Ongelmaketju - ratkaise & esitä ★ Toimittajan suosikki

[Ykkösnolla]

Löysin vielä tällaisen:
https://math.stackexchange.com/question ... ect=1&lq=1
... ja siinä math.stackexchange-älypää toteaa vastauksen alussa: "It directly follows from the law of cosines, ..."

Lisäksi voi olla, että tuo kaava ab-xy saattaa löytyä tehtävänä jostain vanhasta trigonometrian oppikirjasta (esim. Väisälän trigonometria) tai vanhoista ylioppilastehtävistä. Ja vanhalla tarkoitan vuosia 1860-1950!

Olihan selvää, että tämä tulos oli tunnettu, mutta minulle se oli uusi ja yllättävä laskelmieni tulos.
Uusi kiva ongelma
Täydennä
8,12,20,_,44

Puuttuko siitä vain yksi luku (vai ehkä useampi), vai jääkö sekin itse keksittäväksi?
- Yllätyin minäkin tuosta "ab-xy":stä, varsinkin, kun katselin millaisia sotkuja muut puolittajanpituus-kaavat olivat. Tällaisten juttujen takiahan näitä kannattaa harrastaa!

[Ykkösnolla]

Annan ääneni luvulle 28. Ehkä en kerro vielä miksi, jos joku muukin haluaa vielä miettiä.

[POPE]

Annan ääneni luvulle 28. Ehkä en kerro vielä miksi, jos joku muukin haluaa vielä miettiä.

Selvästikin olet ratkaissut ongelman

[POPE]

No, ei ihan löytynyt, mutta tällainen paljon helpompi oli Väisälässä tehtävänä:
"179. Olkoot b ja c kaksi kolmion sivua ja [math]\alpha niiden välinen kulma. Todistettava, että tämän kulman puolittajasta kolmion sisään jäävän osan pituus [math]\frac{2bc\cos{\frac{1}{2} \alpha}}{b+c}."
Väisälän kirjaa käytettiin lukioissa ehkä joskus vuosina 1950-1975.

Ja tässä pari yo-tehtävää vuodelta 1926, ensimmäinen on lyhyttä matematiikkaa, toinen pitkää. Silloin geometriaa arvostettiin!
"Todista, että tasakylkisen kolmion kannalla olevasta pisteestä kolmion kylkiä vastaan piirrettyjen etäisyyksien summa on yhtä suuri kuin kannan toisesta päätepisteestä piirretty korkeusjana."
"Todista, että jokaisessa kolmiossa mediaanien (keskijanojen) neliöiden summa on [math]\frac{3}{4} sivujen neliöiden summasta."

Jos geometria alkaa kyllästyttää, niin tässä vielä yksi arvoitus: MHK-239, MOA-379, TKH-439 ja SVN-489 näyttävät autojen rekisterinumeroilta. Yksi puuttuu, viimeinen. Mikä se on? Tämän keksin äsken ulkona kävellessäni...

Ensimmäinen: Lasketaan kolmion pinta-ala kahdella tavalla ja merkitään ne yhtä suuriksi ja huomioidaan että sinx=2sin(x/2)*cos(x/2)
Toinen. Piste jakaa kannan osiiin a ja b ja kantakulma on ß . Pisteen etäisyydet kyljistä on a*cosß ja b*cosß ja kylkeä vastaan piirretty korkeusjana on (a+b)*cosß.
Kolmas vaatii hieman pohdiskelua.
PS. Pitäisikö olla SVN-479?

[POPE]

No, ei ihan löytynyt, mutta tällainen paljon helpompi oli Väisälässä tehtävänä:
"179. Olkoot b ja c kaksi kolmion sivua ja [math]\alpha niiden välinen kulma. Todistettava, että tämän kulman puolittajasta kolmion sisään jäävän osan pituus [math]\frac{2bc\cos{\frac{1}{2} \alpha}}{b+c}."
Väisälän kirjaa käytettiin lukioissa ehkä joskus vuosina 1950-1975.

Ja tässä pari yo-tehtävää vuodelta 1926, ensimmäinen on lyhyttä matematiikkaa, toinen pitkää. Silloin geometriaa arvostettiin!
"Todista, että tasakylkisen kolmion kannalla olevasta pisteestä kolmion kylkiä vastaan piirrettyjen etäisyyksien summa on yhtä suuri kuin kannan toisesta päätepisteestä piirretty korkeusjana."
"Todista, että jokaisessa kolmiossa mediaanien (keskijanojen) neliöiden summa on [math]\frac{3}{4} sivujen neliöiden summasta."

Jos geometria alkaa kyllästyttää, niin tässä vielä yksi arvoitus: MHK-239, MOA-379, TKH-439 ja SVN-489 näyttävät autojen rekisterinumeroilta. Yksi puuttuu, viimeinen. Mikä se on? Tämän keksin äsken ulkona kävellessäni...

Kolmas.
Sovelletaan kosinilausetta kahdesti ja eliminoidaan cos, niin saadaan mediaanien neliöille lausekkeet
2*ma^2=b^2+c^2-a^2/2
2*mb^2=a^2+c^2-b^2/2
2*mc^2=a^2+b^2-c^2/2
Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen ja jaetaan kahdella —>väite

[Ykkösnolla]

PS. Pitäisikö olla SVN-479?

Ei, kyllä se on SVN-489, tarkistin. Oikeastaan voisin helpottaa tehtävää, lopun 9 tarkoittaa vain 1900-lukua. Ja myös keskimmäinen kirjain vaikeuttaa kysymystä: MK-23, MA-37, TH-43 ja SN-48

[Ykkösnolla]

PS. Pitäisikö olla SVN-479?

Ei, kyllä se on SVN-489, tarkistin. Oikeastaan voisin helpottaa tehtävää, lopun 9 tarkoittaa vain 1900-lukua. Ja myös keskimmäinen kirjain vaikeuttaa kysymystä: MK-23, MA-37, TH-43 ja SN-48

Siis tämä juolahti mieleeni, kun näin JFK-alkuisen rekisterinumeron (Usan presidentti John F Kennedy, JFK oli tuttu kutsumanimi hänelle). Matematiikkaan tämä liittyy ehkä vain sanan "suora" kautta.

[POPE]

PS. Pitäisikö olla SVN-479?

Ei, kyllä se on SVN-489, tarkistin. Oikeastaan voisin helpottaa tehtävää, lopun 9 tarkoittaa vain 1900-lukua. Ja myös keskimmäinen kirjain vaikeuttaa kysymystä: MK-23, MA-37, TH-43 ja SN-48

Siis tämä juolahti mieleeni, kun näin JFK-alkuisen rekisterinumeron (Usan presidentti John F Kennedy, JFK oli tuttu kutsumanimi hänelle). Matematiikkaan tämä liittyy ehkä vain sanan "suora" kautta.

Meni helpoksi.
Mauno Koivisto 1923
Martti Ahtisaari 1937
Tarja Halonen 1943
Sauli Niinistö 1948

[Ykkösnolla]

PS. Pitäisikö olla SVN-479?

Ei, kyllä se on SVN-489, tarkistin. Oikeastaan voisin helpottaa tehtävää, lopun 9 tarkoittaa vain 1900-lukua. Ja myös keskimmäinen kirjain vaikeuttaa kysymystä: MK-23, MA-37, TH-43 ja SN-48

Siis tämä juolahti mieleeni, kun näin JFK-alkuisen rekisterinumeron (Usan presidentti John F Kennedy, JFK oli tuttu kutsumanimi hänelle). Matematiikkaan tämä liittyy ehkä vain sanan "suora" kautta.

Meni helpoksi.
Mauno Koivisto 1923
Martti Ahtisaari 1937
Tarja Halonen 1943
Sauli Niinistö 1948

Jep, annoin liikaa vihjeitä.

[Lakrankki]

Tilavuuksista saadaan ( 1/3*π*r^2 supistaen) yhtälö
(h-2)^3/h^2=h-8^3/h^2—>h^2-2h-84=0—>h=1+√84≈10,2 m

Hienoa, taisi olla helppo? Sain saman tuloksen mutta en voi väittää että asia olisi kovin selkeä edelleenkään.

Haluaisitko kertoa tarkemmin miten tämä pitää ajatella, muotoilla, että alkaisi täälläkin näyttämään helpolta?

[POPE]

Tilavuuksista saadaan ( 1/3*π*r^2 supistaen) yhtälö
(h-2)^3/h^2=h-8^3/h^2—>h^2-2h-84=0—>h=1+√84≈10,2 m

Hienoa, taisi olla helppo? Sain saman tuloksen mutta en voi väittää että asia olisi kovin selkeä edelleenkään.

Haluaisitko kertoa tarkemmin miten tämä pitää ajatella, muotoilla, että alkaisi täälläkin näyttämään helpolta?

Lasketaan veden tilavuus.
Oikeanpuoleisessa tapauksessa se on vesikartion tilavuus.
Vasemmanpuoleisessa tapauksessa se saadaan vähentämällä koko kartion tilavuudesta ilmakartion tilavuus.
tai
Lasketaan ilman tilavuus.
Vasemmanpuoleisessa tapauksessa se on ilmakartion tilavuus.
Oikeanpuoleisessa tapauksessa se saadaan vähentämällä koko kartion tilavuudesta vesikartion tilavuus
Merkitään tilavuudet yhtä suuriksi.

[Ykkösnolla]

Tilavuuksista saadaan ( 1/3*π*r^2 supistaen) yhtälö
(h-2)^3/h^2=h-8^3/h^2—>h^2-2h-84=0—>h=1+√84≈10,2 m

Hienoa, taisi olla helppo? Sain saman tuloksen mutta en voi väittää että asia olisi kovin selkeä edelleenkään.

Haluaisitko kertoa tarkemmin miten tämä pitää ajatella, muotoilla, että alkaisi täälläkin näyttämään helpolta?

Lasketaan veden tilavuus.
Oikeanpuoleisessa tapauksessa se on vesikartion tilavuus.
Vasemmanpuoleisessa tapauksessa se saadaan vähentämällä koko kartion tilavuudesta ilmakartion tilavuus.
tai
Lasketaan ilman tilavuus.
Vasemmanpuoleisessa tapauksessa se on ilmakartion tilavuus.
Oikeanpuoleisessa tapauksessa se saadaan vähentämällä koko kartion tilavuudesta vesikartion tilavuus
Merkitään tilavuudet yhtä suuriksi.

Mikä tuo n on? Itse tarvitsin aika paljon välivaiheita, kirjoitin ensin yhtälön [math]\frac{1}{3}Ah-\frac{1}{3}A_2 \cdot 8=\frac{1}{3}A_3 (h-2), missä A2 on ilmakartion (vasen kuva) ja A3 vesikartion (oikeanpuoleinen kuva) pohjan ala. Sijoitin siihen sitten yhdenmuotoisuuden nojalla [math]\frac{A_2}{A}=\left ( \frac{8}{h} \right )^2 ja [math]\frac{A_3}{A}=\left ( \frac{h-2}{h} \right )^2 . Näin päädyin samaan yhtälöön kuin POPE.
(Yhtälön voi ensin jakaa A:lla, niin sijoittaminen helpottuu.)

[POPE]

Linkissä

on laskettu ympyrän sisään piirretyn nelikulmion sivun pituus.
Voiko x=3 olla oikein?

[Ykkösnolla]

Linkissä

on laskettu ympyrän sisään piirretyn nelikulmion sivun pituus.
Voiko x=3 olla oikein?

Piirämällä saan x:ksi noin 2,6539, joten ei. Itse ratkaisua en tutkinut.

[Ykkösnolla]

Itse asiassa koko lähtötilanne taitaa olla mahdoton, sillä nelikulmion ylhäältä tuleva lävistäjä ei jaa toista lävistäjää osiin 2 ja 3. Tai jos jakaa, niin silloin jokin muu annettu mitta on väärä.
(Piirrosohje: Piirrä kolmio, sivut 5, 4 ja 6 ja ympyrä sen kärkien kautta. Piirrä kuvan mukainen 3 mittainen jänne, ja sitten kuvan mukainen x-jana. Nelikulmio "4-6-3-x" on valmis.)