Renormalisaatioryhmä

[HuuHaata]

Sattuuko palstalle joku, joka on sattunut laskemaan asiaa läpi. Tiedän löpinät, mutta en ole miettinyt matematiikasta noin mitään. Mitä kipukohtia siinä on?

[HuuHaata]

Tai vastaavasti onko tällä pallolla mitään paikkaa, jossa noita voisi miettiä? Asia on aika relevantti paraikaa, koska tekoälyttömyydessä renormalisaatioryhmämietiskely on lähellä kuuminta hottia.

En ole oikein mihinkään löytänyt jotain tekemispaikkaa. Yleensä menen johonkin mallia aloittelijoidenkin ryhmään niin v****:levat ulos mallilla eikun sinun pitää itse laskea matematiikat ja sitten koodata, sitten pitää tehdä vielä käppyrrät ja nuolla innolla jonkinasteisen pomon anusta. Josta jaksan kuunnella ensimmäiset 5s ja muutan mielenkiinnonkohdettani johonkin missä kultakalakeskittyminen yhdistettynä tarpeeksi koviin ideointeihin riittää eikä kaikista yritetä tehdä samaa vääntäviä klooneja, joista kukaan ei ymmärrä asiaa kovinkaan syvälle.

[Eusa]

Tässä AI:n yritys pohjustaa lätinästä matematiikkaa:

Yksi esimerkki hyödyllisestä renormalisointiryhmästä on Wilsonin renormalisointiryhmä, jota käytetään analysoimaan järjestelmän käyttäytymistä energia-asteikon muuttuessa. Wilsonin renormalisointiryhmä toimii jakamalla energia-avaruusn useisiin pieniin samankokoisiin laatikoihin ja huomioimalla sitten järjestelmän käyttäytyminen, kun parametria muutetaan kussakin laatikossa. Tämä mahdollistaa tarkemman ymmärryksen järjestelmän käyttäytymisestä eri energia-asteikoissa.

Kenneth Wilsonin vuonna 1971 muotoilema Wilsonin renormalisointiryhmä perustuu ajatukseen löytää renormalisointivirran kiinteät pisteet, jotka ovat pisteet, joissa järjestelmän parametrit eivät muutu energia-asteikkoa muuttaessa. Wilsonin renormalisointiryhmää käyttämällä voidaan tutkia järjestelmän käyttäytymistä sen siirtyessä lähemmäksi tai kauemmaksi näistä kiinteistä pisteistä ja siten ymmärtää järjestelmän käyttäytymistä eri energia-asteikoissa.

Wilsonin renormalisointiryhmä (WRG) on tehokas työkalu, jota käytetään analysoimaan ja ennustamaan monimutkaisten järjestelmien käyttäytymistä fysiikassa. Havainnollistaaksesi sen käyttöä, harkitse yksinkertaista kaksiulotteista Ising-järjestelmää, joka koostuu kahdesta pyöräytyksestä, joista jokainen voi olla "ylös" tai "alas".

Järjestelmän Hamiltoni annetaan seuraavasti:

$$H = J \sigma 1 \ sigma 2$$

missä $\sigma 1$ ja $\sigma 2$ ovat kaksi pyöräytystä ja $J$ on niiden välinen "kytkentä" tai "vuorovaikutus".

WRG:n soveltamiseksi tunnistamme ensin järjestelmän "oleelliset" vapausasteet. Tässä tapauksessa nämä ovat kaksi pyöräytystä. Sitten määritellään "estävä" muunnos, joka ottaa jokaisen spinin alkuperäisestä hilasta ja "ryhmittää" sen viereisten spinien kanssa muodostaakseen uuden, karkeamman hilan. Tämä estomuunnos toistetaan sitten, kunnes uudella, karkeammalla hilassa on vain yksi spin.

Muutoksen jokaisessa vaiheessa Hamiltoni skaalataan uudelleen, jotta järjestelmän alkuperäiset fysikaaliset ominaisuudet säilyvät. Tällä tavalla järjestelmä "uudelleennormalisoidaan", mikä tarkoittaa, että se on muunnettu siten, että se käyttäytyy samalla tavalla kuin alkuperäinen järjestelmä.

WRG on tehokas työkalu, koska sen avulla voimme laskea järjestelmän ominaisuuksia pienemmällä vapausasteella. Tätä voidaan käyttää ennustamaan monimutkaisten järjestelmien, kuten Ising-mallin, käyttäytymistä suuressa mittakaavassa.

[Q-S]

Sattuuko palstalle joku, joka on sattunut laskemaan asiaa läpi. Tiedän löpinät, mutta en ole miettinyt matematiikasta noin mitään. Mitä kipukohtia siinä on?

Tekoälynväläys-sovellutukset mulle tuntemattomia, mutta voin johdatella fysiikan kautta.

Esimerkkinä kahden (lelumallin skalaari-)hiukkasen vuorovaikutus, ja toisen kertaluvun Feynmanin diagrammi, missä vuorovaikutuksen todennäköisyyttä kuvaava transitioamplitudi on muotoa

A⁽²⁾ = λ² ∫ (d⁴q/16π⁴) [ 1/(q² - m² - iε) ] * [ 1/[(k₁+k₂-q)² - m² - iε] ] * δ(k₃+k₄-k₁-k₂).

Tässä k₁ ja k₂ ovat sisään menevien hitusten liikemäärät, k₃ ja k₄ ulos tulevien liikemäärät ja q on toisen kertaluvun silmukan (virutaalinen) liikemäärä. λ on vuorovaikutuksen kytkinvakio. Myöhemmin oleellista, että teorian kytkinvakio λ on poimittu Lagrangen tiheydestä 1. kertaluvun tarkkuudella. Korkeamman kertaluvun termeissä λ voi olla eri luku. Diracin deltafunktio δ() säilyttää liikemäärän. Sisäänmenevien 4-liikemäärä on sama kuin ulostulevien.

Lausekkeessa A⁽²⁾ on ongelmia. Diracin deltassa ei esiinny q, joten integraali on epätriviaali. Lisäksi integroimisväli on (-∞,∞), koska virutaalinen q saa kaikki liikemäärän arvot. Integraali hajaantuu, minkä näkee karkeasti

∫_(-∞,∞) (d⁴q/16π⁴) 1/q⁴ ~ ∞.

Todennäköisyyksien summan oltava 1, joten tuo ∞ ei käy. A⁽²⁾ voidaan kuitenkin matemaatikkojen tuella muokata suppenevan kaltaiseksi käyttämällä parametria Λ

-λ² C ln [ (k₁+k₂)² / Λ² ] = -λ² C [ ln ( (k₁+k₂)² - ln(Λ²) ) ].

Tässä C ja Λ ovat vakioita. Integroimisväli (-∞,∞) on sama asia kuin Λ → ∞. Integraali muokataan siis sellaiseksi, että Λ voidaan pitää äärellisenä, mutta lopullisessa tuloksessa asetetaan Λ → ∞.

Fysiikassa integraali lausutaan usein -λ² C [ ln (s) - ln(Λ²) ) ], missä s=(k₁+k₂)² on energiaskaala, jolla hiukkaset (liikemäärät k₁ ja k₂) kohtaavat ja siroavat. Suurella energialla s on suuri ja pienellä pieni.

Näin A⁽²⁾ on itse asiassa energiaskaalan s funktio

A⁽²⁾ = -λ² C [ ln(s) - ln(Λ²) ] * δ(k₃+k₄-k₁-k₂).

Menemättä tarkemmin 0. ja 1. kertaluvun termeihin, on energiaskaalan s transitioamplitudi kokonaisuudessa

A(s) = A⁽⁰⁾ + A⁽¹⁾ + A⁽²⁾ + ...
= 0 - λ - λ² C [ ln(s) - ln(Λ²) ] + ...
= - λ - λ² C ln( s / Λ² ) + ...

Todennäköisyys prosessille on siis |A(s)|².

Yksittäisen skaalan s sijasta voidaan vertailla kahta skaalaa s₁ ja s₂

A(s₁) - A(s₂)
= [ - λ - λ² C ln( s₁ / Λ² ) ] - [ - λ - λ² C ln( s₂ / Λ² ) ]
= -λ² C ln(s₁/s₂),

missä vakio Λ² on supistunut pois. Kuitenkin esim. |A(s₁)|² on oltava äärellinen, kun Λ → ∞. Tuossa A(s₁):n termissä esiintyy edelleen ikävästi Λ². Tästä päästään siihen, että kytkinvakio λ täytyy ajatella uusiksi. Kokeellisesti mitattuna λ sisältää kaikki korkeamman kertaluvun korjaukset, joten 1. kertaluvun λ:n tilalle tulee laatia energiaskaalasta riippuva

λ(s) = λ + λ² C ln( s / Λ² ) + ...

Mittauksessa valitaan energiaskaala esim. s₀, ja todetaan tulos λ(s₀). Nyt siis

λ(s₀) = λ + λ² C ln( s₀ / Λ² ) + ...,

missä vasemman puolen mittaustulos on äärellinen. Myös oikea puoli on äärellinen. Muutaman lisälaskun jälkeen todetaan, että muiden energiaskaalojen s transitioamplitudit saadaan skaalasta s₀ kaavalla

A(s) = -λ(s₀) - C ln (s/s₀) λ²(s₀) + ...,

missä ei esiinny Λ². Voidaan asettaa Λ → ∞, ja tulos on äärellinen, koska A(s) ei riipu Λ:sta. Riippuvuus poistui energiaskaalasta riippuvalla kytkinvakiolla λ(s).

Tästä tuli niin pitkä puuro, että en jaksa kirjoitta kaikkia välivaiheita. Muutaman laskun jälkeen todetaan, että lähellä energiaskaalaa s₀ olevan skaalan s₁ kytkinvakio saadaan kaavalla

λ(s₁) ≈ λ(s₀) + C ln( s₁/s₀ ) λ²(s₀).

Vakio λ juoksee energiaskaalan funktiona. Voidaan derivoida kaava s₁:n suhteen

(d/ds₁) λ(s₁) ≈ (C/s₁) * λ²(s₁), tai, kun kerrotaan puolittain s₁:llä

s₁ (d/ds₁) λ(s₁) ≈ C λ²(s₁).

Viimeisin yhtälö kuvaa miten kytkinvakio λ muuttuu kun skaala s₁ muuttuu. Differentiaaliyhtälö ratkeaa kun tunnetaan alkuarvoja esim λ(s₀). Energiaskaalaa voidaan muuttaa reaalikertoimella a tyyliin s₁ = a s₀. Muunnosta sanotaan skaalamuunnokseksi. Yhtälöä sanotaan renormalisaatioryhmän yhtälöksi. Ryhmä siksi, että skaalamuunnos s₀ → s₂ tuottaa saman tuloksen kuin s₀ → s₁ → s₂, mikä tarkoittaa, että muunnos toteuttaa erään ryhmäteoriaan liittyvän aksiooman. Osoittautuu, että kaikki ryhmä-aksioomat toteutuvat.

oliko tästä apua, tuskin. Ehkä tekoälynväläyksissä renormalisaatiolla koetetaan poistaa yksityiskohtia datasta, ja luoda joku skaalattu ison kuvan teköälymystö-sääntö. En minä v*ttu tiedä.

[Eusa]

Duodanoinduoda.

Renormalisaatioryhmien pihvi ymmärtääkseni makaa kiintopisteissä, jotka kaikissa skaalamuunnoksissa säilyvät invariantteina. On siis kyse erityistapauksista, joihin yleisellä metodilla haetaan reduktio-emergenssi-ymmärrystä.

Todistetusti löytyy ilmeisen fysikaalisia tapauksia, joissa luonnollisella funktionaalilla renormalisaatioryhmän kiintopiste saadaan epävakaaksi ja katoamaan. Tällä on geometrinen motivaatio ja ehkä lopulta on kyse topologiasta - taitaa olla avoin kysymys.

Renormalisaatioryhmä ei siis tarkoita joukko-opin ryhmää vaan renormalisaatiovirtojen ja kiintopisteiden ryhmää, joilla operoidaan "fraktaalitilassa". Jotenkin noin.

Peliteknologiassa voisi kuvitella voitavan hyödyntää ideaa skaalautuvien sääntöjen hallinnassa.

[HuuHaata]

Renormalisaatioryhmien pihvi ymmärtääkseni makaa kiintopisteissä, jotka kaikissa skaalamuunnoksissa säilyvät invariantteina. On siis kyse erityistapauksista, joihin yleisellä metodilla haetaan reduktio-emergenssi-ymmärrystä.

Juuri noin.

Peliteknologiassa voisi kuvitella voitavan hyödyntää ideaa skaalautuvien sääntöjen hallinnassa.

Kysymys on tästä:

Suffice to say that, as alluded in the previous post, the intersection of physics, information theory, and machine learning is potentially rich yet relatively unexplored territory. While the act of learning itself is not an RG in a literal sense, the two share a hierarchical Bayesian language that may yield insights in both directions, and I hope to investigate this more deeply (pun intended) soon.

Suurelta osin on niin, että se mitä fysiikassa on tehty vuosikymmeniä on valunut hieman muutettuna toisiin aloihin. Tai siis ideatasolla puhutaan ainakin samankaltaisesta tekemisestä. Tämän jälkeen sitten kysymykseksi tulee mihin asti fysiikan oivalluksia voidaan käyttää systeemien ymmärtämiseen, josta on selkeää hyötyä kehittäessä esimerkiksi parempia neuroverkkojen rakenteita samalla niin, että ne olisivat laskennallisesti mahdollisemman keveitä.

[HuuHaata]

Viimeisin yhtälö kuvaa miten kytkinvakio λ muuttuu kun skaala s₁ muuttuu. Differentiaaliyhtälö ratkeaa kun tunnetaan alkuarvoja esim λ(s₀). Energiaskaalaa voidaan muuttaa reaalikertoimella a tyyliin s₁ = a s₀. Muunnosta sanotaan skaalamuunnokseksi. Yhtälöä sanotaan renormalisaatioryhmän yhtälöksi. Ryhmä siksi, että skaalamuunnos s₀ → s₂ tuottaa saman tuloksen kuin s₀ → s₁ → s₂, mikä tarkoittaa, että muunnos toteuttaa erään ryhmäteoriaan liittyvän aksiooman. Osoittautuu, että kaikki ryhmä-aksioomat toteutuvat.

Pureudut hyvin ongelmani ytimeen. Eli että kun menee tarpeeksi pirullisen matemaattisen rakenteen kimppuun on pirullisen vaikeaa pitää itselle ainakin kaikkia liikkuvia osia mukana, eli olla menettämättä ymmärrystä. Ongelma muuttuu entistä pirullisemmaksi, kun mennään tilanteisiin, jossa eksaktia tulosta ei ole laskettavissa, mutta jossa ainakin käsiä heilutellen renormalisaatiotyhmää voidaan käyttää.

[HuuHaata]

Renormalisaatioryhmissä olennainen asia on vielä, ettei ole yhtä tapaa. Vaan kyseessä on menetelmäkirjo. Jossa viimeistään tällä hetkellä tipun suhteessa siihen mitä niiden käytöstä varsinaisesti opitaan.

[Q-S]

Renormalisaatioryhmissä olennainen asia on vielä, ettei ole yhtä tapaa. Vaan kyseessä on menetelmäkirjo. Jossa viimeistään tällä hetkellä tipun suhteessa siihen mitä niiden käytöstä varsinaisesti opitaan.

Kyllä, renormalisaatio-työkaluissa on lukuisia eri näköisiä, kokoisia ja käyttömukavuudeltaan vaihtelevia välineitä. Osasta vaikea tietää miten päin pidetään käsissä.

Yksinkertaistetusti kyse on siitä, että vastaan tulee esim integraali ∫_(-∞,∞) x² dx → ∞, mikä siis hajaantuu. Jos käsiteltävässä ongelmahässäkässä on tuo integraali, ja se ketuttaa, niin voi kokeilla regularisaatiota. Valitaan äärellinen Λ, ja lasketaan ∫_(-Λ,Λ) x² dx = ⅔ Λ³.

Sitten kuljetetaan väliaikaisesti mukana lauseketta ∫_(-Λ,Λ) x² dx tai arvoa ⅔ Λ³ ilman, että asetetaan Λ → ∞.

Sopivan hetken koittaessa (ehkä) tulee vastaan tilanne (jos ei tule, niin pakotetaan tulemaan), että saadaan kerrottua tuo lauseke arvolla 1/Λ³. Näin ketuttava ∞ katoaa, koska Λ katoaa ja voidaan asettaa Λ → ∞, kun ei se enää vaikuta. Sitten unohdetaan ja rallatellaan menemään.

Edellisessä viestissäni renormalisaatio oli tämän kaltainen. Kytkentävakio (varaus) juoksee energiaskaalasta riippuvana, jonka seurauksena saadaan äärellisiä tuloksia. Kvanttiteoriassa näille puljauksille on ok uskottavia fysikaalisia perusteita, mutta käsittääkseni renormalisaation täsmällinen perustelu luonnonlakeihin nojautuen ei kai ole onnistunut. Hypotettisia perusteita kyllä riittää.

Harmillisesti yksinkertaiset menetelmät eivät monimutkaisissa tilanteissa useinkaan tuota tulosta, jonka takia renormalisaatio-menetelmiä on tosiaan lukuisia.

Käsitteenä kvanttihässäkän 're-normalisaatio' tarkoittaa, että vektori normitetaan uudelleen 1 yksikön pituiseksi. Liian pitkäksi karkaava vektori litistetään takaisin tynkäpituiseksi . En itse asiassa tiedä onko sana peräisin kvanttifysiikasta vai onko re-normalisaatiolla muukin merkitys.

[HuuHaata]

Kyllä, renormalisaatio-työkaluissa on lukuisia eri näköisiä, kokoisia ja käyttömukavuudeltaan vaihtelevia välineitä. Osasta vaikea tietää miten päin pidetään käsissä.

Näissä on myös se toinen puoli, eli tilastollinen fysiikka ja sitä kautta sitten kenttä nimeltä sovellukset. Eli siis fysiikan ymmärryksen käyttäminen siihen, että on monella alalla relevantti.

Noissa se renormalisaatioryhmän käyttö liittyy olennaisesti toisen asteen faasitransitioihin. Jossa renormalisaatioryhmien kautta haetaan ymmärrystä systeemistä. Yhtenä esimerkkinä tuosta nyt esimerkiksi se neuroverkko.

Viimeisen lopuksi pidän teoreettisen fysiikan koulutusta yhä parhaana koulutuksena tuomaan oikeaa eteenpäin menoa esimerkiksi koneoppimiseen. Toisista paras koulutus on soveltava matematiikka. Kolmantena varsinainen alan koulutus, eli data science, jonka ongelmana on, että ne uskoo että se syvemmiltään olisi sitä mitä opetetaan.