Kunnon väittely äärettömästä

[OlliS]

Siirsin Ollin ja oman viestini ketjuun "Vaihtoehtoisia universumien teorioita". Jatketaan keskustelua universumiin liittyvistä äärettömyyksistä siellä ja keskustellaan täällä äärettömyyksiin liittyvästä matematiikasta.

viewtopic.php?p=4119#p4119

Ei siirretä. Tämä on sekä fysiikkaa että matematiikkaa ja sopii tähänkin.

[Dilemma]

No miten on mahdollista, että jo esim. nollan ja ykkösen väliin mahtuu ääretön määrä desimaalilukuja, mutta tällä joukolla on kuitenkin ääret?

[Neutroni]

Ei siirretä. Tämä on sekä fysiikkaa että matematiikkaa ja sopii tähänkin.

Älä nyt ala inttämään itsestäänselvyyksiä vastaan. Pysy nyt vain siellä keskustelussa, mikä on avattu sinun näkemyksille universumista, jos sinulla ei ole mitään sanottavaa äärettömien matemaattisten joukkojen kardinaliteeteista.

Yritän jatkossa muistaa laittaa moderointikommentit punaisella.

[OlliS]

Kiitos. Totellaan kiltisti moderaattorikommentteja.

[OlliS]

Äärettömät luvut ovat mielenkiintoisia ja tunnen kyllä nuo asiat, mutta muut tuntuvat olevan asiantuntevampia. Mielenkiintoisinta on, mitkä tuosta perustutkimuksesta parhaiten sopisivat empiirisen tieteen käyttöön.

[Goswell]

No miten on mahdollista, että jo esim. nollan ja ykkösen väliin mahtuu ääretön määrä desimaalilukuja, mutta tällä joukolla on kuitenkin ääret?

Niinpä, ja siksi minusta 0,999...=1 tapauksessa se 1 voi olla loppumattoman nollarivin lopussa, eli ero noilla luvuilla on se 0,00...1 kuten se onkin?
Tässä tulee hyvin esiin matematiikan ja fysiikan ero, matematiikassa voit jakaa loputtomiin pienenpiin ja pienempiin osiin tuossa 0 ja ykkösen välilläkin, fysiikassa et.

[Valistuneesti Arvaileva]

No miten on mahdollista, että jo esim. nollan ja ykkösen väliin mahtuu ääretön määrä desimaalilukuja, mutta tällä joukolla on kuitenkin ääret?

Niinpä, ja siksi minusta 0,999...=1 tapauksessa se 1 voi olla loppumattoman nollarivin lopussa, eli ero noilla luvuilla on se 0,00...1 kuten se onkin?

Olisi hauskaa, jos luku 0,00…1 olisi olemassa, mutta kuten Neutroni sanoi ”Äärettömän nollan jälkeen ei voi tulla mitään muuta, koska se ääretön nollarivi ei lopu koskaan.”

Voit havaita tuon sen laskun avulla, jonka laitoin viestiin 9.12.2022 klo 22:58. Kokeilepa ensin, kuinka voit samalla logiikalla ilmaista aivan minkä vain jaksollisen desimaaliluvun muodossa n/m. Esim.
x = 0,8787…
<=> 0,01x = 0,008787…
<=> x - 0,01x = 0,99x = 0,87
<=> x = 87/99
Laske seuraavaksi, kuinka pätee
87/99 = 0,8787…

Koita ymmärtää jonkin itsellesi helpon esimerkin kautta, miksi tuo laskentatapa toimii. Kun olet mielestäsi ymmärtänyt, palaa pohtimaan samaa laskutoimitusta luvulle x = 0,9…

Jos 0,00…1 olisi olemassa, tuossakin laskussa olisi 0,99x = 0,87000…87 (eli kun jaetaan sadalla, niin pari viimeistä desimaalia ”työntyisivät” pidemmälle, eikä vähennyslaskusta tulisi tasan 0,87). Kuitenkaan näitä kahta viimeistä desimaalia ei voi olla olemassa, koska jakolaskusta 87/99 tulee vastaukseksi 0,8787….

Tällä tavalla minä sain teininä piirrettyä asian mielessäni, kun en ollut mihinkään sen tieteellisempiin määritelmiin tutustunut. Toivottavasti auttaa sinuakin!

Tässä tulee hyvin esiin matematiikan ja fysiikan ero, matematiikassa voit jakaa loputtomiin pienenpiin ja pienempiin osiin tuossa 0 ja ykkösen välilläkin, fysiikassa et.

Me tiedämme fysiikasta, kuinka pieniksi tällä hetkellä voidaan jakaa partikkeleita. Se ei kerro mitään siitä, voisivatko osat jakautua yhä pienemmiksi ja pienemmiksi vai eivät.

[Dilemma]

Kun jotakin ilmiötä kutsutaan äärettömäksi, satunnaiseksi tai kaoottiseksi, niin itse asiassa siihen sisältyy ajatus, että ilmiön monimutakaisuus ylittää havainnoitsijan tai ilmiön selittäjän kyvyt ymmärtää asioita siitä eteenpäin. Toisin sanoen ne on yhtä kuin ihmisen älyllisen suorituskyvyn yläraja.

[xXx]

Ei voi olla tuomatta mukaan keskusteluun transkendenttilukuja. Ne on mielenkiintoisia. Kun "desimaaliluku" puheissa yleensä vilisee täällä vain algebralliset luvut. Ja juuri transkendenttiuvut luo sen ybermahtavuuden suhteessa esim luonnonlisten lukujen mahtavuuteen nähden, transkendenttiluvut ovat ylinumeroituva joukko.Algebrallisia reaalilukuja on kuitenkin "vain" numeroituvasti ääretönmäärä.

Esim pii on transkendenttiluku eikä se esim sisäll joukkoon joka määriteltäisiin kolmosen ja nelosen väliin (myönnän on vähän sekavan oloinen hässäkkä ja kuka tietää jos olen symbolia ... käyttänyt väärin...):

3.0
*3.01, ..., 3.09
**3.001, ...3.009
**3.011, ...,3.019
**...3.099
***3.0001...3.0009
...
***..3.0999
...* 3.0999...

3.1 ...
3.2 ...
3.3 ...
3.4 ..
...
3.9 ...

Äkkipäätään tuostahan alkaa tulla mukaan 3.1415... jne mutta eipä tule pii eikä moni muu luku. Itseasiassa tuosta puuttuu ääretön määrä reaalilukuja välistä ja vieläpä niin, että ne puuttuvat ovat mahtavampi joukko kuin tuo lista (mikä kotitarvematemaatikolle näyttää jo pitävän sisällään kaikki reaalivut 3:n ja 4:n väliltä)

[Valistuneesti Arvaileva]

No miten on mahdollista, että jo esim. nollan ja ykkösen väliin mahtuu ääretön määrä desimaalilukuja, mutta tällä joukolla on kuitenkin ääret?

Niinpä, ja siksi minusta 0,999...=1 tapauksessa se 1 voi olla loppumattoman nollarivin lopussa, eli ero noilla luvuilla on se 0,00...1 kuten se onkin?

Olisi hauskaa, jos luku 0,00…1 olisi olemassa, mutta kuten Neutroni sanoi ”Äärettömän nollan jälkeen ei voi tulla mitään muuta, koska se ääretön nollarivi ei lopu koskaan.”

Voit havaita tuon sen laskun avulla, jonka laitoin viestiin 9.12.2022 klo 22:58. Kokeilepa ensin, kuinka voit samalla logiikalla ilmaista aivan minkä vain jaksollisen desimaaliluvun muodossa n/m. Esim.
x = 0,8787…
<=> 0,01x = 0,008787…
<=> x - 0,01x = 0,99x = 0,87
<=> x = 87/99
Laske seuraavaksi, kuinka pätee
87/99 = 0,8787…

Koita ymmärtää jonkin itsellesi helpon esimerkin kautta, miksi tuo laskentatapa toimii. Kun olet mielestäsi ymmärtänyt, palaa pohtimaan samaa laskutoimitusta luvulle x = 0,9…

Jos 0,00…1 olisi olemassa, tuossakin laskussa olisi 0,99x = 0,86999…13 (eli kun jaetaan sadalla, niin pari viimeistä desimaalia ”työntyisivät” pidemmälle, eikä vähennyslaskusta tulisi tasan 0,87). Kuitenkaan näitä kahta viimeistä desimaalia ei voi olla olemassa, koska jakolaskusta 87/99 tulee vastaukseksi 0,8787….

Tällä tavalla minä sain teininä piirrettyä asian mielessäni, kun en ollut mihinkään sen tieteellisempiin määritelmiin tutustunut. Toivottavasti auttaa sinuakin!

Tässä tulee hyvin esiin matematiikan ja fysiikan ero, matematiikassa voit jakaa loputtomiin pienenpiin ja pienempiin osiin tuossa 0 ja ykkösen välilläkin, fysiikassa et.

Me tiedämme fysiikasta, kuinka pieniksi tällä hetkellä voidaan jakaa partikkeleita. Se ei kerro mitään siitä, voisivatko osat jakautua yhä pienemmiksi ja pienemmiksi vai eivät.

Korjasin pienen virheen ylläolevasta viestistä:
0,87000…87 -> 0,86999…13

[Eusa]

Korjasin pienen virheen ylläolevasta viestistä:
0,87000…87 -> 0,86999…13

Kuvaako 13 jotain laskinerhettä vai laskuvaihetta?

[Valistuneesti Arvaileva]

Korjasin pienen virheen ylläolevasta viestistä:
0,87000…87 -> 0,86999…13

Kuvaako 13 jotain laskinerhettä vai laskuvaihetta?

Se kuvaa (epätodellisia) ”kahta viimeistä desimaalia” äärettömän desimaalimäärän jälkeen.

Kun tuolla aikaisemmin oli väite siitä, että äärettömän määrän nollia jälkeen voisi tulla ykkönen 0,000…1 (mikä siis ei pidä paikkansa), tuo laskutapa havainnollistaa sitä, jos ns. viimeinen/viimeiset desimaalit olisivat olemassa, tulisi laskusta x - 0,1x = 0,87… - 0,0087… = 0,86999…13 (eli äärettömän määrän ysejä jälkeen tulisi vähennyslaskun seurauksena viimeisiksi desimaaleiksi 1 ja 3). Erotuksen täytyy kuitenkin olla tasan 0,87 (eikä 0,86999…13), koska 87/99 = 0,87….

Ehkä tämä on vähän hassu tapa ajatella asiaa, mutta noin minä sitä teininä aikoinani pähkäilin, kun silloin mietin hetken Goswellin tapaan, voisiko ykkönen sittenkin tulla äärettömän nollamäärän jälkeen. Tuon avulla oivalsin, että ei voi.

Yksinkertaisempaa toki kun uskoo heti alkuunsa, ettei niitä viimeisiä desimaaleja ole, joten luvuissa 0,87… ja (0,87…)/100 = 0,0087… on ”yhtä monta” desimaalia, vaikka jälkimmäisessä onkin kaksi nollaa alussa.

Eli ei näin, että toinen menisi vähän pidemmälle:
0,87…(ääretön määrä välissä)…87 ja
0,0087…(ääretön määrä välissä)…87

vaan näin, että menevät yhtä pitkälle:
0,87…(ääretön määrä välissä)…8787… ja
0,0087…(ääretön määrä välissä)…87…

[Valistuneesti Arvaileva]

Korjasin pienen virheen ylläolevasta viestistä:
0,87000…87 -> 0,86999…13

Kuvaako 13 jotain laskinerhettä vai laskuvaihetta?

Se kuvaa (epätodellisia) ”kahta viimeistä desimaalia” äärettömän desimaalimäärän jälkeen.

Kun tuolla aikaisemmin oli väite siitä, että äärettömän määrän nollia jälkeen voisi tulla ykkönen 0,000…1 (mikä siis ei pidä paikkansa), tuo laskutapa havainnollistaa sitä, jos ns. viimeinen/viimeiset desimaalit olisivat olemassa, tulisi laskusta x - 0,1x = 0,87… - 0,0087… = 0,86999…13 (eli äärettömän määrän ysejä jälkeen tulisi vähennyslaskun seurauksena viimeisiksi desimaaleiksi 1 ja 3). Erotuksen täytyy kuitenkin olla tasan 0,87 (eikä 0,86999…13), koska 87/99 = 0,87….

Ehkä tämä on vähän hassu tapa ajatella asiaa, mutta noin minä sitä teininä aikoinani pähkäilin, kun silloin mietin hetken Goswellin tapaan, voisiko ykkönen sittenkin tulla äärettömän nollamäärän jälkeen. Tuon avulla oivalsin, että ei voi.

Yksinkertaisempaa toki kun uskoo heti alkuunsa, ettei niitä viimeisiä desimaaleja ole, joten luvuissa 0,87… ja (0,87…)/100 = 0,0087… on ”yhtä monta” desimaalia, vaikka jälkimmäisessä onkin kaksi nollaa alussa.

Eli ei näin, että toinen menisi vähän pidemmälle:
0,87…(ääretön määrä välissä)…87 ja
0,0087…(ääretön määrä välissä)…87

vaan näin, että menevät yhtä pitkälle:
0,87…(ääretön määrä välissä)…8787… ja
0,0087…(ääretön määrä välissä)…87…

Samalla logiikalla siis tapauksessa 0,9… = 1

x - 0,1x =
0,9…99… -
0,09…9…
= 0,9
-> 0,9… = 1

(Koska jos olisi
x - 0,1x =
0,9…9 -
0,09…9
= 0,8999…(ääretön määrä ysejä)…1
-> 0,9… ≠ 1.
Mutta tämä laskentatapa ei toimi, kuten noista muista osamääränä ilmaistavista jaksollisista desimaaliluvuista näkee.)

[Ykkösnolla]

Eihän siinä ole järkeä

Epsilon on nykymatematiikkaa ja kuten Wikipediassa se määritetään: "ϵ on mielivaltaisen pieni positiivinen luku" Määritelmä jatkuu sitten, että "esimerkiksi sitä käytetään....". Sinäkin siis löysit nykymatematiikasta jotain, missä sinun mielestä ei ole järkeä. Minun mielestä tosin epsilonissa ja sen määritelmässä on järkeä.

On oikeastaan harhaanjohtavaa kutsua ystäväämme epsilonia "mielivaltaisen pieneksi positiivisiksi luvuiksi", tuo huono sanonta vain yrittää havainnollistaa asiaa. Eikä oppikirjoissa ainakaan entisaikaan näin sanottu, epsilon oli vain mikä tahansa positiivinen luku, vaikkapa miljoona...

[Ykkösnolla]

Mikä on Keckuli joukon 1, 1/2, 1/3, 1/4. . . .
pienin luku?

Se on mielivaltaisen pieni luku, mikä on kuitenkin >0. Sellaiselle luvulle on käsittekin olemassa jo nykymatematiikassa. Se on epsilon. ϵ on mielivaltaisen pieni positiivinen luku, esimerkiksi raja-arvon ja funktion jatkuvuuden määritelmissä ja niihin perustuvissa todistuksissa.

EDIT: Oikeastaan siis Keckkuli joukko on 1...a, missä a on mielivaltaisen suuri luonnollinen luku eli vastaus kysymykseesi olisi tarkkaa ottaen pitänyt olla 1. Esim. 1/2 ei kuulu Keckkulin joukkoon, mutta ymmärsin mitä tarkoitit.

Pakko sanoa, että ei ole tuo Keckkulin kuvittelema luku, olipa se olemassa jossain mielessä tai ei, ei ole mukana mainitussa joukossa, joten se ei ole kyseisen joukon pienin luku. No, voihan sen sinne lisätä.