Jarpin likiarvokaava

[JarppiOne]

Tämmösen värkkäilin joutessani viitisen vuotta sitten:

https://dimensiolehti.fi/ympyran-sateen ... rusteella/

Eihän tuo nyt mikään huippusuoritus ole mutta tulipahan tehtyä

Julkaisin jo aikoinaan Tiede-lehden foorumilla. Moni varmaan muistaakin.

[Lakrankki]

Muistan kyllä tämän, elettiin Koronakauden alkua Suomessa. Laitoin myös Tiede-foorumille jonkin oman version asiasta. Lopulta joku sai väännettyä sen sarjakehitelmän joka oli kauhean tarkka jo viidellä tms. termillä.

[Lakrankki]

Se joku oli spanish inquisitor tai sp.inc tai joku semmoinen nimimerkki ja naputtelin jonnekin latex-editoriin sen hänen kehitelmän, se oli tämännäköinen

[math]R \approx \frac{kaari}{\sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{1-janne}{kaari}}
\left (2 + \frac{3}{10}\left (\frac{1-janne}{kaari}\right ) +
\frac{321}{2800}\left (\frac{1-janne}{kaari}\right )^{2} +
\frac{3197}{56000}\left (\frac{1-janne}{kaari}\right )^{3} +
\frac{445617}{13798400}\left (\frac{1-janne}{kaari}\right )^{4} +
\frac{1766784699}{89689600000}\left (\frac{1-janne}{kaari}\right )^{5}\right )}

[JarppiOne]

Se joku oli spanish inquisitor tai sp.inc tai joku semmoinen nimimerkki ja naputtelin jonnekin latex-editoriin sen hänen kehitelmän, se oli tämännäköinen

[math]R \approx \frac{kaari}{\sqrt{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{1-janne}{kaari}}
\left (2 + \frac{3}{10}\left (\frac{1-janne}{kaari}\right ) +
\frac{321}{2800}\left (\frac{1-janne}{kaari}\right )^{2} +
\frac{3197}{56000}\left (\frac{1-janne}{kaari}\right )^{3} +
\frac{445617}{13798400}\left (\frac{1-janne}{kaari}\right )^{4} +
\frac{1766784699}{89689600000}\left (\frac{1-janne}{kaari}\right )^{5}\right )}

Niinpäs olikin. Nyt muistan. Taisi vielä olla jokin kolmaskin menetelmä jonka joku keksi.

Koska en ole matemaatikko oli minusta uskomatonta että approksimoidun kolmion korkeus saatiin lähestymään todellista kolmion korkeutta pelkästään lisäämällä korjausluku lausekkeen k/2 jakajan potenssiksi.

Yrittelin myöhemmin tehdä vielä tarkempaa likiarvokaavaa mutta homma on uskomattoman haastava.

[Lakrankki]

Laitoin ainakin yhden oman likiarvokaavan joka oli jotakin R = pii * kaari / (123.456789 * jänne/kaari + ...) joku tuollainen mutta en löydä sitä enää. Se ei ollut kovin kummoinen.

Tässä tehtävässäsi oli sellainen ilmiö, että likiarvokaava alkoi antamaan huonompia likiarvoja kun jänteet ja kaarenpituudet suureni. En muista ehdotinko foorumilla, että tehtävää pitäisi rajata jotenkin 0 < R =< 1 tms.

[JarppiOne]

Laitoin ainakin yhden oman likiarvokaavan joka oli jotakin R = pii * kaari / (123.456789 * jänne/kaari + ...) joku tuollainen mutta en löydä sitä enää. Se ei ollut kovin kummoinen.

Tässä tehtävässäsi oli sellainen ilmiö, että likiarvokaava alkoi antamaan huonompia likiarvoja kun jänteet ja kaarenpituudet suureni. En muista ehdotinko foorumilla, että tehtävää pitäisi rajata jotenkin 0 < R =< 1 tms.

En muista minäkään. Siinä on ainakin semmoinen fiitseri että tulokset romahtavat "molemmissa päissä" ympyrää. Siis kun keskuskulma läheni 0 tai 360 astetta.

Edit:
Mutta vasta kun jänteen pituus on todella lähellä nollaa.

[Cargo]

Ensinnäkin havaitaan, että säteellä r, jänteellä k ja kaaren pituudella s on seuraava suhde:



Sädettä ei voi ratkaista suljetussa muodossa, mutta iteratiivinen sarjaratkaisu on mahdollinen. Koska ongelma on hyvin epälineaarinen, niin yksinkertainen korjauskertoimia sisältävä ratkaisu voi päteä vain rajatulla alueella. Yhtä kaikki, täsmällinen sarjaratkaisu on



Mitä suurempi kaaren pituudesta ja säteestä (epälineaarisesti) riippuva keskuskulma on niin sitä enemmän termejä tulee laskea tarkan approksimaation saavuttamiseksi. Mutta jos keskuskulma on hyvin pieni, niin jo sarjan ensimmäinen termi antaa riittävän approksimaation:

[Cargo]

Tuossa on mun versio, mutta päivitettynä vuoteen 2025. Halusin omatekemän peruskaavan enkä sarjakehitelmää, vaikka tämä ei varmaankaan ole äärimmäisen tarkka.

[math]
r \approx \frac{1024157 \left(\text{Acos}\left(\frac{k}{b}\right) \left(5 \text{Acos}\left(\frac{k}{b}\right)
\left(2101 \text{Acos}\left(\frac{k}{b}\right)-2493\right)-74273\right)-6748\right)}{46688102261}+\frac{2848973
\left(\text{Asin}\left(\frac{k}{b}\right) \left(\text{Asin}\left(\frac{k}{b}\right) \left(1472
\text{Asin}\left(\frac{k}{b}\right)-8059\right)-46934\right)+840\right)}{34319912702}+\frac{130887
\left(\text{Atan}\left(\frac{k}{b}\right) \left(\text{Atan}\left(\frac{k}{b}\right) \left(16426
\text{Atan}\left(\frac{k}{b}\right)+53163\right)-18206\right)+17536\right)}{8816283769}+\frac{391882 \left(\frac{k
\left(-46904 b^2-1091 b k+2385 k^2\right)}{b^3}-34168\right)}{11363868867}+\frac{522986029}{55205549}

Miten mösjöö Lakrankki on kaavaansa päätynyt? Onko A ympyrän ala, onko kaavan mukainen säde aina positiivinen luku, ja miksi mukana on vakio 522986029/55205549 ?

[Lakrankki]

Ei kun juu, tuossa on vika. Korjaan tässä jonakin päivänä asian.

[Lakrankki]

Nyt pitäisi olla vähän siistimpi ja jossakin määrin ehkä tarkempikin ja pienemmät kertoimet. 21/146 arccos(k/b)^3 kohdassa pitää ottaa ensin arccos(k/b), sitten korottaa kolmanteen ja sitten kertoa 21/146:lla. En enää muista miten noita sulkuja piti merkitä. Tämä on Wolframista // TeXForm:illa käännetty Latexisksi.

k = jänne, b = kaari

[math]
r \approx \frac{b}{\frac{21}{146} \arccos \left(\frac{k}{b}\right)^3-\frac{2}{151} \arccos \left(\frac{k}{b}\right)^2+\frac{4529} {1307} \arccos \left(\frac{k}{b}\right)}

[Lakrankki]

Tarkempi kuin oma edellinen ..

[math]r \approx \frac{\text{kaari} \left(9916 \cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{\text{janne}}{\text{kaari}}}\right)+15679 \cosh ^{-1}\left(\sqrt{\frac{\text{janne}}{\text{kaari}}}\right)^2+20231\right)}{3 \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{\text{janne}}{\text{kaari}}}\right) \left(16247 \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{\text{janne}}{\text{kaari}}}\right)+26371 \cosh^{-1}\left(\sqrt{\frac{\text{janne}}{\text{kaari}}}\right)^2+33034\right)}

.. ja kirjoittelin edelliseen viestiin laskujärjestyksestä, niin se taitaa olla väärin mutta itse kaava on ok