Ongelmaketju - ratkaise & esitä ★ Toimittajan suosikki

[PJK575]

Kehittelin rekursiivisen menetelmän ongelmaan " kukaan ei saa hattuaan" .
2 hatun jono, 2! ,ei omaa hattua 1
3 hatun jono, 3! , ei omaa hattua 3!-(c(3,1)*1+c(3,3)*1)=2, tn=2/3!=1/3
4 hatun jono, 4! , ei omaa hattua 4!-(c(4,1)*2+c(4,2)*1+c(4,4)*1)=9, tn=9/4!=3/8
5 hatun jono, 5! , ei omaa hattua 5!-(c(5,1)*9+c(5,2)*2+c(5,3)*1+c(5,5)*1=44, tn=44/5!
6 hatun jono, 6! , ei omaa hattua 6!-(c(6,1)*44+c(6,2)*9+c(6,3)*2+c(6,4)*1+c(6,6)*1=264, tn=264/6!
7 hatun jono, 7! , ei omaa hattua 7!-(c(7,1)*264+c(7,2)*44+c(7,3)*9+c(7,4)*2+c(7,5)*1+c(7,7)*1=1861, tn=1861/7!
jne..

Lasketaan rekursiivisesti, että k ei saa omaa hattuaan P(Ek). Silloin tn, että n-k saa oman hattunsa, on
c(n,n-k)*P(Ek)*k!/n!=p(Ek)/(n-k)!

Kiinnostava ongelma! Yritin ymmärtää ratkaisuasi ja päätin tarkistaa tuloksen laskemalla permutaatioista tn.

n=6 rivillä on kirjoitus virhe: 264 => 265

n=7 kaavasi antaa tuloksen 1861. Pitäisi olla 1854.

[POPE]

Kehittelin rekursiivisen menetelmän ongelmaan " kukaan ei saa hattuaan" .
2 hatun jono, 2! ,ei omaa hattua 1
3 hatun jono, 3! , ei omaa hattua 3!-(c(3,1)*1+c(3,3)*1)=2, tn=2/3!=1/3
4 hatun jono, 4! , ei omaa hattua 4!-(c(4,1)*2+c(4,2)*1+c(4,4)*1)=9, tn=9/4!=3/8
5 hatun jono, 5! , ei omaa hattua 5!-(c(5,1)*9+c(5,2)*2+c(5,3)*1+c(5,5)*1=44, tn=44/5!
6 hatun jono, 6! , ei omaa hattua 6!-(c(6,1)*44+c(6,2)*9+c(6,3)*2+c(6,4)*1+c(6,6)*1=264, tn=264/6!
7 hatun jono, 7! , ei omaa hattua 7!-(c(7,1)*264+c(7,2)*44+c(7,3)*9+c(7,4)*2+c(7,5)*1+c(7,7)*1=1861, tn=1861/7!
jne..

Lasketaan rekursiivisesti, että k ei saa omaa hattuaan P(Ek). Silloin tn, että n-k saa oman hattunsa, on
c(n,n-k)*P(Ek)*k!/n!=p(Ek)/(n-k)!

Kiinnostava ongelma! Yritin ymmärtää ratkaisuasi ja päätin tarkistaa tuloksen laskemalla permutaatioista tn.

n=6 rivillä on kirjoitus virhe: 264 => 265

n=7 kaavasi antaa tuloksen 1861. Pitäisi olla 1854.

Tarkistin. Olet oikeassa.
6 hatun jono, 6! , ei omaa hattua 6!-(c(6,1)*44+c(6,2)*9+c(6,3)*2+c(6,4)*1+c(6,6)*1)=265
7 hatun jono, 7! , ei omaa hattua 7!-(c(7,1)*265+c(7,2)*44+c(7,3)*9+c(7,4)*2+c(7,5)*1+c(7,7)*1)=1854

[PJK575]

Jäin ihmettelemään tuota "kellään ei omaa hattua" ongelmaa. Huomasin mielenkiintoisen yhteyden Pascalin kolmioon. Kun Pascalin kolmion laittaa nojaamaan vasemmalle saadaan alakolmio matriisi (siis rivin kahta viimeistä lukua ei huomioida). Rekursiivisesti tästä matriisista saadaan uusi matriisi kertomalla jokainen sarake edellisellä tuloksella (oikean puolimmaisin sarake) aloittaen sarakkeen ylimmästä alkiosta (ylin alkio siis kerrotaan 1, seuraava 2 jne. Kun uuden matriisin rivit summataan saadaan luku, joka vähennetynä k-kertomasta (k=2:n) kertoo kuinka monta "kellään ei omaa hattua" vaihtoehtoa löytyy (se oikeanpuoleisin sarake).

Matriisit menee vähän ikävän näköisiksi, mutta en osaa korjata.

2 1 (2 1)
3 1 3 (3 1)
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 (8 1)

2 1........................................................1 1
3 1 3................................................4 2
4 1 8 6......................................15 9
5 1 45 20 10............................76 44
6 1 264 135 40 15.....................455 265
7 1 1855 924 315 70 21............3186 1854
8 1 14832 7420 2464 630 112 28.....25487 14833

[POPE]

Jäin ihmettelemään tuota "kellään ei omaa hattua" ongelmaa. Huomasin mielenkiintoisen yhteyden Pascalin kolmioon. Kun Pascalin kolmion laittaa nojaamaan vasemmalle saadaan alakolmio matriisi (siis rivin kahta viimeistä lukua ei huomioida). Rekursiivisesti tästä matriisista saadaan uusi matriisi kertomalla jokainen sarake edellisellä tuloksella (oikean puolimmaisin sarake) aloittaen sarakkeen ylimmästä alkiosta (ylin alkio siis kerrotaan 1, seuraava 2 jne. Kun uuden matriisin rivit summataan saadaan luku, joka vähennetynä k-kertomasta (k=2:n) kertoo kuinka monta "kellään ei omaa hattua" vaihtoehtoa löytyy (se oikeanpuoleisin sarake).

Matriisit menee vähän ikävän näköisiksi, mutta en osaa korjata.

2 1 (2 1)
3 1 3 (3 1)
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 (8 1)

2 1........................................................1 1
3 1 3................................................4 2
4 1 8 6......................................15 9
5 1 45 20 10............................76 44
6 1 264 135 40 15.....................455 265
7 1 1855 924 315 70 21............3186 1854
8 1 14832 7420 2464 630 112 28.....25487 14833

3-1=2
8+1=9
45-1=44
264+1=265
1855-1=1854
14832+1=14833
9:9*14833-1=133496
10:10*133496+1=1334961

[Jjw]

Jäin ihmettelemään tuota "kellään ei omaa hattua" ongelmaa. Huomasin mielenkiintoisen yhteyden Pascalin kolmioon. Kun Pascalin kolmion laittaa nojaamaan vasemmalle saadaan alakolmio matriisi (siis rivin kahta viimeistä lukua ei huomioida). Rekursiivisesti tästä matriisista saadaan uusi matriisi kertomalla jokainen sarake edellisellä tuloksella (oikean puolimmaisin sarake) aloittaen sarakkeen ylimmästä alkiosta (ylin alkio siis kerrotaan 1, seuraava 2 jne. Kun uuden matriisin rivit summataan saadaan luku, joka vähennetynä k-kertomasta (k=2:n) kertoo kuinka monta "kellään ei omaa hattua" vaihtoehtoa löytyy (se oikeanpuoleisin sarake).

Matriisit menee vähän ikävän näköisiksi, mutta en osaa korjata.

2 1 (2 1)
3 1 3 (3 1)
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 (8 1)

2 1........................................................1 1
3 1 3................................................4 2
4 1 8 6......................................15 9
5 1 45 20 10............................76 44
6 1 264 135 40 15.....................455 265
7 1 1855 924 315 70 21............3186 1854
8 1 14832 7420 2464 630 112 28.....25487 14833

3-1=2
8+1=9
45-1=44
264+1=265
1855-1=1854
14832+1=14833
9:9*14833-1=133496
10:10*133496+1=1334961

n! / oikeanpuoleinen sarake näyttää lähestyvän raja-arvoa e
esim.10!/1334961 ~ 2.71828165
e ~ 2.71828182

[POPE]

Jäin ihmettelemään tuota "kellään ei omaa hattua" ongelmaa. Huomasin mielenkiintoisen yhteyden Pascalin kolmioon. Kun Pascalin kolmion laittaa nojaamaan vasemmalle saadaan alakolmio matriisi (siis rivin kahta viimeistä lukua ei huomioida). Rekursiivisesti tästä matriisista saadaan uusi matriisi kertomalla jokainen sarake edellisellä tuloksella (oikean puolimmaisin sarake) aloittaen sarakkeen ylimmästä alkiosta (ylin alkio siis kerrotaan 1, seuraava 2 jne. Kun uuden matriisin rivit summataan saadaan luku, joka vähennetynä k-kertomasta (k=2:n) kertoo kuinka monta "kellään ei omaa hattua" vaihtoehtoa löytyy (se oikeanpuoleisin sarake).

Matriisit menee vähän ikävän näköisiksi, mutta en osaa korjata.

2 1 (2 1)
3 1 3 (3 1)
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 (8 1)

2 1........................................................1 1
3 1 3................................................4 2
4 1 8 6......................................15 9
5 1 45 20 10............................76 44
6 1 264 135 40 15.....................455 265
7 1 1855 924 315 70 21............3186 1854
8 1 14832 7420 2464 630 112 28.....25487 14833

3-1=2
8+1=9
45-1=44
264+1=265
1855-1=1854
14832+1=14833
9:9*14833-1=133496
10:10*133496+1=1334961

n! / oikeanpuoleinen sarake näyttää lähestyvän raja-arvoa e
esim.10!/1334961 ~ 2.71828165
e ~ 2.71828182

tn, että kukaan kymmenestä ei saa omaa hattuaan, on 1334961/10!≈1/e

[Eusa]

Jäin ihmettelemään tuota "kellään ei omaa hattua" ongelmaa. Huomasin mielenkiintoisen yhteyden Pascalin kolmioon. Kun Pascalin kolmion laittaa nojaamaan vasemmalle saadaan alakolmio matriisi (siis rivin kahta viimeistä lukua ei huomioida). Rekursiivisesti tästä matriisista saadaan uusi matriisi kertomalla jokainen sarake edellisellä tuloksella (oikean puolimmaisin sarake) aloittaen sarakkeen ylimmästä alkiosta (ylin alkio siis kerrotaan 1, seuraava 2 jne. Kun uuden matriisin rivit summataan saadaan luku, joka vähennetynä k-kertomasta (k=2:n) kertoo kuinka monta "kellään ei omaa hattua" vaihtoehtoa löytyy (se oikeanpuoleisin sarake).

Matriisit menee vähän ikävän näköisiksi, mutta en osaa korjata.

2 1 (2 1)
3 1 3 (3 1)
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 (8 1)

2 1........................................................1 1
3 1 3................................................4 2
4 1 8 6......................................15 9
5 1 45 20 10............................76 44
6 1 264 135 40 15.....................455 265
7 1 1855 924 315 70 21............3186 1854
8 1 14832 7420 2464 630 112 28.....25487 14833

3-1=2
8+1=9
45-1=44
264+1=265
1855-1=1854
14832+1=14833
9:9*14833-1=133496
10:10*133496+1=1334961

n! / oikeanpuoleinen sarake näyttää lähestyvän raja-arvoa e
esim.10!/1334961 ~ 2.71828165
e ~ 2.71828182

tn, että kukaan kymmenestä ei saa omaa hattuaan, on 1334961/10!≈1/e

https://laurentmazare.github.io/2014/09 ... rmutations

Biljektiivisyys ilman kiintopistettä.

Kiintopisteettömien sekoitusten lukumäärä kuvataan notaatiolla !n. Lim (!n/n!) = 1/e. Mielenkiintoinen yksityiskohta on se, että !n on aina lähin kokonaisluku arvolle n!/e.

[Ykkösnolla]

Onko seuraava tuttu? Miksi täysi kierros kosineita tasavälein antaa summaksi nollan?

cos(0°)+cos(40°)+cos(80°)+cos(120°)+cos(160°)+cos(200°)+cos(240°)+cos(280°)+cos(320°) ▸ 0

Matikkanerojen (https://math.stackexchange.com/) sivuilla tätä pidettiin "triviaalina" eli itsestään selvänä, mitä se ehkä onkin, jos yhteenlaskettavia on parillinen määrä. Mutta yllä määrä on pariton, eikä se minusta ole mitenkään päivänselvää!

cos(0°) ▸ 1
cos(40°) ▸ 0.766044
cos(80°) ▸ 0.173648
cos(120°) ▸ −0.5
cos(160°) ▸ −0.939693
cos(200°) ▸ −0.939693
cos(240°) ▸ −0.5
cos(280°) ▸ 0.173648
cos(320°) ▸ 0.766044

[POPE]

Onko seuraava tuttu? Miksi täysi kierros kosineita tasavälein antaa summaksi nollan?

cos(0°)+cos(40°)+cos(80°)+cos(120°)+cos(160°)+cos(200°)+cos(240°)+cos(280°)+cos(320°) ▸ 0

Matikkanerojen (https://math.stackexchange.com/) sivuilla tätä pidettiin "triviaalina" eli itsestään selvänä, mitä se ehkä onkin, jos yhteenlaskettavia on parillinen määrä. Mutta yllä määrä on pariton, eikä se minusta ole mitenkään päivänselvää!

cos(0°) ▸ 1
cos(40°) ▸ 0.766044
cos(80°) ▸ 0.173648
cos(120°) ▸ −0.5
cos(160°) ▸ −0.939693
cos(200°) ▸ −0.939693
cos(240°) ▸ −0.5
cos(280°) ▸ 0.173648
cos(320°) ▸ 0.766044

cosx+cosy=2*cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cos40°+cos80°=2*cos60°*cos20°=cos20°
cos160°+cos200°=2*cos180°*cos20°=-2cos20°
cos280°*cos320°=2*cos300°*cos20°=cos20°
cos40°+cos80°+cos160°+cos200°+cos280°*cos320°=cos20°-2*co20°+cos20°=0

[JMe1]

Mutta yllä määrä on pariton, eikä se minusta ole mitenkään päivänselvää!

Fundeerasin tätä jonkin aikaa ja näyttäisi siltä että ratkaisun voi päätellä, ei siis tarvitse pitää triviaalina. Liittyy vektoreihin ja niiden summaan. Onko joku muu samaa mieltä ? Voi tietysti olla että järkeilyssäni on aukkoja, näitä sattuu.

[Wisti]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

[Eusa]

Entäpäs välin 0...180 astetta jaollisten kosinien summa päätekulmat mukaan laskien tai pois sulkien?

[Wisti]

Näyttäisi tuottavan nollan nytkin.

[Wisti]

Nyt summan imaginääriosa ei ole 0 , mutta reaaliosa on sitä edelleen, jolloin cosinien summa on 0.
im. osaksi WA pyöritti i*Cot(Pi/2n).

[Tauko]

Meniskö näin.
Yksikköympyrä säde r=1, origo x=0 y=0. Cos(θ) on säteen projektion arvo x-akselille kulmalla θ.
Arvo on symmetrinen, mutta vastakkaismerkkinen väleillä θ=[0⁰-90⁰] ja [90⁰-180⁰].
Ja sama tilanne 180-360 välillä.
Jos kokoympyrä on jaettu tasavälein Δθ, niin arvojen summa on nolla.