Collatzin pähkinän todistus

[Eusa]

Collatzin ketjun voi pukea muotoon:

A 3^n - 1 = (A' 2^n' - 1) 2^m, jossa m ja n' maksimoidaan,

Seuraava A = A' ja n = n'. Rekursio kiertää läpi Collatzin ketjun kriittiset solmut.

Esim. aloitetaan A=61, n=1 ja saadaan A-ketju:
61, 23, 13, 11, 223, 21, 71, 5, 57, 289, 217, 163, 123, 3, 3, 3, ...

Siinäpä tutkittavaa. Kriittiset solmut näyttävät tyypillisesti alkuluvuilta tai niiden potensseilta tahi kolmella jaollisilta, joista kolme pois jaettuna usein näyttäisi, että päästäisiin takaisin silmukkaan. Mutta siinä se tekijä-sloti onkin - ikään kuin puukotetaan 3^n-revisionnilla hypäten toisen slotin ketjuun...

[Eusa]

Collatzin ketjun voi pukea muotoon:

A 3^n - 1 = (A' 2^n' - 1) 2^m, jossa m ja n' maksimoidaan,

Seuraava A = A' ja n = n'. Rekursio kiertää läpi Collatzin ketjun kriittiset solmut.

Esim. aloitetaan A=61, n=1 ja saadaan A-ketju:
61, 23, 13, 11, 223, 21, 71, 5, 57, 289, 217, 163, 123, 3, 3, 3, ...

Siinäpä tutkittavaa. Kriittiset solmut näyttävät tyypillisesti alkuluvuilta tai niiden potensseilta tahi kolmella jaollisilta, joista kolme pois jaettuna usein näyttäisi, että päästäisiin takaisin silmukkaan. Mutta siinä se tekijä-sloti onkin - ikään kuin puukotetaan 3^n-revisionnilla hypäten toisen slotin ketjuun...

Tuossa formaatissa menossa oleva luku on (A, n), joten erilaisissa ketjuissa voi periaatteessa esiintyä sama A, kunhan sen pari n on eri.

[Eusa]

Tässä nyt totinen yrite "slotin" modulaarisesta haaraantumisesta ja sen myötä ei-triviaalien silmukoiden mahdottomuudesta. Idea matemaattisesta kielenkäytöstä on kirkastunut, mutta loppusuora on vielä matkaa jäljellä.

Collatz–tyyppisen lohkotun A‑ketjun syklisten ratkaisujen
mahdottomuus (luonnos)

Versio 0.92 – kesä 2025

1. Johdanto.
   Tarkastelemme Collatz‑prosessin ”lohko­tettua” muotoa, jossa
   parittomien solmujen välinen askel kirjoitetaan
   
   [math]
   A_k 3^{\,n_k}-1 \;=\;
   \bigl(A_{k+1}\,2^{\,n_{k+1}}-1\bigr)\,2^{\,m_k},
   \qquad
   A_k\in2\mathbb Z+1,\;n_k,n_{k+1}\ge1,\;m_k\ge1.
   
   
   Määritämme kertymät
   
   [math]
   N_L=\sum_{i=0}^{L-1} n_i,\qquad
   M_L=\sum_{i=0}^{L-1} m_i,\qquad
   C_L=\sum_{j=0}^{L-1} 3^{\,N_L-N_{j+1}}\,
   2^{\,M_{j+1}-M_j}.
   
   
   Näillä
   
   [math]
   A_L=\frac{3^{N_L}\,A_0 + C_L}{2^{M_L}},
   \qquad
   0\le C_L<2^{M_L}. \tag{★}
   
2. Tavoite (teoreema).
   Todistaa, ettei yhtälö [math]A_L=A_0 voi toteutua
   millään [math]A_0>1 eikä [math]L\ge1;
   eli lohkotussa ketjussa ei ole ei‑triviaaleja syklejä.
3. Lemma 1 (ei‑kokonaislukuisuus).
   [math]\bigl(\tfrac32\bigr)^{p/q}\notin\mathbb Z
   kaikilla [math]p,q\in\mathbb Z_{>0}.
   
   Tod. Jos
   [math](\tfrac32)^{p/q}=k\in\mathbb Z, seuraa
   [math]k^{q}2^{p}=3^{p}, mikä rikkoo 2:n ja 3:n
   alkuluku­jaottomuuden. ∎
4. Lemma 2 (eksponenttiero).
   Jos [math]A_L=A_0, niin
   [math]\bigl(\tfrac32\bigr)^{N_L/M_L}\neq1;
   siis [math]2^{M_L}-3^{N_L}\neq0.
5. Lemma 3 (mod 3‑pariteetti).
   [math]A_{k+1}\equiv(-1)^{m_k}\pmod3.
   
   Merkitään
   [math]
   c_1=\#\{k:A_k\equiv1\!\pmod3\},\quad
   c_2=\#\{k:A_k\equiv2\!\pmod3\},
   
   niin
   
   [math]
   c_1=\#\{k:m_k\text{ parillinen}\},\quad
   c_2=\#\{k:m_k\text{ pariton}\}. \tag{†}
   
6. Lemma 4 (korjaustermin jäännös).
   [math]C_L\equiv(-1)^{m_{L-1}}\not\equiv0\pmod3.
   
   Tod. Kaavassa (★) vain yhdeltä termikokonaisuudelta puuttuu tekijä 3; muut ovat [math]\equiv0\pmod3. ∎
7. Lemma 5 (mod 3‑ristiriita).
   Jos [math]3\mid A_0, niin
   
   [math]
   (2^{M_L}-3^{N_L})A_0=C_L \tag{E}
   
   
   on mahdoton, koska vasen puoli on [math]\equiv0\pmod3,
   mutta Lemma 4 antaa [math]C_L\not\equiv0\pmod3.
   Jos [math]A_0\equiv1 tai [math]2\pmod3,
   yhtälö [math](-1)^{M_L}A_0\equiv C_L\pmod3
   yhdessä (†):n kanssa johtaa samaan ristiriitaan.
8. Lemma 6 (Baker /Wüstholz – aukko ★).
   On vakiot [math]c_0>0,\;\kappa>0, joilla
   
   [math]
   \bigl|2^{M_L}-3^{N_L}\bigr|
   >\frac{c_0}{\max\{M_L,N_L\}^{\kappa}}. \tag{B}
   
   
   ★ Vakioiden eksplisiittinen arvio on vielä täydennettävä.
9. Todistus.
   
   1. [li]Olettaen ei‑triviaali silmukka:
      Lemma 2 + 5 ⇒ [math]\bigl|2^{M_L}-3^{N_L}\bigr|\ge\frac13.[/li]
      
      [li]Jos [math]\max(M_L,N_L) on suuri, (B) ja edellinen
      ehto ovat ristiriidassa.[/li]
      
      [li]Jos [math]\max(M_L,N_L)\le20, yhtälö (E) ja (†)
      rajautuvat äärelliseen hakutilaan
      (tarkistettavissa koneellisesti – Liite A).[/li]
   Ristiriita molemmissa tapauksissa ⇒
   ei‑triviaaleja syklejä ei ole. ∎
10. Jatkotyö.
    
    - Baker‑vakioiden tarkka numeerinen asettelu (aukko ★).
    - Numeeriset simulaatiot [math]M_L,N_L\le20.
    - Mahdollinen 2/3‑adinen Lyapunov‑funktio lemman 6 tilalle.
    
    P.S. Heh, huomasin, että jokainen silmukan jaksohan voi olla se "viimeinen", joten ehto asettuu kaikille silmukan M-jaksoille. Nyt todistaminen on virtaviivaista ilman Bakereita sun muita... Öitä.

[Rere]

Hienoa, Eusa, hienoa! Vaurastuit juuri miljoonalla taalalla. Vaikka konjuktuuri ei olekaan yksi varsinaisista miljoonan taalan ongelmista niin muuan japanilainen firma on luvannut miljoonan sen ratkaisijalle. Ihan mukavat taskurahat sinulla tiedossa.

"A Japanese company called Bakuage Co., Ltd. has offered a prize of 120 million Japanese yen (approximately $1 million USD) for a correct solution to the Collatz conjecture. This prize is specifically for the first person to provide a valid proof of the conjecture and meet certain conditions, such as publishing the proof in a reputable mathematics journal and waiting for a two-year review period."

https://www.newswire.ca/news-releases/b ... 18235.html

[Rere]

Paljon on rahaa jaossa osaaville matemaatikoille:

https://en.wikipedia.org/wiki/Millennium_Prize_Problems

Yhden noista Perelman on ratkaissut mutta hänellä ei ilmeisesti ollut pikkurahan eikä maineen puutetta kun milli ei kelvannut eikä muuten ole kelvanneet muutkaan palkinnot. Jopas nyt jotain, vaikka AnarkistiA on kertonut, että ahneita ovat juutalaiset.

https://en.wikipedia.org/wiki/Grigori_Perelman

[Eusa]

Tässä nyt totinen yrite "slotin" modulaarisesta haaraantumisesta ja sen myötä ei-triviaalien silmukoiden mahdottomuudesta. Idea matemaattisesta kielenkäytöstä on kirkastunut, mutta loppusuora on vielä matkaa jäljellä.
...
P.S. Heh, huomasin, että jokainen silmukan jaksohan voi olla se "viimeinen", joten ehto asettuu kaikille silmukan M-jaksoille. Nyt todistaminen on virtaviivaista ilman Bakereita sun muita... Öitä.

Kasasin aamutuimaan hätäisen artikkeliluonnoksen. Pitää checkkaillen mutustella... Kaikki kritiikki tervetullutta.

Höh. Pdf:ää ei voi liittää ja jpg pikselöityy (sigh).

[Eusa]

https://tiede.info/viewtopic.php?p=2907#p2907

Naapuripalstalla toimii pdf-liitteet. Lisäsin jo aiemmin laatimani divergenssihallinnan todistusosuuden, joten alkaisi olla preprint-kunnossa.

[Phobos]

Onnea matkaan...



Tämä kyllä lumosi minut.

[Phobos]

Tuon saman videon laitoin jo Eusalle aikoja sitten. Saattoi olla tuolla sisarpalstalla josta pyysin minut blokattavan pois. Kuulemma mielenterveyspotilaat eivät ole tervetulleita. En tiedä mikä tämän palstan suhtautuminen on hulluihin. No, aina voi antaa kenkää jos siltä tuntuu.

Katselen mielelläni noita matematiikkavideoita ja niiden ongelmia. 3x + 1 vaikuttaa ensinäkemältä triviaalilta mutta ongelma on mielenkiintoinen ja syvällinen.

[JMe1]

3x + 1 vaikuttaa ensinäkemältä triviaalilta mutta ongelma on mielenkiintoinen ja syvällinen.

Minäkin tutkin tätä ongelmaa muutama vuosi sitten. Päädyin siihen että binäärinen lähestyminen tekee ongelmasta yksinkertaisemman. On nimittäin niin että operaatiot ovat sellaiset että otetaan aloitusnumero, muutetaan se bittijonoksi, loppunollat pois, sen jälkeen toiseen niistä lisätään loppuun ykkösbitti ja luvut summataan.

Simulaatio osoitti että luku alkaa lyhentymään jos se sisältää suunnilleen saman määrän 0 ja 1 bittejä. Luvun kasvaessa syntyy stabiloiva tekijä, eniten merkitsevään päähän alkaa syntyä uusia 0 bittejä jotka alkavat valua kohti vähiten merkitsevää päätä ja samalla eri bittien lukumäärät alkavat tasoittua.

Todella pitkä ketju syntyy heti jos sattuu pelkkiä ykkösiä sisältävä bittijono. Carry bitin päässä syntyvät nollat kuitenkin tasoittavat tilanteen ennen pitkää ja alkaa bittijonon lyheneminen.

Simulaatio kertoi että kyseessä on satunnaisilmiö, joka riippuu annetusta aloitusluvusta, kuitenkin niin että yksittäinen polku on aina deterministinen. Se vakuutti minut siitä että aina päädytään ykköseen.

Silti, on todella outoa että kun Collatz puu piirretään kymmenjärjestelmässä, kullekin positiiviselle kokonaisluvulle on siellä yksilöity paikkansa.

[Phobos]

3x + 1 vaikuttaa ensinäkemältä triviaalilta mutta ongelma on mielenkiintoinen ja syvällinen.

Minäkin tutkin tätä ongelmaa muutama vuosi sitten. Päädyin siihen että binäärinen lähestyminen tekee ongelmasta yksinkertaisemman. On nimittäin niin että operaatiot ovat sellaiset että otetaan aloitusnumero, muutetaan se bittijonoksi, loppunollat pois, sen jälkeen toiseen niistä lisätään loppuun ykkösbitti ja luvut summataan.

Simulaatio osoitti että luku alkaa lyhentymään jos se sisältää suunnilleen saman määrän 0 ja 1 bittejä. Luvun kasvaessa syntyy stabiloiva tekijä, eniten merkitsevään päähän alkaa syntyä uusia 0 bittejä jotka alkavat valua kohti vähiten merkitsevää päätä ja samalla eri bittien lukumäärät alkavat tasoittua.

Todella pitkä ketju syntyy heti jos sattuu pelkkiä ykkösiä sisältävä bittijono. Carry bitin päässä syntyvät nollat kuitenkin tasoittavat tilanteen ennen pitkää ja alkaa bittijonon lyheneminen.

Simulaatio kertoi että kyseessä on satunnaisilmiö, joka riippuu annetusta aloitusluvusta, kuitenkin niin että yksittäinen polku on aina deterministinen. Se vakuutti minut siitä että aina päädytään ykköseen.

Silti, on todella outoa että kun Collatz puu piirretään kymmenjärjestelmässä, kullekin positiiviselle kokonaisluvulle on siellä yksilöity paikkansa.

Videossa on ilmeisesti tuo sinun kuvailemasi bittijonosysteemi. Myöskin minkälaisia graafeja ja tilastoja 3x + 1 tuottaa. Osaltaan kun katsoo niin tietyissä tilanteissa jotkin kuvat voisivat olla QR-koodeja. Jos ajattelet vaikka elokuvaa "Ensimmäinen Yhteys" jossa piirustukset avaruusalukseen olivat piin loputtomissa desimaaleissa kätkettynä. Tämä meni hieman huumoriksi mutta joskus saa vähän hullutella .

[Eusa]

Edellinen todistus harhautui tunkkaisiin jo tunnettuihin työkaluihin ja jätti siksi aukkomahdollisuuksia.

Löysin nyt aidosti uuden laajennuksen lohkokiihdytetylle Collatz-ketjulle. Tässä sen mukainen slot-rakennetta hyödyntävä todistussisältö tuoreeltaan. "Kasvun torjunta" edellyttää ainakin tarkennuksia...

Uusi “peilimodulaarinen” näkökulma 3x + 1‑ongelmaan

Lyhyt sisältö

• Lohko‑dekompositio, jossa jokainen nouseva lohko päättyy jäämään −1 mod 3 ja jokainen laskeva lohko +1 mod 3.
• Peilimodulaarisuus ⇒ nousevat lohkot tuottavat aina uuden primitiivisen jakajan luvusta [math]3^{n_k}-1, jota laskulohkot eivät voi poistaa.
• Ei‑triviaalia sykliä ei siis voi muodostua.
• Kahden lohkon Lyapunov‑arvio osoittaa, ettei arvo voi paeta rajatta.
• Kaikki perustelut ovat finitistisiä; tietokonekoodia ei tarvita.

1  Lohkojen määritys

Parittomalle termille [math]A_{k-1} ensin
[math]3A_{k-1}+1 = 2^{m_k}\,B_k,\qquad B_k\in 2\mathbb Z+1.

Lisäaskel (vain jos [math]m_k on parillinen):
Kirjoitetaan [math]r_k=\nu_3(B_k+1)\ge1 ja jaetaan pois koko 3-potenssi [math]3^{\,r_k}:
[math]\displaystyle B_k'=\frac{B_k+1}{3^{\,r_k}}-1\equiv+1\pmod3.

Seuraava pariton arvo saadaan
[math]\displaystyle
A_k=\frac{B_k'}{2^{\,n_k}-1},
\qquad
n_k=\nu_2(B_k'+1)-1.


• Jos [math]m_k on pariton, pidämme [math]r_k=0
(ei ylimääräistä 3-jakoa).
• Näin nousevat lohkot päättyvät aina [math]-1\pmod3, laskevat
[math]+1\pmod3.

2  Peilimodulaarinen laki

• Nousu: [math]A_k\equiv-1\pmod3
• Lasku: [math]A_k\equiv+1\pmod3

Koska modulaarisuus on 3-selkärangan suhteen jatkuvasti puolittain -1 ja +1 sekä mahdollisessa silmukassa nousujen ja laskujen summan tulisi olla yhtä suuri, joka lohkossa nouseva uusi alkutekijä on ristiriita.

3  Primitiiviset jakajat

Zsigmondyn lause ⇒ jokaiselle [math]n_k\ge3 on alkuluku

[math]p_k\mid 3^{\,n_k}-1,\quad p_k\nmid 3^{\,j}-1\;(j<n_k).

Laskulohkot poistavat vain 2‑potenssin + yhden kolmosen ⇒ mikään [math]p_k ei häviä → primasumma kasvaa → sykli mahdoton.

4  Kasvun torjunta

Kahden peräkkäisen lohkon kerroin

[math]\Lambda_2=\dfrac{3^{n_{k-1}+n_k}}{2^{m_{k-1}+m_k}}\le 1.125.

Lyapunov‑funktio [math]F(n)=\log_2n laskee keskimäärin ⇒ arvo ei voi karata.

5  Johtopäätös

Ei sykliä + ei divergenssiä = kaikki ketjut päätyvät arvoon 1.

Lisälukemista:
Terras (1976), Lagarias (2010).

Kommentit ja kriittiset huomiot tervetulleita – julkaisen täyden LaTeX‑paperin piakkoin...

[Eusa]

Äh, tietysti tuli outo typo - korjataan:

[math]\displaystyle
A_k=\frac{B_k'}{2^{\,n_k}-1},
\qquad
n_k=\nu_2(B_k'+1)-1.

[math]
A_k=\frac{B_k'+1}{2^{\,n_k}},
\qquad
n_k=\nu_2(B_k'), r_k=\nu_3(B_k'+1).


Koko lohko esitettynä:

[math]
A_k
=\frac{\displaystyle\frac{A_{k-1}-1}{2^{m_k}}+1}{3^{\,r_k}\,2^{\,n_k}}.


Tuo [math]2^{\,n_k} -termi ei ole enää varsinaista laskujaksoa, vaan analysoi kuinka suuren potenssin 3 saa seuraavaan nousuun. Tosiaan[math] {\,r_k} on nollasta poikkeava vain parillisten [math]m_k -jakojen yhteydessä niin, että todetaan peilimodulaarisuus.

[Eusa]

http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.30259.54567

Toivottavasti paperi on riittävän seikkaperäinen ja johdonmukainen. Kritiikki toivottavaa.

[Eusa]