Collatzin pähkinän todistus

[Eusa]

Nyt se ilmestyi Stackexchangeen

Mikäli on intressi huolehtia, että pysyy näkyvissä, nyt voi vaikuttaa:
https://math.stackexchange.com/question ... 46_5095760

[Eusa]

Artikkeli on nyt otettu vertaisarviointiin - ensimmäinen tarkastusraportti olisi luvissa 2 kk sisään.

Muokkasin kappaleeksi 6 lukijaa auttavan järjellisyystsekkauksen.

Uusi preprint: https://www.researchgate.net/publicatio ... x_1_Puzzle

Jätin aikaisemman omaksi muistiinpanokokoelmakseen. Hauska yksityiskohta on, etten keksinyt parempaakaan nimitystä lukuavaruutta täyttävälle lokeroinnille, joten se on edelleen slot, tai specifisti kongruenssi-slot.

[Cargo]

Artikkeli on nyt otettu vertaisarviointiin - ensimmäinen tarkastusraportti olisi luvissa 2 kk sisään.

Muokkasin kappaleeksi 6 lukijaa auttavan järjellisyystsekkauksen.

Uusi preprint: https://www.researchgate.net/publicatio ... x_1_Puzzle

Jätin aikaisemman omaksi muistiinpanokokoelmakseen. Hauska yksityiskohta on, etten keksinyt parempaakaan nimitystä lukuavaruutta täyttävälle lokeroinnille, joten se on edelleen slot, tai specifisti kongruenssi-slot.

Tavoitteena on siis osoittaa, että jokaista Collatzin jonoa vastaa ominaisuus joka on ristiriidassa epätriviaalin silmukan olemassaolon kanssa? Ei ole aivan helppoa rakentaa sellaista (lineaari)algebrallista mallia, joka lopulta luo vastineen deterministiselle Collatzin jonolle, eli helposti tulee vedettyä jokin mutka suoraksi ja tuo "Slot saturation" saattanee olla eräs sellainen kohta, joka ei luo tarvittavaa vastaavuutta deterministiselle lukujonolle. Tuttu analogia: jokainen lukua 2 suurempi alkuluku on pariton, muttei jokainen pariton luku ole alkuluku.

[Eusa]

Artikkeli on nyt otettu vertaisarviointiin - ensimmäinen tarkastusraportti olisi luvissa 2 kk sisään.

Muokkasin kappaleeksi 6 lukijaa auttavan järjellisyystsekkauksen.

Uusi preprint: https://www.researchgate.net/publicatio ... x_1_Puzzle

Jätin aikaisemman omaksi muistiinpanokokoelmakseen. Hauska yksityiskohta on, etten keksinyt parempaakaan nimitystä lukuavaruutta täyttävälle lokeroinnille, joten se on edelleen slot, tai specifisti kongruenssi-slot.

Tavoitteena on siis osoittaa, että jokaista Collatzin jonoa vastaa ominaisuus joka on ristiriidassa epätriviaalin silmukan olemassaolon kanssa? Ei ole aivan helppoa rakentaa sellaista (lineaari)algebrallista mallia, joka lopulta luo vastineen deterministiselle Collatzin jonolle, eli helposti tulee vedettyä jokin mutka suoraksi ja tuo "Slot saturation" saattanee olla eräs sellainen kohta, joka ei luo tarvittavaa vastaavuutta deterministiselle lukujonolle. Tuttu analogia: jokainen lukua 2 suurempi alkuluku on pariton, muttei jokainen pariton luku ole alkuluku.

Surjektiivisuus seuraa oikeastaan aika suoraan silmukoiden kiellosta, siitä, että mistä tahansa luvusta voi aloittaa ja väheneväksi todistetusta ketjun jäsenten suuruuden kehittymisestä.

Eräs mielikuva, joka välillä syntyi, oli sellainen missä riittävän suurilla luvuilla syntyy uusi luku-universumi, jossa on vain silmukoita ja niiden haaroja silmukoihin. Mielikuva on tietysti absurdi, mutta kertoo siitä kuinka vahvasti koko jonorakenne toimii lukuavaruutta täyttäen; vaihtoehto on mieletön.

Silmukoiden todistaminen mahdottomiksi CRT-ratkeamattomuudella modulaarisäilyvänä kovariantisti lohkoittain/naapuruksittain on todistuksen avainasia. Oletetun epätriviaalin silmukan pituus 𝑘 ja parituspoistojen eksponentit 𝑎_1, … , 𝑎_𝑘 määräävät täsmällisen (2,3)‑paikallisen kongruenssijärjestelmän. Näytän, että tämä järjestelmä on ristiriitainen (CRT‑mielessä) kaikille ei‑triviaalille eksponenttiprofiileille.

Teknisesti hyödynnän “slot”-rakennetta: jokainen aliaskel x --> (3x + 1) / 2^1 ja lohkoyläreunan R kohdalla / 2^(1+𝑎_𝑖) pakottaa x:lle jakojäännösluokan sekä modulo 2^(∑𝑎_𝑗) eli 2^[1+1+...+1+𝑎_𝑖+1+...] että modulo 3^𝑘 ja koko silmukka pakottaa yhden ja saman alkuarvon toteuttamaan kaikki nämä ehdot yhtä aikaa. Silmukkaidentiteetin kautta nämä ehdot pelkistyvät äärelliseksi kongruenssijärjestelmäksi, jolle ei ole ratkaisua - tämä on se “Slot saturation” CRT‑ristiriitana; eli kongruenssisaturaatio, ei lukuavaruustäytteisyys.

[Cargo]

Surjektiivisuus seuraa oikeastaan aika suoraan silmukoiden kiellosta, siitä, että mistä tahansa luvusta voi aloittaa ja väheneväksi todistetusta ketjun jäsenten suuruuden kehittymisestä.

Eräs mielikuva, joka välillä syntyi, oli sellainen missä riittävän suurilla luvuilla syntyy uusi luku-universumi, jossa on vain silmukoita ja niiden haaroja silmukoihin. Mielikuva on tietysti absurdi, mutta kertoo siitä kuinka vahvasti koko jonorakenne toimii lukuavaruutta täyttäen; vaihtoehto on mieletön.

Silmukoiden todistaminen mahdottomiksi CRT-ratkeamattomuudella modulaarisäilyvänä kovariantisti lohkoittain/naapuruksittain on todistuksen avainasia. Oletetun epätriviaalin silmukan pituus 𝑘 ja parituspoistojen eksponentit 𝑎_1, … , 𝑎_𝑘 määräävät täsmällisen (2,3)‑paikallisen kongruenssijärjestelmän. Näytän, että tämä järjestelmä on ristiriitainen (CRT‑mielessä) kaikille ei‑triviaalille eksponenttiprofiileille.

Teknisesti hyödynnän “slot”-rakennetta: jokainen aliaskel x --> (3x + 1) / 2^1 ja lohkoyläreunan R kohdalla / 2^(1+𝑎_𝑖) pakottaa x:lle jakojäännösluokan sekä modulo 2^(∑𝑎_𝑗) eli 2^[1+1+...+1+𝑎_𝑖+1+...] että modulo 3^𝑘 ja koko silmukka pakottaa yhden ja saman alkuarvon toteuttamaan kaikki nämä ehdot yhtä aikaa. Silmukkaidentiteetin kautta nämä ehdot pelkistyvät äärelliseksi kongruenssijärjestelmäksi, jolle ei ole ratkaisua - tämä on se “Slot saturation” CRT‑ristiriitana; eli kongruenssisaturaatio, ei lukuavaruustäytteisyys.

En ole kuin silmäillyt artikkelia, mutta voisin olettaa, että vertaisarvioinnissa takerrutaan ainakin seuraaviin seikkoihin, joihin Eusalla saattaa ehkä jo olla hyvät vastaukset valmiina.

Todistuksessa siis pyritään aluksi osoittamaan, että yksinkertaistetussa modulaariaritmetiikan maailmassa (modulo alkuluku q≠3) Collatzin jonon takaperin kelaaminen tuottaa jokaisen mahdollisen erotusvektorin, joka täyttää hypoteettisen silmukan kaikki lineaariset ehdot. Tämä siis osoittaisi, että että nämä modulaariset yhtälöt omaavat täyden hyperpuolitason ratkaisuja ja että taaksepäin haarautuminen kattaa ne kaikki, mikä on sitten tämä keskeinen “slot saturation”. Mutta vaikka tämä haluttu ominaisuus pätisi modulaariaritmetiikan maailmassa, niin on valtava harppaus olettaa, että sama ominaisuus pätisi myös todelliselle Collatzin jonolle kaikkien mahdollisten deterministisesti määräytyvien kokonaislukujen maailmassa; ei ole lainkaan selvää, että mikään näistä modulaarisista lukujonoista voi laajentua todelliseksi kokonaislukujonoksi, joka muodostaa silmukan 3x+1 -säännön mukaan.

Toisekseen todistus pyrkii muodostamaan ristiriidan ylimäärätyn kongruenssijärjestelmän “slot saturation” CRT‑ristiriitana. Mutta miten tuota “slotti saturaatiota” voidaan soveltaa, jos tarkastelun alla on vain yksi eteenpäin deterministinen Collatzin jono, jolla on yksi tietty erotusvektori? Alkuluvuista q ja q' muodostetut modulaariset osat eivät siis ole toisistaan riippumattomia ja siten todistuksessa todistetaan jotakin muuta kuin on tarkoitus. Jos todistusessa todella on tämä fataali virheoletus, niin tulisi löytää jokin uusi keskinäisriippuvuus, joka hypoteettisen silmukan tapauksessa ajaa modulaariset osat törmäyskurssille.

Vaikka 3x+1 -säännön osia voi tarkastella modulaariaritmetiikalla, ne edustavat yhteensopimattomia matemaattisia maailmoja, joita ei voi suoraan yhdistää: multiplikatiivisen (kerro kolmella), affiinisen (plus yksi) ja 2-adisen (jaa kahdella). Vaikka modulaariaritmetiikka voi analysoida näitä osia erikseen, niiden yhdistäminen yhtenäiseksi malliksi on hyvin ongelmallista. Artikkelin lähestymistapa, joka käyttää Kiinalaista jakojäännöslausetta (CRT) näiden maailmojen pakottamiseen yhteen lineaariseen malliin, lienee siis perustavanlaatuisesti virheellinen. Käytännössä Eusan malli luo matemaattisen "varjomaailman", mutta se ei todista, että sen ratkaisut vastaisivat yhtäkään todellista 3x+1 -säännön mukaan deterministisesti etenevää kokonaislukujonoa.

Summa summarum: Silta abstraktin mallin ja kokonaislukujen todellisuuden välillä puuttuu. Mutta toivotaan, että tuleva tarkastusraportti olisi mahdollisimman rakentava ja tekisi selväksi onko Eusan lähetysmistapa mahdollinen vaiko ei. Joka tapauksessa täytyy nostaa hattua, kun joku tosissaan tarttuu näinkin heraklesmaiseen haasteeseen.

[Eusa]

Surjektiivisuus seuraa oikeastaan aika suoraan silmukoiden kiellosta, siitä, että mistä tahansa luvusta voi aloittaa ja väheneväksi todistetusta ketjun jäsenten suuruuden kehittymisestä.

Eräs mielikuva, joka välillä syntyi, oli sellainen missä riittävän suurilla luvuilla syntyy uusi luku-universumi, jossa on vain silmukoita ja niiden haaroja silmukoihin. Mielikuva on tietysti absurdi, mutta kertoo siitä kuinka vahvasti koko jonorakenne toimii lukuavaruutta täyttäen; vaihtoehto on mieletön.

Silmukoiden todistaminen mahdottomiksi CRT-ratkeamattomuudella modulaarisäilyvänä kovariantisti lohkoittain/naapuruksittain on todistuksen avainasia. Oletetun epätriviaalin silmukan pituus 𝑘 ja parituspoistojen eksponentit 𝑎_1, … , 𝑎_𝑘 määräävät täsmällisen (2,3)‑paikallisen kongruenssijärjestelmän. Näytän, että tämä järjestelmä on ristiriitainen (CRT‑mielessä) kaikille ei‑triviaalille eksponenttiprofiileille.

Teknisesti hyödynnän “slot”-rakennetta: jokainen aliaskel x --> (3x + 1) / 2^1 ja lohkoyläreunan R kohdalla / 2^(1+𝑎_𝑖) pakottaa x:lle jakojäännösluokan sekä modulo 2^(∑𝑎_𝑗) eli 2^[1+1+...+1+𝑎_𝑖+1+...] että modulo 3^𝑘 ja koko silmukka pakottaa yhden ja saman alkuarvon toteuttamaan kaikki nämä ehdot yhtä aikaa. Silmukkaidentiteetin kautta nämä ehdot pelkistyvät äärelliseksi kongruenssijärjestelmäksi, jolle ei ole ratkaisua - tämä on se “Slot saturation” CRT‑ristiriitana; eli kongruenssisaturaatio, ei lukuavaruustäytteisyys.

En ole kuin silmäillyt artikkelia, mutta voisin olettaa, että vertaisarvioinnissa takerrutaan ainakin seuraaviin seikkoihin, joihin Eusalla saattaa ehkä jo olla hyvät vastaukset valmiina.

Todistuksessa siis pyritään aluksi osoittamaan, että yksinkertaistetussa modulaariaritmetiikan maailmassa (modulo alkuluku q≠3) Collatzin jonon takaperin kelaaminen tuottaa jokaisen mahdollisen erotusvektorin, joka täyttää hypoteettisen silmukan kaikki lineaariset ehdot. Tämä siis osoittaisi, että että nämä modulaariset yhtälöt omaavat täyden hyperpuolitason ratkaisuja ja että taaksepäin haarautuminen kattaa ne kaikki, mikä on sitten tämä keskeinen “slot saturation”. Mutta vaikka tämä haluttu ominaisuus pätisi modulaariaritmetiikan maailmassa, niin on valtava harppaus olettaa, että sama ominaisuus pätisi myös todelliselle Collatzin jonolle kaikkien mahdollisten deterministisesti määräytyvien kokonaislukujen maailmassa; ei ole lainkaan selvää, että mikään näistä modulaarisista lukujonoista voi laajentua todelliseksi kokonaislukujonoksi, joka muodostaa silmukan 3x+1 -säännön mukaan.

Toisekseen todistus pyrkii muodostamaan ristiriidan ylimäärätyn kongruenssijärjestelmän “slot saturation” CRT‑ristiriitana. Mutta miten tuota “slotti saturaatiota” voidaan soveltaa, jos tarkastelun alla on vain yksi eteenpäin deterministinen Collatzin jono, jolla on yksi tietty erotusvektori? Alkuluvuista q ja q' muodostetut modulaariset osat eivät siis ole toisistaan riippumattomia ja siten todistuksessa todistetaan jotakin muuta kuin on tarkoitus. Jos todistusessa todella on tämä fataali virheoletus, niin tulisi löytää jokin uusi keskinäisriippuvuus, joka hypoteettisen silmukan tapauksessa ajaa modulaariset osat törmäyskurssille.

Vaikka 3x+1 -säännön osia voi tarkastella modulaariaritmetiikalla, ne edustavat yhteensopimattomia matemaattisia maailmoja, joita ei voi suoraan yhdistää: multiplikatiivisen (kerro kolmella), affiinisen (plus yksi) ja 2-adisen (jaa kahdella). Vaikka modulaariaritmetiikka voi analysoida näitä osia erikseen, niiden yhdistäminen yhtenäiseksi malliksi on hyvin ongelmallista. Artikkelin lähestymistapa, joka käyttää Kiinalaista jakojäännöslausetta (CRT) näiden maailmojen pakottamiseen yhteen lineaariseen malliin, lienee siis perustavanlaatuisesti virheellinen. Käytännössä Eusan malli luo matemaattisen "varjomaailman", mutta se ei todista, että sen ratkaisut vastaisivat yhtäkään todellista 3x+1 -säännön mukaan deterministisesti etenevää kokonaislukujonoa.

Summa summarum: Silta abstraktin mallin ja kokonaislukujen todellisuuden välillä puuttuu. Mutta toivotaan, että tuleva tarkastusraportti olisi mahdollisimman rakentava ja tekisi selväksi onko Eusan lähetysmistapa mahdollinen vaiko ei. Joka tapauksessa täytyy nostaa hattua, kun joku tosissaan tarttuu näinkin heraklesmaiseen haasteeseen.

Kiitos, että vilkaisit. Ydinkohdat jäävät nopsasti silmäillessä helposti piiloon, joten täsmennän lyhyesti, mihin paperissa nojataan.

Slot-“saturaatio” ei yritä nostaa mod-ratkaisuja kokonaisluvuiksi, vaan se on paikallinen takahaara-kontrolloitavuus mod [math]q: pitämällä lohkon 2-adisen profiilin [math]m_i kiinteänä voidaan valita parittomat kertoimet [math]H_i niin, että kaikki slot-hypertason pisteet modulo [math]q ovat saavutettavissa äärellisillä takaperin-askelilla (Lemma 3.4–3.6; Proposition 3.7). Tätä käytetään vain varmistamaan, ettei mikään jäännösluokka “pakene” toista ehtoa - ei väittämään, että modulo-ratkaisusta seuraisi kokonaislukusaturaatio. Lisäksi mod‑3‑selkärangan peilimodulaarinen kytkinrytkytys [math]1\leftrightarrow 2\pmod{3} yhdessä parittoman kertoimen [math]H_i\ kuljetuslain kanssa muodostaa lohkokohtaisen “paikallisen lukituksen”, joka slot‑saturaation ja CRT‑kovarianssin ansiosta tasapainottaa lukuavaruuden täyttymistä (ei synnytä per‑prime‑vinoumaa eikä mikään jäännösluokka pääse “karkaamaan”).

“Yksi deterministinen jono” vs. kaksi modulia [math]q, q' -vuorovaikutus jyllää. Oletetun silmukan omassa indeksöinnissä syntyy yksi ja sama erotusvektori [math]D, jonka on toteutettava samanaikaisesti sekä slot-rivi modulo [math]q' että paikallinen offset-rivi modulo [math]q. CRT:tä käytetään vain yhdistämään nämä kaksi samaa [math]D:n jäännösinvarianttia eri renkaissa. Rakenteessa offset-rivi (ei-“takertuva” [math]q) ja slot-rivi ([math]q'\neq 3) ovat riippumattomia kahden koordinaatin ikkunassa, jolloin yhteinen ratkaisu on vain [math]D_{j-1}\equiv 0,\quad D_j\equiv 0; tästä seuraa koko silmukkaehto [math]D=0, ja silmukan loop-identiteetin kanssa se pakottaisi tekijän [math]2^{M+N}-3^N “3-puhtaaksi”, mikä on mahdotonta paitsi triviaalitapauksessa (Lemma 4.10–4.12, Prop. 4.13, Thm. 4.14; ks. myös Lemma 4.7). Tässä ei oleteta mitään “riippumattomuudesta” väärässä mielessä, vaan käytetään kahta eri modulissa olevaa lineaarista rajoitetta samalle [math]D:lle.

“Yhteensopimattomat maailmat?” Yhden lohkon affiinikaavan laki on täsmällinen kokonaislukutason identiteetti [math]C'=\frac{3^{n}}{2^{m+n}}\,C+\frac{2^{m}-1}{2^{m}} (Lemma 2.3), ja erotuskerroksen summa -sääntö [math]\sum \kappa_i D_i=0 johdetaan siitä mekaanisesti (Lemma 2.7). Kun työskennellään modulo parittomilla alkuluvuilla [math]q\neq 3, sekä 2 että 3 ovat yksiköitä, joten jakaminen niiden potensseilla on täysin laillista; offset-kuljetus on vastaavasti eksakti kongruenssi (Lemma 4.1). Eli mitään “maailmojen liimaamista” ei tehdä: koko analyysi tapahtuu renkaissa, joissa käytetyt operaatiot ovat yksiköillä kertomista/jakamista ja lineaarisia kongruensseja.

Jos haluat katsoa kohdat suoraan: Lemma 2.3 ja 2.7 (affiinikaava ja erotussumma), Lemma 3.4–3.6 + Prop. 3.7 (slot-saturaatio takahaara-kontrolloitavuutena), Cor. 3.8 (CRT-tuote), Lemma 4.1 (offset-kuljetus), Lemma 4.10–4.12, Prop. 4.13 ja Thm. 4.14 (offset–slot-ristiriita).

[Cargo]

Kiitos, että vilkaisit. Ydinkohdat jäävät nopsasti silmäillessä helposti piiloon, joten täsmennän lyhyesti, mihin paperissa nojataan.

Kiitos tarkennuksista slottisaturaatioon ja deterministisyyteen liittyen. Pätevä vertaisarvioija osannee kertoa, kuinka hyvin esitetty malli toimii siltana modulaaristen rakenteiden ja kokonaislukujen deterministisen iteroitumisen välillä. Vaarana kun aina on, että malli ratkaisee ongelman varjomaailmassa muttei todellisessa 3x+1-maailmassa.

[Eusa]

Samanlainen lukuavaruuslogiikka toimii myös (4x±1), x/3 -ketjulle vastaavine rakenteineen.

Peilimodulaarinen selkäranka (3,4)-suunnatulle Collatz-variantille:
https://www.researchgate.net/publicatio ... tz_variant

Herkkyystarkastelin todistelut (osio 7) ja niiden pitäisi olla riittävät, mutta kriittinen palaute olisi ilahduttavaa ja tietysti sitten korjataan...

[Eusa]

Yleistys tarjoaa Collatz-positiivisesti käyttäytyviä erilaisia rekursioketjuja mielivaltaisen määrän. Näissä tosin ei ole muita kuin alhaalle määrittyviin kiintopisteisiin liittyviä triviaaleja silmukoita myös negatiivisten lukujen puolella - toisin kuin Collatzin 3x+1 -ketjulla, jolla on kaksi etäisempää ei-triviaalia silmukkaa (-5 ja -17...-41).

https://doi.org/10.13140/RG.2.2.23455.83367