Ongelmaketju - ratkaise & esitä ★ Toimittajan suosikki

[Ykkösnolla]

Meniskö näin.
Yksikköympyrä säde r=1, origo x=0 y=0. Cos(θ) on säteen projektion arvo x-akselille kulmalla θ.
Arvo on symmetrinen, mutta vastakkaismerkkinen väleillä θ=[0⁰-90⁰] ja [90⁰-180⁰].
Ja sama tilanne 180-360 välillä.
Jos kokoympyrä on jaettu tasavälein Δθ, niin arvojen summa on nolla.

Ei tunnu oikealta. Esim. cos 40 ja cos 140 ovat vastakkaismerkkisiä, mutta eihän cos 140 ole mukana summassa: 40, 80, 120, 160...
Mutta parillisella määrällä päättelysi pätee (esim. 36, 72, 108, 144, 180, ...), esim. cos 36 ja cos 144 kumoavat toisensa.

Tästä saakin vihjeen: miten parittomasta saisi parillisen ja mitä se auttaisi...

[Ykkösnolla]

Entäpäs välin 0...180 astetta jaollisten kosinien summa päätekulmat mukaan laskien tai pois sulkien?

Tällä parittomalla määrällä 0<x<180 ja 180<x<360 taitavat kumpikin aina antaa summaksi -0.5, jotka cos 0 =1 sitten kumoaa.

Parillisella määrällä, esim. cos 0 + cos 36 + … + cos 324, jossa cos 180 = -1 on aina mukana, taitavat 0<x<180 ja 180<x<360 kumpikin antaa summaksi 0. Ja sitten cos 0 ja cos 180 myös kumoavat toisensa.

[Ykkösnolla]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

Eli jotenkin näin (yritänpä pysyä asteissa):
(cos 0 + cos 40 + cos 80 + ... + cos 320 ) + i*(sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 ) =
(cos 0) + i*(sin 0) + (cos 40) + i*(sin 40) + cos 80 + i*(sin 80) + ... + cos 320 + i*(sin 320) =
e^0 + e^(i*40) + e^(i*80) + ... + e^(i*320)=
tosiaan geometrinen summa, suhdeluku on q = e^(i*40), n = 9
summaksi saadaan e^0*(1-(e^(i*40))^9)/(1-q) = 1*(1-e^(i*360))/(1-q) = 0, koska e^(i*360) = cos 360 + i*sin 360 = 1 + 0*i = 1
-> cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0 ja sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 = 0

Mutta onnistuu myös ilman kompleksilukuja ja tuota kaavaa e^(ix) = cos x + i*sin x. Kompleksilukuratkaisu on siitä hyvä, että se on puhdas lasku eikä vaadi selityksiä. Toisaalta se on "hyttysen ampumista tykillä".

[Ykkösnolla]

x

[Ykkösnolla]

Mutta yllä määrä on pariton, eikä se minusta ole mitenkään päivänselvää!

Fundeerasin tätä jonkin aikaa ja näyttäisi siltä että ratkaisun voi päätellä, ei siis tarvitse pitää triviaalina. Liittyy vektoreihin ja niiden summaan. Onko joku muu samaa mieltä ? Voi tietysti olla että järkeilyssäni on aukkoja, näitä sattuu.

Tästä tulee mieleen säännölliset monikulmiot. Todistus väitteelle "säännöllisen monikulmion keskipisteestä kärkipisteisiin piirrettyjen vektorien summa on nolla" oikeastaan todistaisi tämän kosiniväitteen, eikä ehkä tarvitsi hirmuisia lisäselityksiäkään.

[JMe1]

Todistus väitteelle "säännöllisen monikulmion keskipisteestä kärkipisteisiin piirrettyjen vektorien summa on nolla" oikeastaan todistaisi tämän kosiniväitteen, eikä ehkä tarvitsi hirmuisia lisäselityksiäkään.

Netistä löytyy tälle aika hankalan näköisiä todistuksia mutta vektorisumma todellakin on nolla.

Yritin saada aikaan päättelytodistuksen, jäi vajaaksi:
Lähtötilanteessa meillä on ympyrä jossa on N kappaletta vektoreita tasakulmajaolla, lähtöpiste on ympyrän keskipiste, vektorien kärkipisteet ympyrän kehällä. Tasakulmajako tarkoittaa että kahden vierekkäisen vektorin kulma on vakio joka menee tasan asteluvun 360 kanssa.

Irrotetaan vektorit järjestyksessä ympyrästä ja liitetään ne peräkkäin eli aletaan muodostaa niiden vektorisummaa. Kun kaikki viimeistä lukuun ottamatta on liitetty toisiinsa, meillä on tällainen muoto:
https://fi.wikipedia.org/wiki/S%C3%A4%C ... monikulmio

.. mutta siten että viimeinen palikka puuttuu. Kuvion kulmat ja sivujen pituudet ovat identtiset. Mutta millä tavalla todistetaan että se viimeinen palapelin osa loksahtaa paikalleen ?

[POPE]

Mutta yllä määrä on pariton, eikä se minusta ole mitenkään päivänselvää!

Fundeerasin tätä jonkin aikaa ja näyttäisi siltä että ratkaisun voi päätellä, ei siis tarvitse pitää triviaalina. Liittyy vektoreihin ja niiden summaan. Onko joku muu samaa mieltä ? Voi tietysti olla että järkeilyssäni on aukkoja, näitä sattuu.

Tästä tulee mieleen säännölliset monikulmiot. Todistus väitteelle "säännöllisen monikulmion keskipisteestä kärkipisteisiin piirrettyjen vektorien summa on nolla" oikeastaan todistaisi tämän kosiniväitteen, eikä ehkä tarvitsi hirmuisia lisäselityksiäkään.

Yhtälön x^n=1 ratkaisut x=e^(2πk/n*i), k=0...,n-1, ovat yksikköympyrän sisään piirretyn säännöllisen n-kulmion kärkinä. Niiden summa on 0, kuten Wisti osoitti.

[POPE]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

Eli jotenkin näin (yritänpä pysyä asteissa):
(cos 0 + cos 40 + cos 80 + ... + cos 320 ) + i*(sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 ) =
(cos 0) + i*(sin 0) + (cos 40) + i*(sin 40) + cos 80 + i*(sin 80) + ... + cos 320 + i*(sin 320) =
e^0 + e^(i*40) + e^(i*80) + ... + e^(i*320)=
tosiaan geometrinen summa, suhdeluku on q = e^(i*40), n = 9
summaksi saadaan e^0*(1-(e^(i*40))^9)/(1-q) = 1*(1-e^(i*360))/(1-q) = 0, koska e^(i*360) = cos 360 + i*sin 360 = 1 + 0*i = 1
-> cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0 ja sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 = 0

Mutta onnistuu myös ilman kompleksilukuja ja tuota kaavaa e^(ix) = cos x + i*sin x. Kompleksilukuratkaisu on siitä hyvä, että se on puhdas lasku eikä vaadi selityksiä. Toisaalta se on "hyttysen ampumista tykillä".

Ilman kompleksilukuja
cosx+cosy=2*cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cos40°+cos80°=2*cos60°*cos20°=cos20°
cos160°+cos200°=2*cos180°*cos20°=-2cos20°
cos280°*cos320°=2*cos300°*cos20°=cos20°
cos0°+ cos120°+cos240°+cos40°+cos80°+cos160°+cos200°+cos280°*cos320°=1-1/2-1/2+cos20°-2*co20°+cos20°=0

[Ykkösnolla]

Netistä löytyy tälle aika hankalan näköisiä todistuksia mutta vektorisumma todellakin on nolla.

Yritin saada aikaan päättelytodistuksen, jäi vajaaksi:
Lähtötilanteessa meillä on ympyrä jossa on N kappaletta vektoreita tasakulmajaolla, lähtöpiste on ympyrän keskipiste, vektorien kärkipisteet ympyrän kehällä. Tasakulmajako tarkoittaa että kahden vierekkäisen vektorin kulma on vakio joka menee tasan asteluvun 360 kanssa.

Irrotetaan vektorit järjestyksessä ympyrästä ja liitetään ne peräkkäin eli aletaan muodostaa niiden vektorisummaa. Kun kaikki viimeistä lukuun ottamatta on liitetty toisiinsa, meillä on tällainen muoto:
https://fi.wikipedia.org/wiki/S%C3%A4%C ... monikulmio

.. mutta siten että viimeinen palikka puuttuu. Kuvion kulmat ja sivujen pituudet ovat identtiset. Mutta millä tavalla todistetaan että se viimeinen palapelin osa loksahtaa paikalleen ?

Tässä eräs päättely, vaikuttaa aika pitävältä:

Vektorit ovat:
(cos 0) i + (sin 0) j
(cos 40) i + (sin 40) j
(cos 80) i + (sin 80) j
...
cos(320) i + (sin 320) j

Kierretään jokaista 40 astetta vastapäivään. Tällöin jokainen siirtyy seuraavan paikalle, joten niiden summa ei muutu. (Kiertojen jälkeen meillä on samat vektorit, viimeisestä tulee ensimmäinen.)

Toisaalta summankin tulee kiertyä 40 astetta, jos kerran kaikki summavektorit kiertyvät 40 astetta. Geometrinen tosiseikka!

Siis summavektori muuttuu (kiertyy), mutta toisaalta ei muutu. Tämä on mahdollista vain nollavektorille.

Niinpä summavektorin i-osa on nolla: cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0
Vastaavasti j-osa sineille.

[Ykkösnolla]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

Eli jotenkin näin (yritänpä pysyä asteissa):
(cos 0 + cos 40 + cos 80 + ... + cos 320 ) + i*(sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 ) =
(cos 0) + i*(sin 0) + (cos 40) + i*(sin 40) + cos 80 + i*(sin 80) + ... + cos 320 + i*(sin 320) =
e^0 + e^(i*40) + e^(i*80) + ... + e^(i*320)=
tosiaan geometrinen summa, suhdeluku on q = e^(i*40), n = 9
summaksi saadaan e^0*(1-(e^(i*40))^9)/(1-q) = 1*(1-e^(i*360))/(1-q) = 0, koska e^(i*360) = cos 360 + i*sin 360 = 1 + 0*i = 1
-> cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0 ja sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 = 0

Mutta onnistuu myös ilman kompleksilukuja ja tuota kaavaa e^(ix) = cos x + i*sin x. Kompleksilukuratkaisu on siitä hyvä, että se on puhdas lasku eikä vaadi selityksiä. Toisaalta se on "hyttysen ampumista tykillä".

Ilman kompleksilukuja
cosx+cosy=2*cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cos40°+cos80°=2*cos60°*cos20°=cos20°
cos160°+cos200°=2*cos180°*cos20°=-2cos20°
cos280°*cos320°=2*cos300°*cos20°=cos20°
cos0°+ cos120°+cos240°+cos40°+cos80°+cos160°+cos200°+cos280°*cos320°=1-1/2-1/2+cos20°-2*co20°+cos20°=0

OK, mutta toimisiko esim. tapauksessa cos 0 + cos 72 + cos 144 + cos 216 + cos 288?

[Ykkösnolla]

Tapauksessa n = 9 on siis kyse summasta cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 (yhdeksän yhteenlaskettavaa).

Muistelin, että tapaus n = 18 tulee tällöin avuksi. siis cos 0 + cos 20 + cos 40 + ... + cos 320 + cos 340, se on melko selvästi nolla, koska tässä yhteenlaskettavat kumoutuvat pareittain, esimerkiksi cos 20 ja cos 160. Tätä tutkimalla tapaus n = 9 selviää, näin muistelen. Mutta miten, ja olikohan asia varmasti näin, vaatii lisämuisteluja...

[JMe1]

Siis summavektori muuttuu (kiertyy), mutta toisaalta ei muutu. Tämä on mahdollista vain nollavektorille.

Aika hyvä !

[POPE]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

Eli jotenkin näin (yritänpä pysyä asteissa):
(cos 0 + cos 40 + cos 80 + ... + cos 320 ) + i*(sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 ) =
(cos 0) + i*(sin 0) + (cos 40) + i*(sin 40) + cos 80 + i*(sin 80) + ... + cos 320 + i*(sin 320) =
e^0 + e^(i*40) + e^(i*80) + ... + e^(i*320)=
tosiaan geometrinen summa, suhdeluku on q = e^(i*40), n = 9
summaksi saadaan e^0*(1-(e^(i*40))^9)/(1-q) = 1*(1-e^(i*360))/(1-q) = 0, koska e^(i*360) = cos 360 + i*sin 360 = 1 + 0*i = 1
-> cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0 ja sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 = 0

Mutta onnistuu myös ilman kompleksilukuja ja tuota kaavaa e^(ix) = cos x + i*sin x. Kompleksilukuratkaisu on siitä hyvä, että se on puhdas lasku eikä vaadi selityksiä. Toisaalta se on "hyttysen ampumista tykillä".

Ilman kompleksilukuja
cosx+cosy=2*cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cos40°+cos80°=2*cos60°*cos20°=cos20°
cos160°+cos200°=2*cos180°*cos20°=-2cos20°
cos280°*cos320°=2*cos300°*cos20°=cos20°
cos0°+ cos120°+cos240°+cos40°+cos80°+cos160°+cos200°+cos280°*cos320°=1-1/2-1/2+cos20°-2*co20°+cos20°=0

OK, mutta toimisiko esim. tapauksessa cos 0 + cos 72 + cos 144 + cos 216 + cos 288?

cos72°+cos288°=2*cos180°'cos108°=2*(-1)*(-1/4*(√5-1))=√5/2-1/2
cos144°+cos216°=2*cos180°*cos36°=2*(-1)*(1/4*(√5+1))=-√5/2-1/2
Siispä. cos 0° + cos 72° + cos 144° + cos 216° + cos 288°=1+√5/2-1/2-√5/2-1/2=0

[Ykkösnolla]

Yritin lunttailla. Cosinien osalta kyse on summan Sigma(e^(i*2*PI*k/n)), k=0 to n-1 reaaliosasta.

Kyseessä on geometrinen sarja. Summan arvo on 0. Siis myös im. osa on nolla, joka on sivuseikka.

Eli jotenkin näin (yritänpä pysyä asteissa):
(cos 0 + cos 40 + cos 80 + ... + cos 320 ) + i*(sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 ) =
(cos 0) + i*(sin 0) + (cos 40) + i*(sin 40) + cos 80 + i*(sin 80) + ... + cos 320 + i*(sin 320) =
e^0 + e^(i*40) + e^(i*80) + ... + e^(i*320)=
tosiaan geometrinen summa, suhdeluku on q = e^(i*40), n = 9
summaksi saadaan e^0*(1-(e^(i*40))^9)/(1-q) = 1*(1-e^(i*360))/(1-q) = 0, koska e^(i*360) = cos 360 + i*sin 360 = 1 + 0*i = 1
-> cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 = 0 ja sin 0 + sin 40 + sin 80 + ... + sin 320 = 0

Mutta onnistuu myös ilman kompleksilukuja ja tuota kaavaa e^(ix) = cos x + i*sin x. Kompleksilukuratkaisu on siitä hyvä, että se on puhdas lasku eikä vaadi selityksiä. Toisaalta se on "hyttysen ampumista tykillä".

Ilman kompleksilukuja
cosx+cosy=2*cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cos40°+cos80°=2*cos60°*cos20°=cos20°
cos160°+cos200°=2*cos180°*cos20°=-2cos20°
cos280°*cos320°=2*cos300°*cos20°=cos20°
cos0°+ cos120°+cos240°+cos40°+cos80°+cos160°+cos200°+cos280°*cos320°=1-1/2-1/2+cos20°-2*co20°+cos20°=0

OK, mutta toimisiko esim. tapauksessa cos 0 + cos 72 + cos 144 + cos 216 + cos 288?

cos72°+cos288°=2*cos180°'cos108°=2*(-1)*(-1/4*(√5-1))=√5/2-1/2
cos144°+cos216°=2*cos180°*cos36°=2*(-1)*(1/4*(√5+1))=-√5/2-1/2
Siispä. cos 0° + cos 72° + cos 144° + cos 216° + cos 288°=1+√5/2-1/2-√5/2-1/2=0

OK taas, mutta entä tapaus cos 0 + cos 360/7 + cos 2*360/7 + cos 3*360/7 + cos 4*360/7 + cos 5*360/7 + + cos 6*360/7, kysyn näin tylysti!

[Ykkösnolla]

Tapauksessa n = 9 on siis kyse summasta cos 0 + cos 40 + ... + cos 320 (yhdeksän yhteenlaskettavaa).

Muistelin, että tapaus n = 18 tulee tällöin avuksi. siis cos 0 + cos 20 + cos 40 + ... + cos 320 + cos 340, se on melko selvästi nolla, koska tässä yhteenlaskettavat kumoutuvat pareittain, esimerkiksi cos 20 ja cos 160. Tätä tutkimalla tapaus n = 9 selviää, näin muistelen. Mutta miten, ja olikohan asia varmasti näin, vaatii lisämuisteluja...

Tämän voi unohtaa, ei taida onnistua. Mutta johan tässä asia on tullut todistetuksi ainakin kahdella tavalla (vektorin kierto ja kompleksilukujen summa, sekä yksityistapauksissa cos(x+y):n kaava), joten alkaa olla loppuun käsitelty juttu!

Tosin, vielä kummallisempaakin on tarjolla:

product(seq(((1-cos(40*x))^(2)+(0-sin(40*x))^(2))^(0.5),x,1,8)) ▸ 9. (TiNspire-laskin)

Tulo(Jono(Etäisyys((1,0), (cos(x),sin(x)) ),x,40°,320°,40° )) (Geogebra CAS)

Mistä siinä on kyse? Tästä puhutaan Simo Kivelän matematiikkablogissa (Teknillisen korkeakoulun matematiikan opettaja): https://simokivela.blogspot.com/2015/11 ... ukuja.html