Tyhmiä kysymyksiä matematiikasta

[Stadin öljylanne]

Tähän topaasiin kysymyksiä matematiikkaan liittyen.

Aloitetaan:

Cantor äärettömyyksiä pohtiessaan ajatteli nimetä luonnollisella luvulla jokaisen reaaliluvun. Näin luonnollisten lukujen joukko oli yhtä iso kuin reaalilukujen joukko. Sitten Cantor muodosti uuden reaaliluvun ja jotenkin onnistui tulkitsemaan, että reaalilukujen joukko on suurempi kuin luonnollisten lukujen joukko. Miten tämä tulkinta tarkalleen ottaen etenee alusta loppuun?

Minulla kun ei ole mitään käsitystä joukko-opin eikä yhteenlaskun säännöistä niin ihmetelen, miksi samalla kertaa kun hän lisäsi uuden reaaliluvun listaan, hän ei vain lisännyt uutta luonnollista lukua listaan ja tulkinnut, että saman verran niitä perkele vieköön silti on? Tai mitä jos olisi jättänyt lisäämättä uutta reaalilukua listaan ja olisikin lisännyt yhden luonnollisten lukujen listaan ja tulkinnut, että reaalilukuja on aina vähemmän kuin luonnollisia lukuja?

[Wisti]

Katsopa aluksi wikistä, mitä siellä sanotaan reaali-, rationaali- ja irrationaaliluvuista.

[Stadin öljylanne]

Katsopa aluksi wikistä, mitä siellä sanotaan reaali-, rationaali- ja irrationaaliluvuista.

Kiitos, mutta ponnistan peruskoulun matematiikan arvosanalla 6, joten yleinen numerolukutaidottomuuteni estää minua yhdistämään pisteet pelkästään noiden (suomen kielisten) artikkelien perusteella (englannin kielisissä artikkeleissa niin paljon ammattisanastoa, että omin avuin hieman hankala lähteä savottaan jos niissä asia avautuisikin).

Kysymykseni palautuu siis Cantorin diagonaaliargumenttiin, enkä nyt tosiaan hahmota listaamiesi wikipedia-artikkelien avustuksellakaan, miksi Cantor oli pakotettu siirtymään päätelmässään kohtaan 10 ennen kuin oli lisännyt uuden järjestysluvun listaan.

Minun mielestäni voidaan tuossa kuvattu Cantorin ajatusleikki suorittaa myös niin päin että muodostetaan ensin luonnollisten lukujen ääretön joukko ja sitten käytetään kunkin luonnollisen luvun yksilöllisenä tunnisteena uniikkia reaalilukua. Tai muodostetaan ensin ääretön joukko reaalilukuja ja laitetaan kullekin reaaliluvulle arvoksi yksilöllinen luonnollinen luku. Jos tämän jälkeen lisätään luonnollisten lukujen joukkoon uusi luonnollinen luku n+1 ja hypätään kohtaan 10, emmekö voi näin sanoa, että luonnollisten lukujen joukko on ylinumeroituva suhteessa reaalilukujen joukkoon?

Onko niin, että informaatiossa, johon olen törmännyt, se itse todistus puuttuu miksi Cantor hyppää kohtaan 10. Eli kun minun lähteissäni on selitetty mutkat suoriksi, sattuu tällaisia tilanteita, että se näissä yksinkertaisemmissa selityksissä saadaan vain aikaan ristiriitoja ylinumeroitava määrä? Onko näkemäni ongelma edes teoriassa selitettävissä kaltaiselleni pahville jotenkin enempi sanalliseen formaattiin puettuna vai tulisiko minun vain pysyä kiltisti lestissäni? Eli onko tämä kenties yksi matemaattinen versio Grelling–Nelson paradoksista, jonka luulen hahmottavani. Tai voiko tämän ymmärtää kenties Russellin paradoksin kautta, Kurt Gödel epätäydellisyyslauseen kautta tai Alan Turingin pysähtymisongrelman kautta, jotka kaikki luulen myös hahmottavani ainakin jollain tasolla vaikka en niitä matemaattiseen muotoon osaakaan pukea? Noissa yhteyksissä kun paikkapaikoin viitataan interwebistä löytämissäni artikkeleissa Cantorin diagonaaliin.

[SHT]

Siis se ongelma tulee siinä, ettei reaalilukuja voi järjestää suuruusjärjestykseen r1, r2, r3,.., jolloin jokaista rn, n=1,2,3 vastaisivat luonnolliset luvut 1,2,3,..,n. Jos niiden asettaminen järjestykseen olisi mahdollista, voisi täydellisellä induktiolla todistaa, että jokaista reaalilukua vastaa luonnollinen luku.

[Stadin öljylanne]

Kiitos ihan mielettömästi, tuo auttoikin jo kummasti.

[Wisti]

Lyhyesti jotain. Luonnollisia lukuja on äärettämästi. Myös parillisia lukuja on äärettömästi, joten ei voi sanoa, että niitä on vähemmän.
Kirjoita jonoon kaikki luonnolliset luvut ja toiseen jonoon kaikki parilliset. Sitten yhdistät 0:n nollaan 1:n 2:een jne. Jokaista parillisen jonon lukua vastaa täsmälleen yksi luonnollinen luku.
Prkl pitää mennä. Jatkan parin tunnin päästä, jos joku ei tee sitä puolestani.

[Stalker]

Lyhyesti jotain. Luonnollisia lukuja on äärettämästi. Myös parillisia lukuja on äärettömästi, joten ei voi sanoa, että niitä on vähemmän.
Kirjoita jonoon kaikki luonnolliset luvut ja toiseen jonoon kaikki parilliset. Sitten yhdistät 0:n nollaan 1:n 2:een jne. Jokaista parillisen jonon lukua vastaa täsmälleen yksi luonnollinen luku.
Prkl pitää mennä. Jatkan parin tunnin päästä, jos joku ei tee sitä puolestani.

Tuskin kukaan tunnissa ehtii kirjoittamaan kaikki luonnolliset luvut, ei ainakaan käsin.
Voit huoletta olla pois vaikka kaksi tuntia, ei kiirettä.

[Stadin öljylanne]

Lyhyesti jotain. Luonnollisia lukuja on äärettämästi. Myös parillisia lukuja on äärettömästi, joten ei voi sanoa, että niitä on vähemmän.
Kirjoita jonoon kaikki luonnolliset luvut ja toiseen jonoon kaikki parilliset. Sitten yhdistät 0:n nollaan 1:n 2:een jne. Jokaista parillisen jonon lukua vastaa täsmälleen yksi luonnollinen luku.
Prkl pitää mennä. Jatkan parin tunnin päästä, jos joku ei tee sitä puolestani.

Kiitos paljon. SHT painottaessaan, ettei noita luonnollisia lukuja valita tuossa ihan miten sattuu vaan suuruusjärjestykseen, tarkoittaen että listassa on jo äärettömin luonnollinen luku, toi jo kivasti valoa hämärään, miksi voidaan lisätä reaaliluku ja hypätä kohtaan 10. Tai siltä asia minusta ainakin nyt vaikuttaa. Mutta jos sinulla riittää virtaa selittää asia vielä muulla tavoin, en pistä pahitteeksi. Olen nimittäin saattanut ymmärtää SHT:n viestin väärin.

[Sulervo]

Tässä on mielestäni ihan kivat kolme sivua aiheesta: https://matematiikkalehtisolmu.fi/2005/3/jouma.pdf

[Wisti]

Lyhyesti jotain. Luonnollisia lukuja on äärettämästi. Myös parillisia lukuja on äärettömästi, joten ei voi sanoa, että niitä on vähemmän.
Kirjoita jonoon kaikki luonnolliset luvut ja toiseen jonoon kaikki parilliset. Sitten yhdistät 0:n nollaan 1:n 2:een jne. Jokaista parillisen jonon lukua vastaa täsmälleen yksi luonnollinen luku.
Prkl pitää mennä. Jatkan parin tunnin päästä, jos joku ei tee sitä puolestani.

Jokaisesta luonnollisesta luvusta voidaan vetää viiva parilliseen luonnolliseen lukuun. Joukot ovat yhtä mahtavat (katso Sulervo Kalervonpojan linkki). Kummallisempi juttu on se, että samalla tavalla jokaisesta luonnollisesta luvusta voidaan vetää täsmälleen yksi viiva johonkin rationaalilukuun niin, että jokainen luonnollinen luku ja jokainen rationaaliluku saa täsmälleen yhden ” väliviivan”. Sanomme, että niin luonnollisten kuin rationaalilukujen joukko on numeroituva. Rationaaliluvut ovat siis teorian tasolla lueteltavissa. Sen sijaan reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Emme siis voi mitä tahansa reaalilukua yhdistää johonkin luonnolliseen lukuun