Ongelmaketju - ratkaise & esitä ★ Toimittajan suosikki

[POPE]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

Eli jotenkin näin (yritänpä pysyä asteissa):
(cos 0 + cos 40 + cos 80 + ... + cos 320 ) + i*(sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 ) =
(cos 0) + i*(sin 0) + (cos 40) + i*(sin 40) + cos 80 + i*(sin 80) + ... + cos 320 + i*(sin 320) =
e^0 + e^(i*40) + e^(i*80) + ... + e^(i*320)=
tosiaan geometrinen summa, suhdeluku on q = e^(i*40), n = 9
summaksi saadaan e^0*(1-(e^(i*40))^9)/(1-q) = 1*(1-e^(i*360))/(1-q) = 0, koska e^(i*360) = cos 360 + i*sin 360 = 1 + 0*i = 1
-> cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0 ja sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 = 0

Mutta onnistuu myös ilman kompleksilukuja ja tuota kaavaa e^(ix) = cos x + i*sin x. Kompleksilukuratkaisu on siitä hyvä, että se on puhdas lasku eikä vaadi selityksiä. Toisaalta se on "hyttysen ampumista tykillä".

Ilman kompleksilukuja
cosx+cosy=2*cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cos40°+cos80°=2*cos60°*cos20°=cos20°
cos160°+cos200°=2*cos180°*cos20°=-2cos20°
cos280°*cos320°=2*cos300°*cos20°=cos20°
cos0°+ cos120°+cos240°+cos40°+cos80°+cos160°+cos200°+cos280°*cos320°=1-1/2-1/2+cos20°-2*co20°+cos20°=0

OK, mutta toimisiko esim. tapauksessa cos 0 + cos 72 + cos 144 + cos 216 + cos 288?

cos72°+cos288°=2*cos180°'cos108°=2*(-1)*(-1/4*(√5-1))=√5/2-1/2
cos144°+cos216°=2*cos180°*cos36°=2*(-1)*(1/4*(√5+1))=-√5/2-1/2
Siispä. cos 0° + cos 72° + cos 144° + cos 216° + cos 288°=1+√5/2-1/2-√5/2-1/2=0

OK taas, mutta entä tapaus cos 0 + cos 360/7 + cos 2*360/7 + cos 3*360/7 + cos 4*360/7 + cos 5*360/7 + + cos 6*360/7, kysyn näin tylysti!

Ei onnistu, mutta jos hyväksytään jo todistettu
cos 0 °+ cos 360°/7 + cos 2*360°/7 + cos 3*360°/7 + cos 4*360°/7 + cos 5*360°/7 + + cos 6*360°/7=0
saadaan käyttämälläni menetelmällä mielenkiintoinen tulos
cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)=1/2
Tämän tuloksen suora todistus ei ilmeisesti ole ihan helppo.

[POPE]

Tapauksessa n = 9 on siis kyse summasta cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 (yhdeksän yhteenlaskettavaa).

Muistelin, että tapaus n = 18 tulee tällöin avuksi. siis cos 0 + cos 20 + cos 40 + ... + cos 320 + cos 340, se on melko selvästi nolla, koska tässä yhteenlaskettavat kumoutuvat pareittain, esimerkiksi cos 20 ja cos 160. Tätä tutkimalla tapaus n = 9 selviää, näin muistelen. Mutta miten, ja olikohan asia varmasti näin, vaatii lisämuisteluja...

Tämän voi unohtaa, ei taida onnistua. Mutta johan tässä asia on tullut todistetuksi ainakin kahdella tavalla (vektorin kierto ja kompleksilukujen summa, sekä yksityistapauksissa cos(x+y):n kaava), joten alkaa olla loppuun käsitelty juttu!

Tosin, vielä kummallisempaakin on tarjolla:

product(seq(((1-cos(40*x))^(2)+(0-sin(40*x))^(2))^(0.5),x,1,8)) ▸ 9. (TiNspire-laskin)

Tulo(Jono(Etäisyys((1,0), (cos(x),sin(x)) ),x,40°,320°,40° )) (Geogebra CAS)

Mistä siinä on kyse? Tästä puhutaan Simo Kivelän matematiikkablogissa (Teknillisen korkeakoulun matematiikan opettaja): https://simokivela.blogspot.com/2015/11 ... ukuja.html

Boldattuun liittyen
Pisteiden (1,0) ja (cosx,sinx) etäisyyden d neliö d^2=1^2+1^2-2*1*1*cosx=4*(sin(x/2)^2—>d=2sin(x/2)
2sin(40°/2)*2sin(320°/2)=4sin20°*sin160°=4(sin20°)^2

[Ykkösnolla]

Tapauksessa n = 9 on siis kyse summasta cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 (yhdeksän yhteenlaskettavaa).

Muistelin, että tapaus n = 18 tulee tällöin avuksi. siis cos 0 + cos 20 + cos 40 + ... + cos 320 + cos 340, se on melko selvästi nolla, koska tässä yhteenlaskettavat kumoutuvat pareittain, esimerkiksi cos 20 ja cos 160. Tätä tutkimalla tapaus n = 9 selviää, näin muistelen. Mutta miten, ja olikohan asia varmasti näin, vaatii lisämuisteluja...

Tämän voi unohtaa, ei taida onnistua. Mutta johan tässä asia on tullut todistetuksi ainakin kahdella tavalla (vektorin kierto ja kompleksilukujen summa, sekä yksityistapauksissa cos(x+y):n kaava), joten alkaa olla loppuun käsitelty juttu!

Tosin, vielä kummallisempaakin on tarjolla:

product(seq(((1-cos(40*x))^(2)+(0-sin(40*x))^(2))^(0.5),x,1,8)) ▸ 9. (TiNspire-laskin)

Tulo(Jono(Etäisyys((1,0), (cos(x),sin(x)) ),x,40°,320°,40° )) (Geogebra CAS)

Mistä siinä on kyse? Tästä puhutaan Simo Kivelän matematiikkablogissa (Teknillisen korkeakoulun matematiikan opettaja): https://simokivela.blogspot.com/2015/11 ... ukuja.html

Boldattuun liittyen
Pisteiden (1,0) ja (cosx,sinx) etäisyyden d neliö d^2=1^2+1^2-2*1*1*cosx=4*(sin(x/2)^2—>d=2sin(x/2)
2sin(40°/2)*2sin(320°/2)=4sin20°*sin160°=4(sin20°)^2

Tämä on mielenkiintoinen tulos, siis lasku yksinkertaistuu muotoon
Tulo(Jono(2*sin(x/2),x,40°,320°,40° )) = 9.

Auttaako se laskussa eteenpäin, on sitten toinen juttu! Tässähän on kyse kertolaskusta
2*sin(40/2) * 2*sin(80/2) * 2*sin(120/2) * 2*sin(160/2) * 2*sin(200/2) * 2*sin(240/2) * 2*sin(280/2) * 2*sin(320/2) = 9 = 8 + 1
eli yleisesti kertolaskusta
2*sin(a/2) * 2*sin(2a/2) * 2*sin(3a/2) * ... * 2*sin(na/2) = n+1, missä a=360/(n+1).
Ja nuo kerrottavat olivat tosiaan pisteestä (1,0) tasavälipisteisiin (cos x, sin x) piirrettyjen janojen pituuksia.

Siellä blogin kommenteissa joku ehdottaa induktiotodistusta, mutta se toivottomalta ajatukselta. Kun yksi kehäpiste ja yksi jana lisätään, kaikki pisteet muuttuvat, miten induktiotodistus siinä voisi auttaa... ei.

[Ykkösnolla]

... tai jopa muotoon 2^8*Tulo(Jono(sin(y),y,20°,160°,20° )), eli pelkkien tasavälisten sinien tuloksi. Sitähän jo ehkä jotenkin pystyisi miettimään, kenties... en ole erityisen toiveikas!

[POPE]

Tapauksessa n = 9 on siis kyse summasta cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 (yhdeksän yhteenlaskettavaa).

Muistelin, että tapaus n = 18 tulee tällöin avuksi. siis cos 0 + cos 20 + cos 40 + ... + cos 320 + cos 340, se on melko selvästi nolla, koska tässä yhteenlaskettavat kumoutuvat pareittain, esimerkiksi cos 20 ja cos 160. Tätä tutkimalla tapaus n = 9 selviää, näin muistelen. Mutta miten, ja olikohan asia varmasti näin, vaatii lisämuisteluja...

Tämän voi unohtaa, ei taida onnistua. Mutta johan tässä asia on tullut todistetuksi ainakin kahdella tavalla (vektorin kierto ja kompleksilukujen summa, sekä yksityistapauksissa cos(x+y):n kaava), joten alkaa olla loppuun käsitelty juttu!

Tosin, vielä kummallisempaakin on tarjolla:

product(seq(((1-cos(40*x))^(2)+(0-sin(40*x))^(2))^(0.5),x,1,8)) ▸ 9. (TiNspire-laskin)

Tulo(Jono(Etäisyys((1,0), (cos(x),sin(x)) ),x,40°,320°,40° )) (Geogebra CAS)

Mistä siinä on kyse? Tästä puhutaan Simo Kivelän matematiikkablogissa (Teknillisen korkeakoulun matematiikan opettaja): https://simokivela.blogspot.com/2015/11 ... ukuja.html

Boldattuun liittyen
Pisteiden (1,0) ja (cosx,sinx) etäisyyden d neliö d^2=1^2+1^2-2*1*1*cosx=4*(sin(x/2)^2—>d=2sin(x/2)
2sin(40°/2)*2sin(320°/2)=4sin20°*sin160°=4(sin20°)^2

Tämä on mielenkiintoinen tulos, siis lasku yksinkertaistuu muotoon
Tulo(Jono(2*sin(x/2),x,40°,320°,40° )) = 9.

Auttaako se laskussa eteenpäin, on sitten toinen juttu! Tässähän on kyse kertolaskusta
2*sin(40/2) * 2*sin(80/2) * 2*sin(120/2) * 2*sin(160/2) * 2*sin(200/2) * 2*sin(240/2) * 2*sin(280/2) * 2*sin(320/2) = 9 = 8 + 1
eli yleisesti kertolaskusta
2*sin(a/2) * 2*sin(2a/2) * 2*sin(3a/2) * ... * 2*sin(na/2) = n+1, missä a=360/(n+1).
Ja nuo kerrottavat olivat tosiaan pisteestä (1,0) tasavälipisteisiin (cos x, sin x) piirrettyjen janojen pituuksia.

Siellä blogin kommenteissa joku ehdottaa induktiotodistusta, mutta se toivottomalta ajatukselta. Kun yksi kehäpiste ja yksi jana lisätään, kaikki pisteet muuttuvat, miten induktiotodistus siinä voisi auttaa... ei.

WA laski
(k=1 to n-1) ∏2*sin(k*π/n)=n

[Ykkösnolla]

Tapauksessa n = 9 on siis kyse summasta cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 (yhdeksän yhteenlaskettavaa).

Muistelin, että tapaus n = 18 tulee tällöin avuksi. siis cos 0 + cos 20 + cos 40 + ... + cos 320 + cos 340, se on melko selvästi nolla, koska tässä yhteenlaskettavat kumoutuvat pareittain, esimerkiksi cos 20 ja cos 160. Tätä tutkimalla tapaus n = 9 selviää, näin muistelen. Mutta miten, ja olikohan asia varmasti näin, vaatii lisämuisteluja...

Tämän voi unohtaa, ei taida onnistua. Mutta johan tässä asia on tullut todistetuksi ainakin kahdella tavalla (vektorin kierto ja kompleksilukujen summa, sekä yksityistapauksissa cos(x+y):n kaava), joten alkaa olla loppuun käsitelty juttu!

Tosin, vielä kummallisempaakin on tarjolla:

product(seq(((1-cos(40*x))^(2)+(0-sin(40*x))^(2))^(0.5),x,1,8)) ▸ 9. (TiNspire-laskin)

Tulo(Jono(Etäisyys((1,0), (cos(x),sin(x)) ),x,40°,320°,40° )) (Geogebra CAS)

Mistä siinä on kyse? Tästä puhutaan Simo Kivelän matematiikkablogissa (Teknillisen korkeakoulun matematiikan opettaja): https://simokivela.blogspot.com/2015/11 ... ukuja.html

Boldattuun liittyen
Pisteiden (1,0) ja (cosx,sinx) etäisyyden d neliö d^2=1^2+1^2-2*1*1*cosx=4*(sin(x/2)^2—>d=2sin(x/2)
2sin(40°/2)*2sin(320°/2)=4sin20°*sin160°=4(sin20°)^2

Tämä on mielenkiintoinen tulos, siis lasku yksinkertaistuu muotoon
Tulo(Jono(2*sin(x/2),x,40°,320°,40° )) = 9.

Auttaako se laskussa eteenpäin, on sitten toinen juttu! Tässähän on kyse kertolaskusta
2*sin(40/2) * 2*sin(80/2) * 2*sin(120/2) * 2*sin(160/2) * 2*sin(200/2) * 2*sin(240/2) * 2*sin(280/2) * 2*sin(320/2) = 9 = 8 + 1
eli yleisesti kertolaskusta
2*sin(a/2) * 2*sin(2a/2) * 2*sin(3a/2) * ... * 2*sin(na/2) = n+1, missä a=360/(n+1).
Ja nuo kerrottavat olivat tosiaan pisteestä (1,0) tasavälipisteisiin (cos x, sin x) piirrettyjen janojen pituuksia.

Siellä blogin kommenteissa joku ehdottaa induktiotodistusta, mutta se toivottomalta ajatukselta. Kun yksi kehäpiste ja yksi jana lisätään, kaikki pisteet muuttuvat, miten induktiotodistus siinä voisi auttaa... ei.

WA laski
(k=1 to n-1) ∏2*sin(k*π/n)=n

Geogebra ja nspire laskevat myös, tosin yleistä n-muotoa en ole tarkistanut.

[POPE]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

Eli jotenkin näin (yritänpä pysyä asteissa):
(cos 0 + cos 40 + cos 80 + ... + cos 320 ) + i*(sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 ) =
(cos 0) + i*(sin 0) + (cos 40) + i*(sin 40) + cos 80 + i*(sin 80) + ... + cos 320 + i*(sin 320) =
e^0 + e^(i*40) + e^(i*80) + ... + e^(i*320)=
tosiaan geometrinen summa, suhdeluku on q = e^(i*40), n = 9
summaksi saadaan e^0*(1-(e^(i*40))^9)/(1-q) = 1*(1-e^(i*360))/(1-q) = 0, koska e^(i*360) = cos 360 + i*sin 360 = 1 + 0*i = 1
-> cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0 ja sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 = 0

Mutta onnistuu myös ilman kompleksilukuja ja tuota kaavaa e^(ix) = cos x + i*sin x. Kompleksilukuratkaisu on siitä hyvä, että se on puhdas lasku eikä vaadi selityksiä. Toisaalta se on "hyttysen ampumista tykillä".

Vielä yksi todistus, joka perustuu polynomiyhtälön juurien ominaisuuksiin.
(x-x1)(x-x2)....(x-xn)=x^n-(∑xi)*x^(n-1)+....+ao=0
yhtälön x^n-1=0 juuret ovat xi=e^(2πk/n), k=0...n-1
Juurten summan vastaluku on termin x^(n-1) kerroin ja tässä yhtälössä se on 0—>
Re(∑xi)=∑cos(2πk/n)=0 ja Im(∑xi=∑sin(2πk/n)=0

[Ykkösnolla]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

Eli jotenkin näin (yritänpä pysyä asteissa):
(cos 0 + cos 40 + cos 80 + ... + cos 320 ) + i*(sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 ) =
(cos 0) + i*(sin 0) + (cos 40) + i*(sin 40) + cos 80 + i*(sin 80) + ... + cos 320 + i*(sin 320) =
e^0 + e^(i*40) + e^(i*80) + ... + e^(i*320)=
tosiaan geometrinen summa, suhdeluku on q = e^(i*40), n = 9
summaksi saadaan e^0*(1-(e^(i*40))^9)/(1-q) = 1*(1-e^(i*360))/(1-q) = 0, koska e^(i*360) = cos 360 + i*sin 360 = 1 + 0*i = 1
-> cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0 ja sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 = 0

Mutta onnistuu myös ilman kompleksilukuja ja tuota kaavaa e^(ix) = cos x + i*sin x. Kompleksilukuratkaisu on siitä hyvä, että se on puhdas lasku eikä vaadi selityksiä. Toisaalta se on "hyttysen ampumista tykillä".

Vielä yksi todistus, joka perustuu polynomiyhtälön juurien ominaisuuksiin.
(x-x1)(x-x2)....(x-xn)=x^n-(∑xi)*x^(n-1)+....+ao=0
yhtälön x^n-1=0 juuret ovat xi=e^(2πk/n), k=0...n-1
Juurten summan vastaluku on termin x^(n-1) kerroin ja tässä yhtälössä se on 0—>
Re(∑xi)=∑cos(2πk/n)=0 ja Im(∑xi=∑sin(2πk/n)=0

Tuosta e^(2πk/n):sta on vain i unohtunut, eipä muuta. Mutta polynomeista tuli mieleen yhtälö x^2 + i*x + 2 = 0. Sillä on yksi ilmeinen juuri, mutta onko muita ja mitä ne ovat?

[Ykkösnolla]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

Eli jotenkin näin (yritänpä pysyä asteissa):
(cos 0 + cos 40 + cos 80 + ... + cos 320 ) + i*(sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 ) =
(cos 0) + i*(sin 0) + (cos 40) + i*(sin 40) + cos 80 + i*(sin 80) + ... + cos 320 + i*(sin 320) =
e^0 + e^(i*40) + e^(i*80) + ... + e^(i*320)=
tosiaan geometrinen summa, suhdeluku on q = e^(i*40), n = 9
summaksi saadaan e^0*(1-(e^(i*40))^9)/(1-q) = 1*(1-e^(i*360))/(1-q) = 0, koska e^(i*360) = cos 360 + i*sin 360 = 1 + 0*i = 1
-> cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0 ja sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 = 0

Mutta onnistuu myös ilman kompleksilukuja ja tuota kaavaa e^(ix) = cos x + i*sin x. Kompleksilukuratkaisu on siitä hyvä, että se on puhdas lasku eikä vaadi selityksiä. Toisaalta se on "hyttysen ampumista tykillä".

Vielä yksi todistus, joka perustuu polynomiyhtälön juurien ominaisuuksiin.
(x-x1)(x-x2)....(x-xn)=x^n-(∑xi)*x^(n-1)+....+ao=0
yhtälön x^n-1=0 juuret ovat xi=e^(2πk/n), k=0...n-1
Juurten summan vastaluku on termin x^(n-1) kerroin ja tässä yhtälössä se on 0—>
Re(∑xi)=∑cos(2πk/n)=0 ja Im(∑xi=∑sin(2πk/n)=0

Tarkemmin ajatellen mukava todistustapa sinisummalle tämä polynomi-idea. Ja polynomien vakiotermi (nyt -1) on juurten tulo (tai sen vastaluku), muistaakseni. Olisiko siitä apua sinien kertolaskuun, tuskinpa.
- Tuo edellisen vastaukseni yhtälö onkin aika tylsä, jotenkin ajattelin, että juuria olisi ollut enemmän, niitä on vain 2.

[POPE]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

Eli jotenkin näin (yritänpä pysyä asteissa):
(cos 0 + cos 40 + cos 80 + ... + cos 320 ) + i*(sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 ) =
(cos 0) + i*(sin 0) + (cos 40) + i*(sin 40) + cos 80 + i*(sin 80) + ... + cos 320 + i*(sin 320) =
e^0 + e^(i*40) + e^(i*80) + ... + e^(i*320)=
tosiaan geometrinen summa, suhdeluku on q = e^(i*40), n = 9
summaksi saadaan e^0*(1-(e^(i*40))^9)/(1-q) = 1*(1-e^(i*360))/(1-q) = 0, koska e^(i*360) = cos 360 + i*sin 360 = 1 + 0*i = 1
-> cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0 ja sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 = 0

Mutta onnistuu myös ilman kompleksilukuja ja tuota kaavaa e^(ix) = cos x + i*sin x. Kompleksilukuratkaisu on siitä hyvä, että se on puhdas lasku eikä vaadi selityksiä. Toisaalta se on "hyttysen ampumista tykillä".

Vielä yksi todistus, joka perustuu polynomiyhtälön juurien ominaisuuksiin.
(x-x1)(x-x2)....(x-xn)=x^n-(∑xi)*x^(n-1)+....+ao=0
yhtälön x^n-1=0 juuret ovat xi=e^(2πk/n), k=0...n-1
Juurten summan vastaluku on termin x^(n-1) kerroin ja tässä yhtälössä se on 0—>
Re(∑xi)=∑cos(2πk/n)=0 ja Im(∑xi=∑sin(2πk/n)=0

Tuosta e^(2πk/n):sta on vain i unohtunut, eipä muuta. Mutta polynomeista tuli mieleen yhtälö x^2 + i*x + 2 = 0. Sillä on yksi ilmeinen juuri, mutta onko muita ja mitä ne ovat?

i ja -2i

[POPE]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

Eli jotenkin näin (yritänpä pysyä asteissa):
(cos 0 + cos 40 + cos 80 + ... + cos 320 ) + i*(sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 ) =
(cos 0) + i*(sin 0) + (cos 40) + i*(sin 40) + cos 80 + i*(sin 80) + ... + cos 320 + i*(sin 320) =
e^0 + e^(i*40) + e^(i*80) + ... + e^(i*320)=
tosiaan geometrinen summa, suhdeluku on q = e^(i*40), n = 9
summaksi saadaan e^0*(1-(e^(i*40))^9)/(1-q) = 1*(1-e^(i*360))/(1-q) = 0, koska e^(i*360) = cos 360 + i*sin 360 = 1 + 0*i = 1
-> cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0 ja sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 = 0

Mutta onnistuu myös ilman kompleksilukuja ja tuota kaavaa e^(ix) = cos x + i*sin x. Kompleksilukuratkaisu on siitä hyvä, että se on puhdas lasku eikä vaadi selityksiä. Toisaalta se on "hyttysen ampumista tykillä".

Vielä yksi todistus, joka perustuu polynomiyhtälön juurien ominaisuuksiin.
(x-x1)(x-x2)....(x-xn)=x^n-(∑xi)*x^(n-1)+....+ao=0
yhtälön x^n-1=0 juuret ovat xi=e^(2πk/n), k=0...n-1
Juurten summan vastaluku on termin x^(n-1) kerroin ja tässä yhtälössä se on 0—>
Re(∑xi)=∑cos(2πk/n)=0 ja Im(∑xi=∑sin(2πk/n)=0

Tarkemmin ajatellen mukava todistustapa sinisummalle tämä polynomi-idea. Ja polynomien vakiotermi (nyt -1) on juurten tulo (tai sen vastaluku), muistaakseni. Olisiko siitä apua sinien kertolaskuun, tuskinpa.
- Tuo edellisen vastaukseni yhtälö onkin aika tylsä, jotenkin ajattelin, että juuria olisi ollut enemmän, niitä on vain 2.

Linkissä esitetty todistus lähtee yhtälöstä
z^n-1=∏(z-zk), k=0...n-1, missä zo=1 ja abs(z-zk) on pisteiden z ja zk välinen etäisyys.
Etäisyyksien tulo ∏abs(1-zk)=∏(2sin(kπ/n), k=1 to n-1. Jälkimmäisestä muodosta ei ole hyötyä tuloksen (n) johtamisessa.

[POPE]

Hieman kevyempi trigonometrinen pähkinä.
tan9°-tan27°-tan63°+tan81°=?

[Ykkösnolla]

Hieman kevyempi trigonometrinen pähkinä.
tan9°-tan27°-tan63°+tan81°=?

Hankalalta vaikuttaa. tan 9 ja tan 81, samoin kuin tan 27 ja tan 63 ovat käänteislukuja. Ja 9, 27, 63 ja 81 ovat kaikki 9:n monikertoja, jos lisäisi mukaan 45:n, niin jopa tasavälein. Mutta eipä apua noista tiedoista.
(Laskin antaa toki likiarvoista vastauksen, muistaakseni 4 ja hulluja tan rx -kaavoja löytyy netistä, mutta tähän lienee joku kohtuullisempi ratkaisu. tan 18 kai löytyy taulukoista ja sitten sen avulla tan 9 jne mutta tuntuu työläältä)

[Wisti]

En päässyt tempuillani eteenpäin. Näköjään tangentit kannattaa muuttaa muotoon sin/cos ja käyttää hyväksi tietoa tan(90-x) =1/tanx.
Tuolta ratkaisu löytyy
https://www.doubtnut.com/qna/642529812

[POPE]

En päässyt tempuillani eteenpäin. Näköjään tangentit kannattaa muuttaa muotoon sin/cos ja käyttää hyväksi tietoa tan(90-x) =1/tanx.
Tuolta ratkaisu löytyy
https://www.doubtnut.com/qna/642529812

Linkin ratkaisussa hyödynnettiin MAOL:in taulukon tuloksia
tanx+ tany =sin(x+y)/(cosx*cosy) , cos(90°-x)=sinx ja sin 2x=2sinx*cosx ja ja sin 18° ja sin 54°.