. Toivon hedelmällistä keskustelua ontumisen löytämiseksi...

Minun mielestäni todistelun ongelma on kohdassa (a).

Vaikka todistatkin että kummallekin on olemassa oma lineaarisesti kasvava ketjunsa, ketjujen kulmakertomet ovat erit.

Ja tästä ei mielestäni voidakaaan tehdä siten päätelmää että niiden muodostama ketjupari, olisi aukoton toistensa suhteen, koska kyse on kuitenkin luonnollisten lukujen joukosta.

"Kulmakerroin" on huomioitu sillä, että löydetty jokaiselle yksilöityvä numeroituva lisäyksensä, joilla ketjut on yksilöity - eli kaikilla parittomilla luvuilla ketjun edustajina on eri suuri lisäys, jolla ketju jatkuu. Nuo lisäykset ovat lineaarikuvaus (3, 5, 7, 9,...) -> (2, 3, 4, 5,...). Jokainen "kulmakerroin" tulee kertaalleen mukaan.
Ketjupari ei ole relevantti, koska a-kohdassa käsitellään vain ketjujen aloituksia. Kun ne muuntuvat toisen ketjun aloituksiksi (parittomasta parittomaan), tulee kriteeriksi vain se, ettei voida uudestaan päätyä samaan parittomaan eli joutua luuppiin - sitä tarkastellaan kohdassa c, jossa huomataan ketjussa peräkkäisten parittomien kytkeytyvän toisiinsa täyttyvästi alkuluvuilla kerrotuin lisäyksin (parittomuutta kohti) kunnes osutaan seuraavaan parilliseen. Koska kaikki parittomia pitkin siirtymiset ovat yksilöllisiä jaottomuuskehitelmiä, sulkevat ne toistensa suhteen pois sen, että voisi päätyä "jo käytettyyn" parittomaan ketjujäseneen parillisenkaan kautta sitä puolittaen. Seula toimii Erasthoteneen seulan tavoin.

[Jalo Arkkivalo]

Mitäpä heikkouksia arvon raati löytää seuraavasta todistuksesta?

a) Collatz-ketjujen joukon osoitetaan kulkevan numeroidusti läpi kaikki luonnolliset luvut >2.

b) Osoitetaan, että mikä tahansa Collatz-ketjujen joukon jäsen sisältää luvun 2^n, josta se kahdella jakaen päätyy ykköseen.

c) Osoitetaan, että a-kohta tarkoittaa sitä, ettei ketju voi jäädä luuppiin.

Kohta a:

Oleellinen huomio: rekursio (3x+1)/2 tarkoittaa samaa kuin x+(x+1)/2. Muodostetaan kuvaus x:n ja sen lisäystermin (x+1)/2 välille: x -> (x+1)/2.

Rekursio tulee aina käyttöön, kun x on pariton luku. Todetaan, että lisäys numeroi kaikki rekursiotilanteet järjestysnumeroin:
x - - > x+(x+1)/2; (x+1)/2
3 ‐ - > 5; +2
5 ‐ - > 8; +3
7 ‐ - > 11; +4
9 - - > 14; +5 ...

Lisäystermi juoksee järjestyksessä läpi koko avaruuden identifioiden ketjut numeroin:
1: ydinketju 1...2...1...
2...n: jokaiselle parittomalle luvulle on vain yksi lineaarisesti yksilöityvä ketjunsa, väliin ei jää aukkoja.

Käytännössä voi ajatella, että lähtöluvuksi arvotaan jokin pariton luku, koska kaikki parilliset lähtöluvut palautuvat parittomaan - tai siihen ykköseen, jos muotoa 2^n, kun kakkosella kuitenkin jaetaan sarjana.

Kohta b:

Ketjujen yksilöintituotteet muodostuvat 3-transitioina; 5, 8, 11, 14, 17,...

Todetaan, että mukaan tulee eräs 2^n eli 8=2^3. Kertomalla tuollaisen 2^n -luvun 2^m:llä saadaan luonnollisesti uusi kahden potenssi. Voidaan muodostaa vaikka rekursio y + y×3 = y×4, joka on uusi mahdollinen 2^n -luku, johon voi päätyä.

Siis mikäli ketjussa ei ole luuppia, ennen pitkää osutaan tuollaiseen kakkosen potenssiin ja redusoidutaan ykköseen.

Kohta c:

Todistuksen avain on siinä, että voidaan osoittaa minkä tahansa Collatz-ketjun välttävän luuppiin joutumisen.

Kohdan a ketjujen numeroituva kattava yksilöinti perustuu seuraavan luvun saamiseen eräästä parittomasta luvusta niin, että lisäys (x+1)/2 käy lineaarisesti läpi koko luonnollisen lukuavaruuden täyttäen sen. Tämä on ominaista vain Collatzin konjektuurille. Muissa samanmuotoisissa ketjuissa käy toisin. Esim. (5x+1)/2 antaa lisäykset lineaarisesti kolmen välein; +5, +8, +11,... ja (7x+1)/2 geometrisesti; +8, +12, +18,...

Mitä tämä tarkoittaa? Kun lisäys kasvaa aina yhdellä, lisäysten lisäykset ovat jaollisia vain ykkösellä tai dimensioisesti itsellään ja päädytään nousevien alkulukujen kerrannaisiin lisäyksiin, jolloin ei voida joutua luuppiin vain kakkosella jakamalla, koska parittomat luvut (ketjun jäsenet) esiintyvät kahden välein.

Esimerkki lähtien luvusta 7:
7 ‐ - > 11, lisäys on +4 eli parittomien kesken +2 jäsentä
11 ‐ - > 17, lisäys on tietysti +4+2=+6 eli +3 jäsentä
17 ‐ - > 26, lisäys on +6+3=+9 eli +4,5 jäsentä eli päädytään parilliseen lukuun

Esimerkki lähtien luvusta 15:
15 ‐ - > 23, +8, +4j (2×2)
23 ‐ - > 35, +12, +6j (2×3)
35 ‐ - > 53, +18, +9j (3×3)
53 ‐ - > 80

Koska jokainen pariton luku edustaa kattavasti lineaarista otosta, vältytään vääjäämättä luupeilta alkulukukertoimisin ainutkertaisin lisäyksin.

Siinä se. Toivon hedelmällistä keskustelua ontumisen löytämiseksi...

Minun mielestäni todistelun ongelma on kohdassa (a).

Vaikka todistatkin että kummallekin on olemassa oma lineaarisesti kasvava ketjunsa, ketjujen kulmakertomet ovat erit.

Ja tästä ei mielestäni voidakaaan tehdä siten päätelmää että niiden muodostama ketjupari, olisi aukoton toistensa suhteen, koska kyse on kuitenkin luonnollisten lukujen joukosta.

"Kulmakerroin" on huomioitu sillä, että löydetty jokaiselle yksilöityvä numeroituva lisäyksensä, joilla ketjut on yksilöity - eli kaikilla parittomilla luvuilla ketjun edustajina on eri suuri lisäys, jolla ketju jatkuu. Nuo lisäykset ovat lineaarikuvaus (3, 5, 7, 9,...) -> (2, 3, 4, 5,...). Jokainen "kulmakerroin" tulee kertaalleen mukaan.
Ketjupari ei ole relevantti, koska a-kohdassa käsitellään vain ketjujen aloituksia. Kun ne muuntuvat toisen ketjun aloituksiksi (parittomasta parittomaan), tulee kriteeriksi vain se, ettei voida uudestaan päätyä samaan parittomaan eli joutua luuppiin - sitä tarkastellaan kohdassa c, jossa huomataan ketjussa peräkkäisten parittomien kytkeytyvän toisiinsa täyttyvästi alkuluvuilla kerrotuin lisäyksin (parittomuutta kohti) kunnes osutaan seuraavaan parilliseen. Koska kaikki parittomia pitkin siirtymiset ovat yksilöllisiä jaottomuuskehitelmiä, sulkevat ne toistensa suhteen pois sen, että voisi päätyä "jo käytettyyn" parittomaan ketjujäseneen parillisenkaan kautta sitä puolittaen. Seula toimii Erasthoteneen seulan tavoin.

En nyt saa ihan täysin kiinni. Mikä ei ole ihme, koska en ymmärrä puoliakaan näistä käsitteistä kunnolla.

Ainoa mitä tosiaan minua häiritsee, on ratkaisusi puhtaan lineaarinen luonne. Jos tarkastelen Collatz-ketjun pysähtymisestä piirrettyjä jakaumia, hajonta näyttää varsin epälineaariselta.

Toinen mikä pisti silmään, oli että kohdassa (c) sanot, todistelusi avaimen olevan nimenomaan siinä, että osoitetaan että luuppia ei ole.
Mutta eikös tämän todistaminen ole nimenomaan juurikin se väite, jonka Collatz-pähkinä sisältää?

Ja tämän lisäksi pitäisi näyttää toteen, että ketju ei myöskään kasva äärettömiin?

Tiedän että nyt tuli ruohonjuuritason kysymyksiä, suhteessa kattaviin vastauksiisi, mutta ota ne sellaisena että tässä asiaa ymmärtämätön kyselee kiinnostuneena.


Aloituksesi on kyllä aiheena kiinnostava.

[Eusa]

Ketju ei kasva äärettömiin, koska se ei mene luuppiin ja sisältää mielivaltaisen määrän mahdollisuuksia osua 2^n-tyypin lukuun, josta redusoituu ykköseen.

[Eusa]

Muissa (ax+1)/2 -ongelmissa ( a>3) muodostuu rinnakkaisia ketjuja, joiden kesken syntyy luuppeja. Se johtuu siitä, etteivät lisäykset kasva samoin lineaarisesti ja samalla huolehdi jaottomuuksien läpikäymisestä tiheästi täydentyen siirryttäessä parittomalta seuraavalle.

[Wisti]

Ketju ei kasva äärettömiin, koska se ei mene luuppiin ja sisältää mielivaltaisen määrän mahdollisuuksia osua 2^n-tyypin lukuun, josta redusoituu ykköseen.

En ymmärrä hyvin, mutta miten osoitat sen, ettei ketju ”hajaannu” menemättä luuppiin. Ymärsin luupilla samoina toistuvia numeroita. 1/7 :n desimaalit menevät luuppiin piin eivät.

[Sulervo]

Ketju ei kasva äärettömiin, koska se ei mene luuppiin ja sisältää mielivaltaisen määrän mahdollisuuksia osua 2^n-tyypin lukuun, josta redusoituu ykköseen.

Tuo "mielivaltaisen määrän mahdollisuuksia" ei kuitenkaan riitä aukottomaksi todistukseksi.

[Sulervo]

Hupaisa detalji sivulta https://www.hindawi.com/journals/ijmms/2021/5754439/ :

One intriguing observation is that, of the first 1539 odd natural numbers, for 407 (26.44%) of them, the peaks occur at 9232. No other peak number has this high of a percentage, with the second most frequent peak in the 1% range. It is not obvious if 9232 has any significance or if the peaks are somehow related.

Esim. luvusta 27 alkava pitkähkö ketju sisältää tuon arvoituksellisen huippuluvun 9232:

27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→107→322→
161→484→242→121→364→182→91→274→137→412→206→103→
310→155→466→233→700→350→175→526→263→790→395→1186→
593→1780→890→445→1336→668→334→167→502→251→754→377→
1132→566→283→850→425→1276→638→319→958→479→1438→719→
2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→
1367→4102→2051→6154→3077→9232→4616→2308→1154→577→1732→
866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→
46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→5→16→8→4→2→1

Mm. sivulla https://www.quora.com/Do-numbers-stop-I ... -be-solved
käydään hauskaa (vaikka ei suorastaan akateemista) keskustelua tästä Collatzin konjektuurista. Erityisesti minua miellyttää mitä Michael Mark Ross esittää.