Ongelmaketju - ratkaise & esitä ★ Toimittajan suosikki

[POPE]

Alokilla on kolme tytärtä. Hänen ystävänsä Shyam haluaa tietää tyttäriensä iät. Alok antaa hänelle ensimmäisen vihjeen.

1. Heidän ikiensä tulo on 72.

Shyam sanoo, että tämä ei ole tarpeeksi tietoa. Alok antaa hänelle toisen vihjeen.

2. Heidän ikiensä summa on yhtä suuri kuin taloni numero.

Shyam menee ulos, katsoo talon numeroa ja sanoo: "Minulla ei vieläkään ole tarpeeksi tietoa määrittääkseni ikiä". Alok myöntää, ettei Shyam osaa arvata, ja antaa hänelle kolmannen vihjeen.

3. Vanhin tyttö pitää mansikkajäätelöstä.

Shyam osaa arvata kolmannen vihjeen jälkeen. Osaatko arvata, minkä ikäiset kolme tytärtä ovat?

Entäpä, jos 2-kohta kuuluisi "Heidän ikiensä numeroiden summa on yhtä suuri kuin taloni numero." - olisiko ratkaistavissa?

3. vihje voisi olla: "Vain nuorin ja vanhin tytär pitävät mansikkajäätelöstä."

Jos kolmas vihje olisi boldattu, niin tyttöjen iät eivät selviäisi.

[Lakrankki]

1. Heidän ikiensä tulo on 72.

Vaihtoehdot

1 2 36
1 3 24
1 4 18
1 6 12
1 8 9
2 3 12
2 4 9
3 4 6

Jos oletetaan ettei ole kaksosia ja iät on ilmoitettu kokonaisluvuilla.

[Ykkösnolla]

1. Heidän ikiensä tulo on 72.

Vaihtoehdot

1 2 36
1 3 24
1 4 18
1 6 12
1 8 9
2 3 12
2 4 9
3 4 6

Jos oletetaan ettei ole kaksosia ja iät on ilmoitettu kokonaisluvuilla.

Itsekin unohdin ykkösen ("1") ja sain aluksi vaihtoehdot:
2,2,18
2,3,12
3,3,8
2,4,9
2,6,6
3,4,6
Näitä on 6 kpl. Näiden summat ovat 22,17,14,15,14 ja 13, joten toisen vihjeen jäi vain nuo, joiden summa on 14. Siis 3,3,8 ja 2,6,6. Mutta vaihtoehdossa 2,6,6 ei ole vanhinta, joten vastaus on kolmannen vihjeen jälkeen tuo mainittu 3,3,8.

Miten 1-vuotiaan huomiointi muuttaa tämän, sen jätän nyt. Sen sijaan kysyisin (uutena tehtävänä), miten tuon vaihtoehtojen lukumäärän voisi laskea, siis tuon lukumäärän 6 (vaihtoehtojen määrä vihjeen 1 jälkeen). Täsmällisesti ottaen kaksi kysymystä:
a) Monellako tavalla luvut 2,2,2,3,3 voi ryhmitellä kolmeen ryhmään? Tai kirjaimet a, a, a, b, b, yhtä hyvin. Eräs jako voisi olla {b],{b},{a,a,a}, joka vastaa tuota 3,3,8 -vastausta.
b) Kuten a-kohta, mutta kakkosia nyt 10 kpl ja kolmosia 5 kpl. Ryhmiä sama 3 kpl. Tästä ei helposti luetteloimalla selvinne.
Joka ryhmään vähintään yksi alkio.
(Siis tuota ykköstä en ole tässä nyt huomioinut.) Itse en ainakaan heti saa ratkaisua syntymään.

[Ykkösnolla]

Teen vielä selkeämmän tuosta kysymyksestäni:

10 appelsiinia ja 5 banaania on jaettava kolmeen laatikkoon. Jokaiseen laatikkoon vähintään yksi hedelmä. Monellako tavalla tämän voi tehdä?

(Laatikoiden järjestyksellä ei ole väliä, joten esimerkiksi jaot
{1 banaani},{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia}
ja
{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia},{1 banaani}
ovat samoja jakoja.)

Pelkään, että tästä tulee pitkäaikainen probleema. Kirjallisuutta tutkimaan!
-------------------------
Ykkösen mukaantulo ei muuta ratkaisua 3,3,8, se on ainoa vaihtoehto. Kaikkiaan vihjeen 1 jälkeen sain luettelemalla 6+7=13 vaihtoehtoa, mutta vain kahdella näistä oli sama numeroiden summa. Ei tainnut kukaan muu ratkaisun päätelleistä unohtaa tuota ykköstä?

[POPE]

Teen vielä selkeämmän tuosta kysymyksestäni:

10 appelsiinia ja 5 banaania on jaettava kolmeen laatikkoon. Jokaiseen laatikkoon vähintään yksi hedelmä. Monellako tavalla tämän voi tehdä?

(Laatikoiden järjestyksellä ei ole väliä, joten esimerkiksi jaot
{1 banaani},{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia}
ja
{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia},{1 banaani}
ovat samoja jakoja.)

Pelkään, että tästä tulee pitkäaikainen probleema. Kirjallisuutta tutkimaan!
-------------------------
Ykkösen mukaantulo ei muuta ratkaisua 3,3,8, se on ainoa vaihtoehto. Kaikkiaan vihjeen 1 jälkeen sain luettelemalla 6+7=13 vaihtoehtoa, mutta vain kahdella näistä oli sama numeroiden summa. Ei tainnut kukaan muu ratkaisun päätelleistä unohtaa tuota ykköstä?

jos kaikki 15 hedelmää olisi esim appelsiineja, niin tällöin erilaisia jakoja olisi c(14,2)=91.
Nyt tilanne on huomattavasti haastavampi.

[Ykkösnolla]

Teen vielä selkeämmän tuosta kysymyksestäni:

10 appelsiinia ja 5 banaania on jaettava kolmeen laatikkoon. Jokaiseen laatikkoon vähintään yksi hedelmä. Monellako tavalla tämän voi tehdä?

(Laatikoiden järjestyksellä ei ole väliä, joten esimerkiksi jaot
{1 banaani},{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia}
ja
{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia},{1 banaani}
ovat samoja jakoja.)

Pelkään, että tästä tulee pitkäaikainen probleema. Kirjallisuutta tutkimaan!
-------------------------
Ykkösen mukaantulo ei muuta ratkaisua 3,3,8, se on ainoa vaihtoehto. Kaikkiaan vihjeen 1 jälkeen sain luettelemalla 6+7=13 vaihtoehtoa, mutta vain kahdella näistä oli sama numeroiden summa. Ei tainnut kukaan muu ratkaisun päätelleistä unohtaa tuota ykköstä?

jos kaikki 15 hedelmää olisi esim appelsiineja, niin tällöin erilaisia jakoja olisi c(14,2)=91.
Nyt tilanne on huomattavasti haastavampi.

c(14,2)=91, mutta tässä on vielä samoja jakoja mukana, esim. 1,7,7 ja 7,7,1. Nyt se haluttiin kieltää, analogisesti lapsitehtävän kanssa (lasten iät 3,3,8 ovat sama kuin vaikkapa 8,3,3).

Mutta tämä sama idea,
a | a a a a a a a | a a a a a a a (kuvaa jakoa 1, 7, 7),
saattaisi auttaa myös banaanien tullessa mukaan. Vedellään siis pystyviivoja jonoon
a a a a a a a a a a b b b b b. Onnistuuko?

[Ykkösnolla]

Teen vielä selkeämmän tuosta kysymyksestäni:

10 appelsiinia ja 5 banaania on jaettava kolmeen laatikkoon. Jokaiseen laatikkoon vähintään yksi hedelmä. Monellako tavalla tämän voi tehdä?

(Laatikoiden järjestyksellä ei ole väliä, joten esimerkiksi jaot
{1 banaani},{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia}
ja
{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia},{1 banaani}
ovat samoja jakoja.)

Pelkään, että tästä tulee pitkäaikainen probleema. Kirjallisuutta tutkimaan!
-------------------------
Ykkösen mukaantulo ei muuta ratkaisua 3,3,8, se on ainoa vaihtoehto. Kaikkiaan vihjeen 1 jälkeen sain luettelemalla 6+7=13 vaihtoehtoa, mutta vain kahdella näistä oli sama numeroiden summa. Ei tainnut kukaan muu ratkaisun päätelleistä unohtaa tuota ykköstä?

jos kaikki 15 hedelmää olisi esim appelsiineja, niin tällöin erilaisia jakoja olisi c(14,2)=91.
Nyt tilanne on huomattavasti haastavampi.

c(14,2)=91, mutta tässä on vielä samoja jakoja mukana, esim. 1,7,7 ja 7,7,1. Nyt se haluttiin kieltää, analogisesti lapsitehtävän kanssa (lasten iät 3,3,8 ovat sama kuin vaikkapa 8,3,3).

Mutta tämä sama idea,
a | a a a a a a a | a a a a a a a (kuvaa jakoa 1, 7, 7),
saattaisi auttaa myös banaanien tullessa mukaan. Vedellään siis pystyviivoja jonoon
a a a a a a a a a a b b b b b. Onnistuuko?

Selkeämmin sanoen: Käsittele jonot a, a, a, a, a, a, a, a. a, a ja b, b, b. b. b erikseen, sitten vastaukset kerrotaan (tuloperiaate). Lisähankaluuden tuo se, että nyt lukumäärä "0" on mahdollinen: esimerkiksi, jos laatikossa on appelsiini, ei banaaneja enää tarvita.
------------------------
15 appelsiinin tapauksessa vastaus taitaa olla 79.
------------------------
Siinä alkuperäisessä ikäongelmassa ensimmäisen vaiheen jälkeen olikin 6+6=12 vaihtoehtoa, ei siis 6+7. Tosi hullu virhe, olin ottanut vaihtoehdon 1,1,1 mukaan (1 * 1 * 1 ei tosiaankaan ole 72).

[POPE]

Teen vielä selkeämmän tuosta kysymyksestäni:

10 appelsiinia ja 5 banaania on jaettava kolmeen laatikkoon. Jokaiseen laatikkoon vähintään yksi hedelmä. Monellako tavalla tämän voi tehdä?

(Laatikoiden järjestyksellä ei ole väliä, joten esimerkiksi jaot
{1 banaani},{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia}
ja
{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia},{1 banaani}
ovat samoja jakoja.)

Pelkään, että tästä tulee pitkäaikainen probleema. Kirjallisuutta tutkimaan!
-------------------------
Ykkösen mukaantulo ei muuta ratkaisua 3,3,8, se on ainoa vaihtoehto. Kaikkiaan vihjeen 1 jälkeen sain luettelemalla 6+7=13 vaihtoehtoa, mutta vain kahdella näistä oli sama numeroiden summa. Ei tainnut kukaan muu ratkaisun päätelleistä unohtaa tuota ykköstä?

jos kaikki 15 hedelmää olisi esim appelsiineja, niin tällöin erilaisia jakoja olisi c(14,2)=91.
Nyt tilanne on huomattavasti haastavampi.

c(14,2)=91, mutta tässä on vielä samoja jakoja mukana, esim. 1,7,7 ja 7,7,1. Nyt se haluttiin kieltää, analogisesti lapsitehtävän kanssa (lasten iät 3,3,8 ovat sama kuin vaikkapa 8,3,3).

Mutta tämä sama idea,
a | a a a a a a a | a a a a a a a (kuvaa jakoa 1, 7, 7),
saattaisi auttaa myös banaanien tullessa mukaan. Vedellään siis pystyviivoja jonoon
a a a a a a a a a a b b b b b. Onnistuuko?

Luulen, että ei onnistu, mutta pitää yrittää.

[POPE]

Teen vielä selkeämmän tuosta kysymyksestäni:

10 appelsiinia ja 5 banaania on jaettava kolmeen laatikkoon. Jokaiseen laatikkoon vähintään yksi hedelmä. Monellako tavalla tämän voi tehdä?

(Laatikoiden järjestyksellä ei ole väliä, joten esimerkiksi jaot
{1 banaani},{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia}
ja
{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia},{1 banaani}
ovat samoja jakoja.)

Pelkään, että tästä tulee pitkäaikainen probleema. Kirjallisuutta tutkimaan!
-------------------------
Ykkösen mukaantulo ei muuta ratkaisua 3,3,8, se on ainoa vaihtoehto. Kaikkiaan vihjeen 1 jälkeen sain luettelemalla 6+7=13 vaihtoehtoa, mutta vain kahdella näistä oli sama numeroiden summa. Ei tainnut kukaan muu ratkaisun päätelleistä unohtaa tuota ykköstä?

jos kaikki 15 hedelmää olisi esim appelsiineja, niin tällöin erilaisia jakoja olisi c(14,2)=91.
Nyt tilanne on huomattavasti haastavampi.

c(14,2)=91, mutta tässä on vielä samoja jakoja mukana, esim. 1,7,7 ja 7,7,1. Nyt se haluttiin kieltää, analogisesti lapsitehtävän kanssa (lasten iät 3,3,8 ovat sama kuin vaikkapa 8,3,3).

Mutta tämä sama idea,
a | a a a a a a a | a a a a a a a (kuvaa jakoa 1, 7, 7),
saattaisi auttaa myös banaanien tullessa mukaan. Vedellään siis pystyviivoja jonoon
a a a a a a a a a a b b b b b. Onnistuuko?

Selkeämmin sanoen: Käsittele jonot a, a, a, a, a, a, a, a. a, a ja b, b, b. b. b erikseen, sitten vastaukset kerrotaan (tuloperiaate). Lisähankaluuden tuo se, että nyt lukumäärä "0" on mahdollinen: esimerkiksi, jos laatikossa on appelsiini, ei banaaneja enää tarvita.
------------------------
15 appelsiinin tapauksessa vastaus taitaa olla 79.
------------------------
Siinä alkuperäisessä ikäongelmassa ensimmäisen vaiheen jälkeen olikin 6+6=12 vaihtoehtoa, ei siis 6+7. Tosi hullu virhe, olin ottanut vaihtoehdon 1,1,1 mukaan (1 * 1 * 1 ei tosiaankaan ole 72).

a | a a a a a a a | a a a a a a a
Eri jaot saadaan, kun kaksi erottajaa sijoitetaan kahden appelsiinin väliin. Välejä on 14—> c(14,2)

[Ykkösnolla]

Teen vielä selkeämmän tuosta kysymyksestäni:

10 appelsiinia ja 5 banaania on jaettava kolmeen laatikkoon. Jokaiseen laatikkoon vähintään yksi hedelmä. Monellako tavalla tämän voi tehdä?

(Laatikoiden järjestyksellä ei ole väliä, joten esimerkiksi jaot
{1 banaani},{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia}
ja
{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia},{1 banaani}
ovat samoja jakoja.)

Pelkään, että tästä tulee pitkäaikainen probleema. Kirjallisuutta tutkimaan!
-------------------------
Ykkösen mukaantulo ei muuta ratkaisua 3,3,8, se on ainoa vaihtoehto. Kaikkiaan vihjeen 1 jälkeen sain luettelemalla 6+7=13 vaihtoehtoa, mutta vain kahdella näistä oli sama numeroiden summa. Ei tainnut kukaan muu ratkaisun päätelleistä unohtaa tuota ykköstä?

jos kaikki 15 hedelmää olisi esim appelsiineja, niin tällöin erilaisia jakoja olisi c(14,2)=91.
Nyt tilanne on huomattavasti haastavampi.

c(14,2)=91, mutta tässä on vielä samoja jakoja mukana, esim. 1,7,7 ja 7,7,1. Nyt se haluttiin kieltää, analogisesti lapsitehtävän kanssa (lasten iät 3,3,8 ovat sama kuin vaikkapa 8,3,3).

Mutta tämä sama idea,
a | a a a a a a a | a a a a a a a (kuvaa jakoa 1, 7, 7),
saattaisi auttaa myös banaanien tullessa mukaan. Vedellään siis pystyviivoja jonoon
a a a a a a a a a a b b b b b. Onnistuuko?

Selkeämmin sanoen: Käsittele jonot a, a, a, a, a, a, a, a. a, a ja b, b, b. b. b erikseen, sitten vastaukset kerrotaan (tuloperiaate). Lisähankaluuden tuo se, että nyt lukumäärä "0" on mahdollinen: esimerkiksi, jos laatikossa on appelsiini, ei banaaneja enää tarvita.
------------------------
15 appelsiinin tapauksessa vastaus taitaa olla 79.
------------------------
Siinä alkuperäisessä ikäongelmassa ensimmäisen vaiheen jälkeen olikin 6+6=12 vaihtoehtoa, ei siis 6+7. Tosi hullu virhe, olin ottanut vaihtoehdon 1,1,1 mukaan (1 * 1 * 1 ei tosiaankaan ole 72).

a | a a a a a a a | a a a a a a a
Eri jaot saadaan, kun kaksi erottajaa sijoitetaan kahden appelsiinin väliin. Välejä on 14—> c(14,2)

Tämä c(14,2) = 91 erottaa toisistaan esimerkiksi jaot (1,7,7), (7,1,7) ja (7,7,1). Tällaisia tapauksia on kaikkiaan 6 kpl. Ja jokainen niistä tulee laskettua kolmesti. Siksi lopullinen vastaus on 91 - 12 = 79. Luulisin!

[POPE]

Teen vielä selkeämmän tuosta kysymyksestäni:

10 appelsiinia ja 5 banaania on jaettava kolmeen laatikkoon. Jokaiseen laatikkoon vähintään yksi hedelmä. Monellako tavalla tämän voi tehdä?

(Laatikoiden järjestyksellä ei ole väliä, joten esimerkiksi jaot
{1 banaani},{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia}
ja
{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia},{1 banaani}
ovat samoja jakoja.)

Pelkään, että tästä tulee pitkäaikainen probleema. Kirjallisuutta tutkimaan!
-------------------------
Ykkösen mukaantulo ei muuta ratkaisua 3,3,8, se on ainoa vaihtoehto. Kaikkiaan vihjeen 1 jälkeen sain luettelemalla 6+7=13 vaihtoehtoa, mutta vain kahdella näistä oli sama numeroiden summa. Ei tainnut kukaan muu ratkaisun päätelleistä unohtaa tuota ykköstä?

jos kaikki 15 hedelmää olisi esim appelsiineja, niin tällöin erilaisia jakoja olisi c(14,2)=91.
Nyt tilanne on huomattavasti haastavampi.

c(14,2)=91, mutta tässä on vielä samoja jakoja mukana, esim. 1,7,7 ja 7,7,1. Nyt se haluttiin kieltää, analogisesti lapsitehtävän kanssa (lasten iät 3,3,8 ovat sama kuin vaikkapa 8,3,3).

Mutta tämä sama idea,
a | a a a a a a a | a a a a a a a (kuvaa jakoa 1, 7, 7),
saattaisi auttaa myös banaanien tullessa mukaan. Vedellään siis pystyviivoja jonoon
a a a a a a a a a a b b b b b. Onnistuuko?

Selkeämmin sanoen: Käsittele jonot a, a, a, a, a, a, a, a. a, a ja b, b, b. b. b erikseen, sitten vastaukset kerrotaan (tuloperiaate). Lisähankaluuden tuo se, että nyt lukumäärä "0" on mahdollinen: esimerkiksi, jos laatikossa on appelsiini, ei banaaneja enää tarvita.
------------------------
15 appelsiinin tapauksessa vastaus taitaa olla 79.
------------------------
Siinä alkuperäisessä ikäongelmassa ensimmäisen vaiheen jälkeen olikin 6+6=12 vaihtoehtoa, ei siis 6+7. Tosi hullu virhe, olin ottanut vaihtoehdon 1,1,1 mukaan (1 * 1 * 1 ei tosiaankaan ole 72).

a | a a a a a a a | a a a a a a a
Eri jaot saadaan, kun kaksi erottajaa sijoitetaan kahden appelsiinin väliin. Välejä on 14—> c(14,2)

Tämä c(14,2) = 91 erottaa toisistaan esimerkiksi jaot (1,7,7), (7,1,7) ja (7,7,1). Tällaisia tapauksia on kaikkiaan 6 kpl. Ja jokainen niistä tulee laskettua kolmesti. Siksi lopullinen vastaus on 91 - 12 = 79. Luulisin!

a) 1. laatikossa on 1, 2.laatikossa 7 ja 3. laatikossa 7 appelsiinia
b)1. laatikossa on 7, 2.laatikossa 1 ja 3. laatikossa 7 appelsiinia
c)1. laatikossa on7, 2.laatikossa 7 ja 3. laatikossa 1 appelsiinia
Eivätkö a,b ja c ole eri jakoja?

[Ykkösnolla]

Teen vielä selkeämmän tuosta kysymyksestäni:

10 appelsiinia ja 5 banaania on jaettava kolmeen laatikkoon. Jokaiseen laatikkoon vähintään yksi hedelmä. Monellako tavalla tämän voi tehdä?

(Laatikoiden järjestyksellä ei ole väliä, joten esimerkiksi jaot
{1 banaani},{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia}
ja
{1 appelsiini},{4 banaania ja 9 appelsiinia},{1 banaani}
ovat samoja jakoja.)

Pelkään, että tästä tulee pitkäaikainen probleema. Kirjallisuutta tutkimaan!
-------------------------
Ykkösen mukaantulo ei muuta ratkaisua 3,3,8, se on ainoa vaihtoehto. Kaikkiaan vihjeen 1 jälkeen sain luettelemalla 6+7=13 vaihtoehtoa, mutta vain kahdella näistä oli sama numeroiden summa. Ei tainnut kukaan muu ratkaisun päätelleistä unohtaa tuota ykköstä?

jos kaikki 15 hedelmää olisi esim appelsiineja, niin tällöin erilaisia jakoja olisi c(14,2)=91.
Nyt tilanne on huomattavasti haastavampi.

c(14,2)=91, mutta tässä on vielä samoja jakoja mukana, esim. 1,7,7 ja 7,7,1. Nyt se haluttiin kieltää, analogisesti lapsitehtävän kanssa (lasten iät 3,3,8 ovat sama kuin vaikkapa 8,3,3).

Mutta tämä sama idea,
a | a a a a a a a | a a a a a a a (kuvaa jakoa 1, 7, 7),
saattaisi auttaa myös banaanien tullessa mukaan. Vedellään siis pystyviivoja jonoon
a a a a a a a a a a b b b b b. Onnistuuko?

Selkeämmin sanoen: Käsittele jonot a, a, a, a, a, a, a, a. a, a ja b, b, b. b. b erikseen, sitten vastaukset kerrotaan (tuloperiaate). Lisähankaluuden tuo se, että nyt lukumäärä "0" on mahdollinen: esimerkiksi, jos laatikossa on appelsiini, ei banaaneja enää tarvita.
------------------------
15 appelsiinin tapauksessa vastaus taitaa olla 79.
------------------------
Siinä alkuperäisessä ikäongelmassa ensimmäisen vaiheen jälkeen olikin 6+6=12 vaihtoehtoa, ei siis 6+7. Tosi hullu virhe, olin ottanut vaihtoehdon 1,1,1 mukaan (1 * 1 * 1 ei tosiaankaan ole 72).

a | a a a a a a a | a a a a a a a
Eri jaot saadaan, kun kaksi erottajaa sijoitetaan kahden appelsiinin väliin. Välejä on 14—> c(14,2)

Tämä c(14,2) = 91 erottaa toisistaan esimerkiksi jaot (1,7,7), (7,1,7) ja (7,7,1). Tällaisia tapauksia on kaikkiaan 6 kpl. Ja jokainen niistä tulee laskettua kolmesti. Siksi lopullinen vastaus on 91 - 12 = 79. Luulisin!

a) 1. laatikossa on 1, 2.laatikossa 7 ja 3. laatikossa 7 appelsiinia
b)1. laatikossa on 7, 2.laatikossa 1 ja 3. laatikossa 7 appelsiinia
c)1. laatikossa on7, 2.laatikossa 7 ja 3. laatikossa 1 appelsiinia
Eivätkö a,b ja c ole eri jakoja?

No eivät ole tässä tehtävässä, kun se nimenomaan mainittiin. Tarkoitus oli matkia "lasten ikä"-ongelmaa, jossa lasten iät 3,3,8 on sama kuin lasten iät 3,8,3 ja 8,3,3. Laatikot ovat siis identtisiä eivätkä missään järjestyksessä eivätkä mitenkin nimettyjä. Jos laatikot olisivat vaikka erivärisiä tai vaikka jonossa omilla paikoillaan, niin sitten tilanne muuttuisi, ja tämä kai olisi oletus, jos muuta ei mainittaisi. Alun perin oli siis kyse luvun 72 alkutekijöihin jaosta, 72=2*2*2*3*3, ja siitä kysymys, miten monella tavalla nämä tekijät, joita on viisi, voidaan jakaa kolmeen ryhmään; yksi jako on {3},{3} ja {2,2,2}, joka vastaa ikiä 3,3,8.

Mutta itse 15 appelsiinin ongelmaan:
Tuo 79 taitaa olla myös väärä vastaus, onhan myös esimerkiksi jako 4,5,6 luvussa 91 moneen kertaan, kuuteen kertaan. Niinpä uusi tarjoamani oikea vastaus olisikin 15 appelsiinin tehtävään onkin 19.
Alkoi kyllästyttää nämä puutteelliset päätelmäni, ja listasin nämä kaikki 19 mahdollisuutta:
1,2,12-----1,1,13-----5,5,5
1,3,11-----2,2,11
1,4,10-----3,3,9
1,5,9------4,4,7
1,6,8------6,6,3
2,3,10-----7,7,1
2,4,9
2,5,8
2,6,7
3,4,8
3,5,7
4,5,6
Niitä on 12+6+1=19.

Luetteloimatta lasku menee siis näin (ja tämän voisi yleistää appelsiinien määrälle n (ja varmaan myös laatikoiden määrälle k)):
Kaikkiaan 91 jakoa, jos erilaiset järjestykset otetaan mukaan.
- jakoja, joissa on 3 samaa numeroa, on vain yksi: 5,5,5
- jakoja, joissa on täsmälleen 2 samaa numeroa, on 3*6 = 18 (kahdesti esiintyvä numero voi olla 1,2,3,4,6 tai 7)
- jakoja, joissa kaikki numerot ovat erilaisia, on 91-1-18=72
Näin saadaan lopullinen vastaus 1+18/3+72/6=1+6+12=19.

Mutta en ole varma, onko tämä lyhin ratkaisu. Tämän luulisi olevan kombinaatio-opissa aika tunnettu tehtävä, siis jakaa n kpl identtisiä alkiota ryhmiin, joita on k kpl. En ole vielä kirjoja katsellut.
----------------------
Nyt on vielä mietittävänä se "10 appelsiinia ja 5 banaania"-tehtävä. Sehän on analoginen sen "lasten iät"-tehtävän kanssa, "3 kakkosta ja 2 kolmosta" ja kolme ryhmää (eli lasta), tosin tässä 1-vuotiaat jää huomiotta ja vaatii muutoksia.

[Jorma]

----------------------
Nyt on vielä mietittävänä se "10 appelsiinia ja 5 banaania"-tehtävä. Sehän on analoginen sen "lasten iät"-tehtävän kanssa, "3 kakkosta ja 2 kolmosta" ja kolme ryhmää (eli lasta), tosin tässä 1-vuotiaat jää huomiotta ja vaatii muutoksia.

Sain eka osasta 19 otetaan ensin 3. yksi jokaiseen laatikkoon, loput 12 voidaan jakaa mielivaltaisesti. Banaanien kanssa 165. Voi olla joku virhekin mukana.

[Ykkösnolla]

----------------------
Nyt on vielä mietittävänä se "10 appelsiinia ja 5 banaania"-tehtävä. Sehän on analoginen sen "lasten iät"-tehtävän kanssa, "3 kakkosta ja 2 kolmosta" ja kolme ryhmää (eli lasta), tosin tässä 1-vuotiaat jää huomiotta ja vaatii muutoksia.

Sain eka osasta 19 otetaan ensin 3. yksi jokaiseen laatikkoon, loput 12 voidaan jakaa mielivaltaisesti. Banaanien kanssa 165. Voi olla joku virhekin mukana.

En osaa vielä sanoa mitään tuosta 165-vastauksesta. Mutta tuon 15 appelsiinin vastaukset 91 ja 19 saisi myös seuraavasti, ja sitten pitäisi keksiä, voisiko tätä 165-laskua ratkaista näillä menetelmillä.

1. Monellako tavalla 15 appelsiinia voi jakaa kolmeen laatikkoon. Vähintään yksi jokaiseen.
Ratkaisu: Laitetaan tosiaan aluksi 1 appelsiini joka laatikkoon. Sitten on kyse siitä, montako ei-negatiivista kokonaislukuratkaisua on yhtälöllä x1+x2+x3=12. Siis x1,x2,x3>=0.
Mahdollisia arvoja x1:lle on siis 0,1,2,...,12, mutta kirjoitetaan ne polynomin potensseihin: f1(x)=x^0+x^1+x^2+...+x^12.
Samoin x2:lle ja x3:lle, siis f2(x)=x^0+x^1+x^2+...+x^12 ja f3(x)=x^0+x^1+x^2+...+x^12.
Tällöin kaikki yhteenlaskujen x1+x2+x3 tulokset saadaan kertolaskun f1(x)*f2(x)*f(3) potensseista, suurimmillaan 12+12+12=36 ja pienimmillään 0+0+0=0. Laskimella, esimerkiksi geogebralla, saadaan kertolaskun tulokseksi
x³⁶ + 3x³⁵ + 6x³⁴ + 10x³³ + 15x³² + 21x³¹ + 28x³⁰ + 36x²⁹ + 45x²⁸ + 55x²⁷ + 66x²⁶ + 78x²⁵ + 91x²⁴ + 102x²³ + 111x²² + 118x²¹ + 123x²⁰ + 126x¹⁹ + 127x¹⁸ + 126x¹⁷ + 123x¹⁶ + 118x¹⁵ + 111x¹⁴ + 102x¹³ + 91x¹² + 78x¹¹ + 66x¹⁰ + 55x⁹ + 45x⁸ + 36x⁷ + 28x⁶ + 21x⁵ + 15x⁴ + 10x³ + 6x² + 3x + 1,
mistä oikea vastaus 91 näkyy termistä 91x¹². Höperö tapa tähän laskuun, kun vastauksen saa myös suoraan niillä pystyviivoilla, kombinaatiolla.

2. Muuten kuten edellinen, mutta nyt laatikoiden paikoilla ei väliä, siis esimerkiksi ratkaisuja 2+2+11 ja 2+11+2 pidetään samoina.
Nyt on kyse yhtälön x1+x2+x3=15, x1<=x2<=x3 positiivisista kokonaislukuratkaisuista. Laitetaan taas yksi appelsiini joka laatikkoon, jolloin kysytäänkin yhtälön x1+x2+x3=12, x1<=x2<=x3 ei-negatiivista kokonaislukuratkaisuista.
Tehdään yhtälöön sijoitukset:
x1 = a
x2 = a + b
x3 = a + b + c
Nyt a, b ja c ovat ei-negatiivisia lukuja, ja kyse on yhtälön 3a+2b+2c=12 ratkaisuista. Tehdään näillekin nuo polynomit:
3a voi saada arvoja 0,3,6,9,12, joten f1(x)=x^0+x^3+x^6+x^9+x^12.
2b voi saada arvoja 0,2,4,6,8,10,12, joten f2(x)=x^0+x^2+x^4+ ... + x^10+x^12.
c voi saada arvoja 0,1,2,...,11,12, joten f3(x)=x^0+x^1+x^2+ ... + x^11+x^12.
Kertolaskun f1(x)*f2(x)*f3(x) tulos on
x³⁶ + x³⁵ + 2x³⁴ + 3x³³ + 4x³² + 5x³¹ + 7x³⁰ + 8x²⁹ + 10x²⁸ + 12x²⁷ + 14x²⁶ + 16x²⁵ + 19x²⁴ + 20x²³ + 22x²² + 23x²¹ + 24x²⁰ + 24x¹⁹ + 25x¹⁸ + 24x¹⁷ + 24x¹⁶ + 23x¹⁵ + 22x¹⁴ + 20x¹³ + 19x¹² + 16x¹¹ + 14x¹⁰ + 12x⁹ + 10x⁸ + 8x⁷ + 7x⁶ + 5x⁵ + 4x⁴ + 3x³ + 2x² + x + 1,
ja siitä näkyy oikea vastaus, 19.

Tässä kohtalaisen helppo tutustumisvideo noihin polynomeihin: https://www.youtube.com/watch?v=7Rw7pEMJneI

En mene vannomaan, että tuo appalsiinibanaanilasku näillä generoivilla funktiolla ratkeaa ja etteikö joku toinen lyhyempi tapa löytyisi.

[JMe1]

Monellako tavalla 15 appelsiinia voi jakaa kolmeen laatikkoon. Vähintään yksi jokaiseen

Tein tästä ajatusmuunnelman. Appelsiinit pudotetaan lastputkiin, kolme rinnakkain. Alussa kaikki ovat vasemmanpuoleisessa. Tämän jälkeen vasemmasta otetaan appelsiini kerrallaan ja siirretään sitä yksi pykälä oikealle. Saadaan uusi kombinaatio. Sääntönä pidetään että kun katsotaan yhtä ratkaisua, oikealle mentäessä tornien korkeus on laskeva tai yhtäsuuri.
Ensimmäinen appelsiini teki vain yhden pompun. Toinen tekee jo kaksi (13,2,0;13,1,1).

Ja tämän voi siis tehdä pöytäharjoituksena.