Ongelmaketju - ratkaise & esitä ★ Toimittajan suosikki

[Ykkösnolla]

Tänään kuulin hauskan ongelman: On annettu viisi kokonaislukupistettä (x,y), eli siis viisi ruudukon nurkkapistettä.
5p.png
Jos yhdistetään pisteet janoilla (4+3+2+1=10 janaa), niin ainakin yksi jana kulkee nurkan (kokonaislukupisteen) kautta, ainakin kerran. Perustele miksi.

Origo D=(0,0) E=(10,4)
Janan DE keskipiste on (5,2)

Totta, näille esimerkkipisteille. Mutta tarkoitin, että olivatpa nuo 5 pistettä valittu mistä tahansa, niin ainakin yksi niiden 10 yhdysjanasta on sellainen, että sen keskipiste on kokonaislukupiste, aina ja kaikissa tapauksissa. (No huom, pisteet eivät saa yhtyä eli ne kaikki ovat eri pisteitä!)

[Eusa]

Tänään kuulin hauskan ongelman: On annettu viisi kokonaislukupistettä (x,y), eli siis viisi ruudukon nurkkapistettä.
5p.png
Jos yhdistetään pisteet janoilla (4+3+2+1=10 janaa), niin ainakin yksi jana kulkee nurkan (kokonaislukupisteen) kautta, ainakin kerran. Perustele miksi.

Jos nurkkapiste jo on janan päätepiste, mitä muuta erityistä voi tarkoittaa "jana kulkee nurkan kautta"?

Olet oikeassa, muotoilu oli puutteellinen, janan päätepisteitä ei ole tarkoitus huomioida. Mutta tiukennan (tai helpotan?) tehtävää: Näiden 10 janan keskipisteistä ainakin yksi on kokonaislukupiste. Perustele miksi.

Ahaa. Tarkoitetaan, että jana kulkee ruudukon jonkin kokonaisluvuilla koordinoidun pisteen kautta, eikä jo määritellyn janakuvion nurkan kautta. Jep - tiedän mistä on kysymys.

[Ykkösnolla]

Tässä vielä toinen ongelma, jonka ratkaisu on jotenkin yllättävä - siis puhtaan matemaattinen kuitenkin - kuin tuon "5pistettä"-jutun:
Osoita, että "irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku" voi olla rationaalinen.

No kyllähän tämän ratkaisu on aivan erilainen. Mutta siis kohtalaisen lyhyitä ja ainakin minua iloisesti yllättäviä kumpikin.

Ja tulee vielä mieleen: Montako kokonaislukupistettä (x,y,z) avaruudessa tarvittaisiin, jotta aina joku niiden yhdysjanoista olisi sellainen, että sen keskipiste on kokonaislukupiste? No, kunhan nyt saataisiin ensin ratkaisu (x,y)-pisteisiin....

[Ykkösnolla]

Tänään kuulin hauskan ongelman: On annettu viisi kokonaislukupistettä (x,y), eli siis viisi ruudukon nurkkapistettä.
5p.png
Jos yhdistetään pisteet janoilla (4+3+2+1=10 janaa), niin ainakin yksi jana kulkee nurkan (kokonaislukupisteen) kautta, ainakin kerran. Perustele miksi.

Jos nurkkapiste jo on janan päätepiste, mitä muuta erityistä voi tarkoittaa "jana kulkee nurkan kautta"?

Olet oikeassa, muotoilu oli puutteellinen, janan päätepisteitä ei ole tarkoitus huomioida. Mutta tiukennan (tai helpotan?) tehtävää: Näiden 10 janan keskipisteistä ainakin yksi on kokonaislukupiste. Perustele miksi.

Ahaa. Tarkoitetaan, että jana kulkee ruudukon jonkin kokonaisluvuilla koordinoidun pisteen kautta, eikä jo määritellyn janakuvion nurkan kautta. Jep - tiedän mistä on kysymys.

No hyvä, sittenhän voit kertoa montako pistettä avaruudessa tarvitaan vastaavaan! Jos itse ratkaisu jää vielä mietittäväksi.

[Eusa]

Tänään kuulin hauskan ongelman: On annettu viisi kokonaislukupistettä (x,y), eli siis viisi ruudukon nurkkapistettä.
5p.png
Jos yhdistetään pisteet janoilla (4+3+2+1=10 janaa), niin ainakin yksi jana kulkee nurkan (kokonaislukupisteen) kautta, ainakin kerran. Perustele miksi.

Jos nurkkapiste jo on janan päätepiste, mitä muuta erityistä voi tarkoittaa "jana kulkee nurkan kautta"?

Olet oikeassa, muotoilu oli puutteellinen, janan päätepisteitä ei ole tarkoitus huomioida. Mutta tiukennan (tai helpotan?) tehtävää: Näiden 10 janan keskipisteistä ainakin yksi on kokonaislukupiste. Perustele miksi.

Ahaa. Tarkoitetaan, että jana kulkee ruudukon jonkin kokonaisluvuilla koordinoidun pisteen kautta, eikä jo määritellyn janakuvion nurkan kautta. Jep - tiedän mistä on kysymys.

No hyvä, sittenhän voit kertoa montako pistettä avaruudessa tarvitaan vastaavaan! Jos itse ratkaisu jää vielä mietittäväksi.

Jos avaruudella tarkoitat 3-ulotteista tilaa, niin silloin pariteetti toimii toisin.

[POPE]

Tässä vielä toinen ongelma, jonka ratkaisu on jotenkin yllättävä - siis puhtaan matemaattinen kuitenkin - kuin tuon "5pistettä"-jutun:
Osoita, että "irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku" voi olla rationaalinen.

No kyllähän tämän ratkaisu on aivan erilainen. Mutta siis kohtalaisen lyhyitä ja ainakin minua iloisesti yllättäviä kumpikin.

Ja tulee vielä mieleen: Montako kokonaislukupistettä (x,y,z) avaruudessa tarvittaisiin, jotta aina joku niiden yhdysjanoista olisi sellainen, että sen keskipiste on kokonaislukupiste? No, kunhan nyt saataisiin ensin ratkaisu (x,y)-pisteisiin....

Todistus boldatulle
√2 0n irrationaaliluku.
Tarkastellaan lukua a= (√2)^(√2)
On kaksi vaihtoehtoa.
Joko
a on rationaaliluku, joten väite pitää paikkaansa
tai
a on irrationaalluku
Tällöin irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku: a^√2 =(√2^√2)^√2=(√2)^(√2*√2)=(√2)^2=2 on rationaaliluku.

[Eusa]

Tänään kuulin hauskan ongelman: On annettu viisi kokonaislukupistettä (x,y), eli siis viisi ruudukon nurkkapistettä.
5p.png
Jos yhdistetään pisteet janoilla (4+3+2+1=10 janaa), niin ainakin yksi jana kulkee nurkan (kokonaislukupisteen) kautta, ainakin kerran. Perustele miksi.

Jos nurkkapiste jo on janan päätepiste, mitä muuta erityistä voi tarkoittaa "jana kulkee nurkan kautta"?

Olet oikeassa, muotoilu oli puutteellinen, janan päätepisteitä ei ole tarkoitus huomioida. Mutta tiukennan (tai helpotan?) tehtävää: Näiden 10 janan keskipisteistä ainakin yksi on kokonaislukupiste. Perustele miksi.

Ahaa. Tarkoitetaan, että jana kulkee ruudukon jonkin kokonaisluvuilla koordinoidun pisteen kautta, eikä jo määritellyn janakuvion nurkan kautta. Jep - tiedän mistä on kysymys.

No hyvä, sittenhän voit kertoa montako pistettä avaruudessa tarvitaan vastaavaan! Jos itse ratkaisu jää vielä mietittäväksi.

Äkkiä ajatellen 3d:ssa ko. pistemäärä voisi olla 9.

[Ykkösnolla]

Tässä vielä toinen ongelma, jonka ratkaisu on jotenkin yllättävä - siis puhtaan matemaattinen kuitenkin - kuin tuon "5pistettä"-jutun:
Osoita, että "irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku" voi olla rationaalinen.

No kyllähän tämän ratkaisu on aivan erilainen. Mutta siis kohtalaisen lyhyitä ja ainakin minua iloisesti yllättäviä kumpikin.

Ja tulee vielä mieleen: Montako kokonaislukupistettä (x,y,z) avaruudessa tarvittaisiin, jotta aina joku niiden yhdysjanoista olisi sellainen, että sen keskipiste on kokonaislukupiste? No, kunhan nyt saataisiin ensin ratkaisu (x,y)-pisteisiin....

Todistus boldatulle
√2 0n irrationaaliluku.
Tarkastellaan lukua a= (√2)^(√2)
On kaksi vaihtoehtoa.
Joko
a on rationaaliluku, joten väite pitää paikkaansa
tai
a on irrationaalluku
Tällöin irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku: a^√2 =(√2^√2)^√2=(√2)^(√2*√2)=(√2)^2=2 on rationaaliluku.

OK, sama esimerkki minullakin olisi ollut tarjolla.

[Ykkösnolla]

Tänään kuulin hauskan ongelman: On annettu viisi kokonaislukupistettä (x,y), eli siis viisi ruudukon nurkkapistettä.
5p.png
Jos yhdistetään pisteet janoilla (4+3+2+1=10 janaa), niin ainakin yksi jana kulkee nurkan (kokonaislukupisteen) kautta, ainakin kerran. Perustele miksi.

Jos nurkkapiste jo on janan päätepiste, mitä muuta erityistä voi tarkoittaa "jana kulkee nurkan kautta"?

Olet oikeassa, muotoilu oli puutteellinen, janan päätepisteitä ei ole tarkoitus huomioida. Mutta tiukennan (tai helpotan?) tehtävää: Näiden 10 janan keskipisteistä ainakin yksi on kokonaislukupiste. Perustele miksi.

Ahaa. Tarkoitetaan, että jana kulkee ruudukon jonkin kokonaisluvuilla koordinoidun pisteen kautta, eikä jo määritellyn janakuvion nurkan kautta. Jep - tiedän mistä on kysymys.

No hyvä, sittenhän voit kertoa montako pistettä avaruudessa tarvitaan vastaavaan! Jos itse ratkaisu jää vielä mietittäväksi.

Äkkiä ajatellen 3d:ssa ko. pistemäärä voisi olla 9.

Ok, samaa vastausta olisin minäkin tarjonnut.

[POPE]

Tänään kuulin hauskan ongelman: On annettu viisi kokonaislukupistettä (x,y), eli siis viisi ruudukon nurkkapistettä.
5p.png
Jos yhdistetään pisteet janoilla (4+3+2+1=10 janaa), niin ainakin yksi jana kulkee nurkan (kokonaislukupisteen) kautta, ainakin kerran. Perustele miksi.

Origo D=(0,0) E=(10,4)
Janan DE keskipiste on (5,2)

Totta, näille esimerkkipisteille. Mutta tarkoitin, että olivatpa nuo 5 pistettä valittu mistä tahansa, niin ainakin yksi niiden 10 yhdysjanasta on sellainen, että sen keskipiste on kokonaislukupiste, aina ja kaikissa tapauksissa. (No huom, pisteet eivät saa yhtyä eli ne kaikki ovat eri pisteitä!)

Jos neljä pistettä ovat muotoa (pariton,pariton), (pariton,parillinen), (parillinen,pariton) tai (parillinen,parillinen), , niin näistä pisteistä muodostetut janat eivät kulje nurkkapisteiden kautta.
Jos lisätään viides piste, se on samaa muotoa kuin yksi mainitusta neljästä ja samanmuotoisten pisteiden muodostaman janan keskipiste on nurkkapiste.

[POPE]

linkissä

on opittu, että nollalla ei voi jakaa!

[POPE]

Tänään kuulin hauskan ongelman: On annettu viisi kokonaislukupistettä (x,y), eli siis viisi ruudukon nurkkapistettä.
5p.png
Jos yhdistetään pisteet janoilla (4+3+2+1=10 janaa), niin ainakin yksi jana kulkee nurkan (kokonaislukupisteen) kautta, ainakin kerran. Perustele miksi.

Jos nurkkapiste jo on janan päätepiste, mitä muuta erityistä voi tarkoittaa "jana kulkee nurkan kautta"?

Olet oikeassa, muotoilu oli puutteellinen, janan päätepisteitä ei ole tarkoitus huomioida. Mutta tiukennan (tai helpotan?) tehtävää: Näiden 10 janan keskipisteistä ainakin yksi on kokonaislukupiste. Perustele miksi.

Ahaa. Tarkoitetaan, että jana kulkee ruudukon jonkin kokonaisluvuilla koordinoidun pisteen kautta, eikä jo määritellyn janakuvion nurkan kautta. Jep - tiedän mistä on kysymys.

No hyvä, sittenhän voit kertoa montako pistettä avaruudessa tarvitaan vastaavaan! Jos itse ratkaisu jää vielä mietittäväksi.

Äkkiä ajatellen 3d:ssa ko. pistemäärä voisi olla 9.

Perustelut yllä olevalle.
pariton 1 ja pariton 0
Kahdeksan pistettä (1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1),(1.0.0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0).
Näistä pisteistä muodostetut janat eivät kulje nurkkapisteiden kautta.
Yhdeksäs piste on samaa tyyppiä kuin yksi noista kahdeksasta.
Samantyyppisten pisteiden muodostaman janan keskipiste on nurkkapiste.

[POPE]

Tässä vielä toinen ongelma, jonka ratkaisu on jotenkin yllättävä - siis puhtaan matemaattinen kuitenkin - kuin tuon "5pistettä"-jutun:
Osoita, että "irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku" voi olla rationaalinen.

No kyllähän tämän ratkaisu on aivan erilainen. Mutta siis kohtalaisen lyhyitä ja ainakin minua iloisesti yllättäviä kumpikin.

Ja tulee vielä mieleen: Montako kokonaislukupistettä (x,y,z) avaruudessa tarvittaisiin, jotta aina joku niiden yhdysjanoista olisi sellainen, että sen keskipiste on kokonaislukupiste? No, kunhan nyt saataisiin ensin ratkaisu (x,y)-pisteisiin....

Todistus boldatulle
√2 0n irrationaaliluku.
Tarkastellaan lukua a= (√2)^(√2)
On kaksi vaihtoehtoa.
Joko
a on rationaaliluku, joten väite pitää paikkaansa
tai
a on irrationaalluku
Tällöin irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku: a^√2 =(√2^√2)^√2=(√2)^(√2*√2)=(√2)^2=2 on rationaaliluku.

OK, sama esimerkki minullakin olisi ollut tarjolla.

Toinen esimerkki.
e on irrationaaliluku, ln2 on irrationaaliluku ja e^ln2=2 on rationaaliluku.

[Ykkösnolla]

Tässä vielä toinen ongelma, jonka ratkaisu on jotenkin yllättävä - siis puhtaan matemaattinen kuitenkin - kuin tuon "5pistettä"-jutun:
Osoita, että "irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku" voi olla rationaalinen.

No kyllähän tämän ratkaisu on aivan erilainen. Mutta siis kohtalaisen lyhyitä ja ainakin minua iloisesti yllättäviä kumpikin.

Ja tulee vielä mieleen: Montako kokonaislukupistettä (x,y,z) avaruudessa tarvittaisiin, jotta aina joku niiden yhdysjanoista olisi sellainen, että sen keskipiste on kokonaislukupiste? No, kunhan nyt saataisiin ensin ratkaisu (x,y)-pisteisiin....

Todistus boldatulle
√2 0n irrationaaliluku.
Tarkastellaan lukua a= (√2)^(√2)
On kaksi vaihtoehtoa.
Joko
a on rationaaliluku, joten väite pitää paikkaansa
tai
a on irrationaalluku
Tällöin irrationaaliluku potenssiin irrationaaliluku: a^√2 =(√2^√2)^√2=(√2)^(√2*√2)=(√2)^2=2 on rationaaliluku.

OK, sama esimerkki minullakin olisi ollut tarjolla.

Toinen esimerkki.
e on irrationaaliluku, ln2 on irrationaaliluku ja e^ln2=2 on rationaaliluku.

Eipä tullut ajatelluksi, vaikka tämänkin on monesti laskenut. Tuo nelijuuriesimerkki tuntui aikoinaan niin veikeältä, todistetaan jonkun olemassaolo löytymättä sitä. Vaikka eiköhän [math]\sqrt{2}^\sqrt{2} liene irrationaalinen, mutta tietysti todistus puuttuu.

[Ykkösnolla]

Tänään kuulin hauskan ongelman: On annettu viisi kokonaislukupistettä (x,y), eli siis viisi ruudukon nurkkapistettä.
5p.png
Jos yhdistetään pisteet janoilla (4+3+2+1=10 janaa), niin ainakin yksi jana kulkee nurkan (kokonaislukupisteen) kautta, ainakin kerran. Perustele miksi.

Jos nurkkapiste jo on janan päätepiste, mitä muuta erityistä voi tarkoittaa "jana kulkee nurkan kautta"?

Olet oikeassa, muotoilu oli puutteellinen, janan päätepisteitä ei ole tarkoitus huomioida. Mutta tiukennan (tai helpotan?) tehtävää: Näiden 10 janan keskipisteistä ainakin yksi on kokonaislukupiste. Perustele miksi.

Ahaa. Tarkoitetaan, että jana kulkee ruudukon jonkin kokonaisluvuilla koordinoidun pisteen kautta, eikä jo määritellyn janakuvion nurkan kautta. Jep - tiedän mistä on kysymys.

No hyvä, sittenhän voit kertoa montako pistettä avaruudessa tarvitaan vastaavaan! Jos itse ratkaisu jää vielä mietittäväksi.

Äkkiä ajatellen 3d:ssa ko. pistemäärä voisi olla 9.

Perustelut yllä olevalle.
pariton 1 ja pariton 0
Kahdeksan pistettä (1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1),(1.0.0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0).
Näistä pisteistä muodostetut janat eivät kulje nurkkapisteiden kautta.
Yhdeksäs piste on samaa tyyppiä kuin yksi noista kahdeksasta.
Samantyyppisten pisteiden muodostaman janan keskipiste on nurkkapiste.

Näin kyllä.