Kunnon väittely äärettömästä

[Keckuli]

Eiköhän tällekin foorumille saada "kunnon" väittely äärettömyydestä?

Minusta on itsestään selvää, että jos luonnolisia lukuja olisi ääretön määrä, niin suurin luonnollinen luku olisi ääretön. Listataan nimittäin luonnollisten lukujen lukumäärää ja suuruutta. Selvästi nähdään, että kun joukon lukumäärää kasvatetaan, niin joukon suurimman alkion suuruus kulkevat rinta rinnan. Jos siis luonnollisten lukujen joukossa on ääretön määrä alkioita, niin se sisältää myöskin alkion, minkä suuruus on ääretön.

Lukumäärä Suurin alkio
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
16 16
17 17
18 18
19 19
20 20
. .
. .
. .
∞ ∞

No jos luonnollisia lukuja ei olisi ääretön määrä, niin olisiko niitä sitten äärellinen määrä? Ei, vaan mielivaltaisen suuri äärellinen määrä. Näillä käsitteillä "äärellinen", "ääretön" ja "mielivaltaisen suuri äärellinen määrä" on vissi ero. "Mielivaltaisen suuri äärellinen määrä" tarkoittaa kappalemäärää, mitä voidaan kasvattaa ilman ylärajaa, mutta siten, että se kuitenkin pysyy äärellisenä.

[Neutroni]

Luonnollisten lukujen määritelmästä seuraa suoraan, ettei ole olemassa suurinta luonnollista lukua, jonka voisi nimetä "äärettömäksi" tai jollain muulla nimellä (koska ääretön tarkoittaa jo ennestään muita asioita). Määritelmän mukaan jokaisella luonnollisella luvulla on seuraaja ja suuruusjärjestyksen määritelmän mukaan seuraaja on aina suurempi kuin luku, jota se seuraa. Jos yrität väittää, että joku luku n on suurin luonnollinen luku, itsestäänselvästi n+1 on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin n ja n ei siten ole suurin luku.

[Keckuli]

Luonnollisten lukujen määritelmästä seuraa suoraan, ettei ole olemassa suurinta luonnollista lukua, jonka voisi nimetä "äärettömäksi" tai jollain muulla nimellä (koska ääretön tarkoittaa jo ennestään muita asioita). Määritelmän mukaan jokaisella luonnollisella luvulla on seuraaja ja suuruusjärjestyksen määritelmän mukaan seuraaja on aina suurempi kuin luku, jota se seuraa. Jos yrität väittää, että joku luku n on suurin luonnollinen luku, itsestäänselvästi n+1 on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin n ja n ei siten ole suurin luku.

Luepas nyt tarkemmin, mitä kirjoitan, ettet ala väittämään minun väittäneen jotain mitä en väittänyt. Enhän minä väittänyt, että on olemassa suurin luonnollinen luku, vaan nimenomaan, että on olemassa mielivaltaisen suuri luonnollinen luku ilman ylärajaa.

On helppoa teilata toisen näkemykset olkinukeilla.

https://fi.wikipedia.org/wiki/Olkinukke

Siis: mitä tahansa matemaattista operaatiota, missä esiintyy luonnollisia lukuja, tarkasteltaessa voidaan suurin luonnollinen luku kasvattaa mielivaltaisen suureksi.

[Neutroni]

Luepas nyt tarkemmin, mitä kirjoitan, ettet ala väittämään minun väittäneen jotain mitä en väittänyt. Enhän minä väittänyt, että on olemassa suurin luonnollinen luku, vaan nimenomaan, että on olemassa mielivaltaisen suuri luonnollinen luku ilman ylärajaa.

Ensimmäinen virke viestissäsi kuului näin (lihavoin kohdan, jossa väitit, että on suurin luonnollinen luku):

Minusta on itsestään selvää, että jos luonnolisia lukuja olisi ääretön määrä, niin suurin luonnollinen luku olisi ääretön.

On helppoa teilata toisen näkemykset olkinukeilla.

On vielä helpompaa sotkeutua näppäryyteensä matemaattisilla käsitteillä, jos ei ole huolellinen logiikan kanssa.

Siis: mitä tahansa matemaattista operaatiota, missä esiintyy luonnollisia lukuja, tarkasteltaessa voidaan suurin luonnollinen luku kasvattaa mielivaltaisen suureksi.

Tuossa on taas tuo "suurin luonnollinen luku". Luonnollisia lukuja voidaan määritellä mielivaltaisen suuria, mutta ei ole mitään suurinta luonnollista lukua, joka voitaisiin nimetä "äärettömäksi". Mikä tahansa luonnollinen luku on äärellinen ja sitä seuraa ääretön ketju vielä suurempia lukuja.

[Keckuli]

Tuossa on taas tuo "suurin luonnollinen luku".

Niin! Mutta se on eri asia minulla kuin jokin fixattu suurin luonnollisten lukujen joukko so. se on "mielivaltaisen suuri luonnollinen luku" ts. sille ei ole ylärajaa. Kuten heti ensimmäisessä viestissä kirjoitin: on kolme käsitettä (riippumatta siitä ovatko ne todellisia olemassaolevia):

1) Äärettömän suuri luonnollinen luku
2) Äärellinen suurin luku
3) Mielivaltaisen suuri äärellinen luku

Ne ovat kaikki erilaisia ja tarkoittavat eri asioita. Ajattelen, että kaikissa luonnollisten lukujen joukkojen ominaisuuksien tarkasteluissa voidaan vain kasvattaa luonnolllisten lukujen suurinta alkiota mielivaltaisen suureksi. On stopattava. Näin tarkastellen, kuten minä asioita näen, päästään siitä järjettömyydestä, että luonnollisia lukuja olisi "yhtä paljon" kuin "vain" esimerkiksi parillisia lukuja. Listataan nimittäin erikseen luonnolisia lukuja sopien, että tuo "mielivaltaisen suuri luonnollinen" luku olisi vaikka m. Saadaan listat:

Luonnollisten lukujen lista:

luonnollinen luku Suurin alkio
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
16 16
17 17
18 18
19 19
20 20
. .
. .
. .
m m

Ja sitten tuohon lukuun m saakka parillisia lukuja:

Lukumäärä Suurin alkio
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12
7 14
8 16
9 18
10 20
. .
. .
. .
m / 2 m

Tällöin parillisia lukuja on puolet siitä mitä luonnollisia lukuja, mikä kuulostaa paljon loogisemalta ja järkeen käyvemmältä kuin Cantorin opit.

[Molli]

..siis, kun en raskinut heti hommata..
..jouduin tosi pitkää jahtaan..
Rudy Rucker, Mieli ja äärettömyys, julk Art House hra Hotakainen ISBN 951-884-222-1

itelle pientä aivojumpaa..
KAikki kunnia suomentaneelle Markus Hotakaiselle, mutta voi olla, jottei häl'kään olna käryä mikä jutskan juonne on..

eikä viestinkirjoittaneellakaan.. nimittäin ongelma on (kuten pääministerillä) yleensä lukujen suuruus ymmärräteen oman pörssin kokoluokan mukaisesti.. tms
YT, Molli

[Keckuli]

Rudy Rucker, Mieli ja äärettömyys, julk Art House hra Hotakainen ISBN 951-884-222-1

Olen lukenut kirjan. Olen ymmärtänyt sen ja sen käsitteet ja hylkänyt ne. Ajattelen ja näen toisin.

Sen käsitteet ovat juuri niitä, jotka kyseenalaistan. Ennen Cantoria ei hyväksytty äärettömiä joukkoja juuri sen takia, että se johtaa tuohon järjettömyyteen: on olemassa joukko, jonka aito osajoukko on yhtä mahtava kuin joukko itse. Galilei mm. oli tätä mieltä, että se on järjetöntä. Sitten Cantor otti tuon järjettömyyden äärettömän joukon määritelmäksi. Vanhassa vara parempi!

[Neutroni]

Niin! Mutta se on eri asia minulla kuin jokin fixattu suurin luonnollisten lukujen joukko so. se on "mielivaltaisen suuri luonnollinen luku" ts. sille ei ole ylärajaa.

Käytät tuossa väärin luonnollisia lukuja. Matematiikassa luonnolliset luvut (ja niiden yhteenlasku, kertolasku ja suuruusjärjestys) määritellään Peanon aksioomilla. Ne johtavat tiettyyn täysin määrättyyn järjestelmään. Jos sinä lisäät siihen omiasi, silloin et voi enää puhua luonnollisista luvuista. En tiedä miksi haluat käyttää samoja sanoja kuin hyvin määritellyillä olioilla. Se johtaa vain tämäntyyppiseen väärinymmärtämiseen, sekaannuksiin ja kinaamiseen.

Kuten heti ensimmäisessä viestissä kirjoitin: on kolme käsitettä (riippumatta siitä ovatko ne todellisia olemassaolevia):

1) Äärettömän suuri luonnollinen luku
2) Äärellinen suurin luku
3) Mielivaltaisen suuri äärellinen luku

On helppo todistaa, että yksikään luonnollinen luku ei täytä ehtoja 1 tai 2.

Ajattelen, että kaikissa luonnollisten lukujen joukkojen ominaisuuksien tarkasteluissa voidaan vain kasvattaa luonnolllisten lukujen suurinta alkiota mielivaltaisen suureksi. On stopattava.

Tuossa kummittelee nyt taas tuo "luonnollisten lukujen suurin alkio". Se ei tarkoita mitään järjellistä. Vaikka yrittäisit määritellä kuinka mielivaltaisen suuren luvun tahansa "suurimmaksi", luonnollisten lukujen joukkoon kuuluu ääretön määrä sitä suurempia lukuja. Joista yhtäkään ei voi nimetä äärettömäksi (ainakaan säilyttäen mitään matematiikassa äärettömyyksiin liitettyjä ominaisuuksia).

Näin tarkastellen, kuten minä asioita näen, päästään siitä järjettömyydestä, että luonnollisia lukuja olisi "yhtä paljon" kuin "vain" esimerkiksi parillisia lukuja. Listataan nimittäin erikseen luonnolisia lukuja sopien, että tuo "mielivaltaisen suuri luonnollinen" luku olisi vaikka m. Saadaan listat:

Luonnollisten lukujen lista:

luonnollinen luku Suurin alkio
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
16 16
17 17
18 18
19 19
20 20
. .
. .
. .
m m

Ja sitten tuohon lukuun m saakka parillisia lukuja:

Lukumäärä Suurin alkio
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12
7 14
8 16
9 18
10 20
. .
. .
. .
m / 2 m

Tällöin parillisia lukuja on puolet siitä mitä luonnollisia lukuja, mikä kuulostaa paljon loogisemalta ja järkeen käyvemmältä kuin Cantorin opit.

Tuo pätee mahtavuudeltaan (joukon alkioiden lukumäärä) äärellisiin peräkkäisistä luonnollisista luvuista (ja muotoa 2m olevista) koostuviin osajoukkoihin. Mutta ei luonnollisten lukujen joukkoon. Jokaista luonnollista lukua n vastaa parillinen luonnollinen luku 2n.

[Keckuli]

1) Äärettömän suuri luonnollinen luku
2) Äärellinen suurin luku
3) Mielivaltaisen suuri äärellinen luku

On helppo todistaa, että yksikään luonnollinen luku ei täytä ehtoja 1 tai 2.

Sanoinkin, että ne ovat käsitteitä, riippumatta siitä, ovatko ne loogisesti olemassaolevia. Jotta ne voidaan kumota, niin onhan niiden oltava käsitteitä. Mutta hienoa! Päädyit nyt sitten ilmeisesti samaan kuin minä: ainoa järjellinen käsite on 3) ? Eri luonnollisten lukujen joukon ominaisuuksien tarkasteluissa on valittava "mielivaltaisen suuri äärellinen luku". Annoitko väittelyssä periksi, vai sattuiko sinulla lapsus?

[Neutroni]

Sanoinkin, että ne ovat käsitteitä, riippumatta siitä, ovatko ne loogisesti olemassaolevia. Jotta ne voidaan kumota, niin onhan niiden oltava käsitteitä. Mutta hienoa! Päädyit nyt sitten ilmeisesti samaan kuin minä: ainoa järjellinen käsite on 3) ? Eri luonnollisten lukujen joukon ominaisuuksien tarkasteluissa on valittava "mielivaltaisen suuri äärellinen luku". Annoitko väittelyssä periksi, vai sattuiko sinulla lapsus?

En nyt äkkiseltään keksi mitä "mielivaltaisen suuri äärellinen luku" voi kertoa luonnollisten lukujen joukon ominaisuuksista. No, ehkä sen, että olkoonpa meillä kuinka mielivaltaisen suuri luku tahansa, joukossa on aina ääretön määrä sitä suurempia lukuja. Joissain laskutoimituksissa, erityisesti raja-arvolaskuissa, mielivaltaisen suuren luvun käyttö jonkinlaisena esimerkkinä voi olla perusteltua. Mutta se "mielivaltainen luku" ei ole mikään tietty luku, eli joukon alkio, vaan sillä tarkoitetaan että esim. laskukaava antaa järjellisiä tuloksia vaikka siihen tunkee kuinka suuren luvun tahansa. Sitten jos luku määritellään jotenkin olemaan tietty luonnollinen luku, se ei ole enää "mielivaltaisen suuri", vaan täsmällinen luku.

[Keckuli]

Sitten jos luku määritellään jotenkin olemaan tietty luonnollinen luku, se ei ole enää "mielivaltaisen suuri", vaan täsmällinen luku.

Se on sekä että minun tarkasteluissani. Se on sekä "mielivaltaisen suuri" että "täsmällisen suuri".

[Keckuli]

Matematiikassa tarkastellaan raja-arvoja. Se on hyvin määritelty käsite. Tarkastellaampa parillisten lukujen joukon lukumäärää ja luonnollisten lukujen joukon lukumäärää, kun m annetaan kasvaa rajatta äärettömiin. Käy näin:



Aina parillisten lukujen joukon alkioiden lukumäärä on puolet (paitsi alussa nolla) luonnollisten lukujen joukon alkioiden lukuäärästä.

-> parillisia lukuja on puolet luonnollisten lukujen joukosta.

[OlliS]

Minkä äärettömyys? Universumin tietysti olisi mielenkiintoisin. Ääretön sekä tilassa että ajassa. Ajassa sitä sanotaan ikuisuudeksi.

Mikä on universumi? Se on kaikki mitä on olemassa. Sen oma olemassaolo on hieman erilaista kuin muiden asioiden. Se ei ole osa missään suuremmassa kokonaisuudessa, vaan se itse on kaikki olemassa oleva tila.

Ja voidaan ajatella ettei sitä ole, vaan vain sen osat erikseen, ne yhdessä ei ole mikään varsinainen olemassa oleva entiteetti. Mutta se tarvitaan ainakin käsitteenä malleissa, ja universumin mallin, teorian tulee kuitenkin olla siitä, eikä mistään muusta, pienemmästä universumista.

Eikä äärettömyys voi olla absoluuttista koska fyysisessä todellisuudessa ei ole absoluuttisen äärettömiä asioita. Todellinen äärettömyys on vain rajattomuutta.

Mitä sitten on ikuisuus, joka ei ole absoluuttisen ikuista?

Tässä on kokoavasti ne ajatukset joihin itse olen päätynyt äärettömyydestä tähän mennessä. Muilta saatu tietysti, ei nämä uusia ole, mutta nämä ne tärkeät ovat, ja sivuutetaan sokeasti tieteen käytännössä.

[deep purpose]

Kyllähän äärettömyys on olemassa just sen äärettömän tilan suhteen. Vaikka tällä universumilla olisi rajat, niin ei voi pois sulkea multi-universumeiden olemassaoloa.

[OlliS]

Välillä ajattelen, että ajallinen äärettömyys, ikuisuus olisi kuitenkin absoluuttista. Ainakin universumin aika on sellaista, ettei ole alkua eikä loppua. Aina on ollut jotain, nyt on jotain ja aina tulee olemaan jotain. Tai sitten on vain ikuinen nykyhetki universumin tasolla.

Ja aikaa ei ehkä varsinaisesti ole universumilla itsellään, se on apukäsite mikä tarvitaan kappaleiden liikkeen kuvaamiseen tilassa. Liike on se fysikaalisesti todella oleva asia.