Tiedepalsta.fi

Oloinaccin lukujono

Lukuteoria keskityy lukujen tutkimukseen. Perinteisesti kyseessä ovat luonnolliset luvut. Niin on tässäkin kehittämäni lukujoukon tapauksessa. Luultavasti tämä on taas itsestäänselvyyttä mutta kunhan värkkäilen aikani kuluksi pilke silmäkulmassa Minä kun en ole mikään matemaatikko enkä varsinkaan lukuteoriaguru. Olen puoliksi eläkeläinen jolla yksinäisyyttä ja aikaa riittää

Johdanto

Ajatuksen oloinaccin lukujonosta sain kun tutkin Fibonaccin lukuja. Fibonaccin lukujonohan on lukujono joka saadaan kun lasketaan aina yhteen kaksi edellistä lukua ja muodostetaan näin uusi luku. Fibonaccin lukujonon ensimmäiset kymmenen lukua järjestyksessä ovat 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ja 34.

F(n) = 0 , kun n = 0
F(n) = 1 , kun n = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) , kun n > 1

Fibonaccin luvuista on muokattu useita eri muotoja. Tribonaccin luvuissa lasketaan kahden sijaan yhteen kolme perättäistä lukua. Sen ensimmäiset luvut ovat 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24 ja 44,

Tribonaccin lukuja seuraavat korkeamman asteen lukujonot ovat tetranacci, pentanacci, heksanacci, heptanacci, octanacci ja enneanacci. Näissä lasketaan neljä, viisi, kuusi, seitsemän, kahdeksan tai yhdeksän perättäistä lukua yhteen.


Oloinaccin lukujono

Oloinaccin lukujonossa luvun arvo saadaan kun lasketaan yhteen lukujonon kaikki edelliset luvut. Tästä tuleekin nimitys. Kreikankielen sana όλοι on suomeksi kaikki. Yhdistin sen vain Fibonacci-sanaan. Siis oloinaccin luvut.

F(n) = 0 , kun n = 0
F(n) = 1 , kun n = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) +... ...+ F(0) , kun n > 1

Tietty oloinaccin luku saadaan laskettua myös yksinkertaisella kaavalla:

F(n) = 2^(n-2) , kun n > 2

n = oloinaccin luvun järjestysnumero
F(n) = oloinaccin luku


Ensimmäset kymmenen oloinaccin lukua ovat 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ja 128.

Oloinaccin luvuilla on paljon mielenkiintoisia ominaisuuksia ja olen määrittänyt niistä muutamia konjektuureja.


Konjektuuri 1 (jaollisuus):

Kun n > 2, ovat kaikki oloinaccin luvut jaollisia kahdella. Mistä seuraa että seuraavan oloinaccin luvun saa kertomalla oloinaccin luvun kahdella.

F(n+1) = 2F(n) , kun n > 1

n = oloinaccin luvun järjestysnumero
F(n) = oloinaccin luku
F(n+1) = seuraava oloinaccin luku


Konjektuuri 2 (loppusekvenssi):

Kun n > 2, noudattavat oloinaccin lukujen viimeiset numerot sekvenssiä 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6. 2, 4....

n F(n)
0: 0
1: 1
2: 1
3: 2
4: 4
5: 8
6: 16
7: 32
8: 64
9: 128
10: 256
. . .

n = oloinaccin luvun järjestysnumero
F(n) = oloinaccin luku



Konjektuuri 3 (numerosuhde):

Kun oloinaccin luvun numeroiden määrä N jaetaan oloinaccin luvun järjestysnumerolla n saadaan aina tulokseksi likimäärin 0,3. Kuitenkin kun oloinaccin luvun järjestysnumero on tasakymmen saadaan aina täsmälleen 0,3.

k = N / n ~ 0,3

k = N / n = 0,3 , kun n=10, n=20, n=30...

N = oloinaccin luvun numeroiden määrä
n = oloinaccin luvun järjestysnumero
k = numerosuhde


Konjektuuri 4 (korotus):

Kun oloinaccin luku korotetaan toiseen potenssiin saadaan aina tulokseksi jokin oloinaccin luku.

F(n)^2 = F(x)

F(n)^2 ∈ S[F(n)]

F(n) = oloinaccin luku
F(x) = jokin oloinaccin luku
S[F(n)] = oloinaccin lukujoukko


Lopuksi

Mielenkiintoistahan näitä on ajankuluksi pohtia. Ja tulokset saattavat olla joskus todella yllättäviäkin.


- Jarppi Sääksjärvi

JarppiOne kirjoitti: ↑30 Heinä 2025, 15:26 Oloinaccin lukujono

n F(n)
0: 0
1: 1
2: 1
3: 2
4: 4
5: 8
6: 16
7: 32
8: 64
9: 128
10: 256
. . .
n = oloinaccin luvun järjestysnumero
F(n) = oloinaccin luku

Näyttäis tuo lukujono olevan
2ⁿ⁻², kun n≥2

Tauko kirjoitti: ↑30 Heinä 2025, 16:55

JarppiOne kirjoitti: ↑30 Heinä 2025, 15:26 Oloinaccin lukujono

n F(n)
0: 0
1: 1
2: 1
3: 2
4: 4
5: 8
6: 16
7: 32
8: 64
9: 128
10: 256
. . .
n = oloinaccin luvun järjestysnumero
F(n) = oloinaccin luku

Näyttäis tuo lukujono olevan
2ⁿ⁻², kun n≥2

Ok. Kiitoksia

JarppiOne kirjoitti: ↑30 Heinä 2025, 15:26 Ensimmäset kymmenen oloinaccin lukua ovat 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ja 128.

Oloinaccin luvuilla on paljon mielenkiintoisia ominaisuuksia ja olen määrittänyt niistä muutamia konjektuureja.


Konjektuuri 1 (jaollisuus):

Kun n > 2, ovat kaikki oloinaccin luvut jaollisia kahdella. Mistä seuraa että seuraavan oloinaccin luvun saa kertomalla oloinaccin luvun kahdella.

F(n+1) = 2F(n) , kun n > 1

n = oloinaccin luvun järjestysnumero
F(n) = oloinaccin luku
F(n+1) = seuraava oloinaccin luku


Konjektuuri 2 (loppusekvenssi):

Kun n > 2, noudattavat oloinaccin lukujen viimeiset numerot sekvenssiä 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6. 2, 4....

. . .

n = oloinaccin luvun järjestysnumero
F(n) = oloinaccin luku

Nämä voidaan todistaa lauseiksi. Esim. vaikkapa muotoa 10*m+6 oleva luku (m on luonnollinen luku) *2 = 20*m+12 = (2*m+1)*10+2. Koska m on luonnollinen luku, 2*m+1 on myös joten tuon notaatio päättyy 10-järjestelmässä kakkoseen.

Konjektuuri 3 (numerosuhde):

Kun oloinaccin luvun numeroiden määrä N jaetaan oloinaccin luvun järjestysnumerolla n saadaan aina tulokseksi likimäärin 0,3. Kuitenkin kun oloinaccin luvun järjestysnumero on tasakymmen saadaan aina täsmälleen 0,3.

k = N / n ~ 0,3

k = N / n = 0,3 , kun n=10, n=20, n=30...

N = oloinaccin luvun numeroiden määrä
n = oloinaccin luvun järjestysnumero
k = numerosuhde

Luvun m numeroiden määrä p = floor(log_10(m)+1), jossa floor(x) on lähin kokonaisluku alaspäin pyöristettynä. Jos m on muotoa m = 2^(n-2), p = floor(log_10(2^(n-2)) = floor((n-2)*log_10(2) = floor((n-2)*0.301029995... Koska tuo suhde on hieman yli 0.3 tuo jälkimmäinen oletus pettää jossain vaiheessa.

Konjektuuri 4 (korotus):

Kun oloinaccin luku korotetaan toiseen potenssiin saadaan aina tulokseksi jokin oloinaccin luku.

Tämä todistuu, koska oloinaccin luvut ovat kaikki muotoa 2^n olevat luvut ja 0. Nuo korotettuna toiseen ovat väkisin samaa muotoa ja siten oloinaccin lukuja.

Kiitoksia kaikille kiinnostuneille

Oliko tämä ennestään tuttua asiaa? Tarkoitan että kaipa joku on jo pohtinut tätä aiemmin. Itse en ole sattunut kuulemaan/törmäämään asiaan.

Minulla on vielä takataskussa Hullun Summa (Madman Sum) joka on eräänlainen ratkaisu Zenonin paradoksiin "samanlaisuus ja erilaisuus." Sen lähetin matematiikkalehteen ja lupailivat että julkaisevat syksyllä. Ellei niin julkaisen sen sitten täällä.

Tauko kirjoitti: ↑30 Heinä 2025, 16:55

JarppiOne kirjoitti: ↑30 Heinä 2025, 15:26 Oloinaccin lukujono

Näyttäis tuo lukujono olevan
2ⁿ⁻², kun n≥2

Samoin 1/4 * e^(ln(2) * n) kun n>=2