Yksi matematiikan suurimmista läpimurroista mahtui kahdeksalle sivulle
15.11.2025 Yksi matematiikan suurimmista läpimurroista mahtui kahdeksalle sivulle TekstiJoni Nikkola
[url=mailto:?subject=Yksi matematiikan suurimmista läpimurroista mahtui kahdeksalle sivulle&body=Linkki: https://tekniikanmaailma.fi/yksi-matema ... e-sivulle/] 
[/url] Kesäkuussa 1686 Acta Eruditorum -tiedelehden sivuilla ilmestyi artikkeli, joka mullisti matematiikan historian. Saksalainen filosofi ja matemaatikko Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) julkaisi tuolloin tutkimuksensa ”De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum” eli ”Kätketystä geometriasta ja äärettömien jaottomien analyysista”. Artikkelissa nähtiin ensimmäistä kertaa julkisuudessa integraalimerkki ∫. Leibnizin vuoden 1686 artikkeli oli vain kahdeksan sivua pitkä, mutta se oli sitäkin merkittävämpi. Ensimmäistä kertaa Leibniz käytti sitä kuitenkin jo 29. lokakuuta 1675 kirjeessään. Pian tämän jälkeen, 11. marraskuuta 1675, Leibniz onnistui määrittämään integroimalla funktion y = x kattaman kuvaajan pinta-alan. Leibniz käytti pitkää s-kirjainta (∫) kuvaamaan summien ääretöntä kertymää – ideaa, joka vastaa nykyistä integraalia. Latinankielisessä artikkelissaan hän osoitti, kuinka derivaatta ja integraali ovat käänteislaskutoimituksia: summae & differentiae seu ∫ & d reciprocae sunt Tämä oli ensimmäinen tunnettu lausuma siitä, mitä nykyään kutsutaan analyysin peruslauseiksi. Kaksi arkijärjellä toisiinsa liittymätöntä asiaa, eli funktion muutosnopeutta kuvaava derivaatta ja funktion x-akselin ja kuvaajan välistä pinta-alaa kuvaava integraali, ovatkin kytköksissä toisiinsa. Myöhemmin kiisteltiin, kehittikö Leibniz vai Isaac Newton (1643–1727) differentiaali- ja integraalilaskennan ensin. Newton esitteli differentiaali- ja integraalilaskennan Philosophiae naturalis principia mathematicassa vuonna 1687 eli kolme vuotta myöhemmin. Nykykäsityksen mukaan molemmat kehittivät sen toisistaan riippumatta. Newton ehti ilmeisesti keksimään sen ensin, mutta Leibniz puolestaan esitteli oman keksintönsä aiemmin. Newtonin käsitteistö jäi pitkälti hänen seuraajiensa käyttöön Britanniassa, mutta Leibnizin symbolit – d ja ∫ – veivät voiton kansainvälisesti. Jo antiikin ajoista matemaatikot olivat pyrkineet ratkaisemaan, miten lasketaan geometrisen kuvion rajaaman alueen pinta-ala tai tilavuus. 300-luvulla ennen ajanlaskun alkua elänyt kreikkalainen Eudoksos Knidoslainen oli kehittänyt niin sanotun tyhjennysmenetelmän, joka oli integroinnin edeltäjä, kertoo Miika Polso aihetta käsittelevässä pro gradussaan. Tyhjennysmenetelmässä esimerkiksi ympyrän sisään jäävä ala pyrittiin määrittelemään piirtämällä sen sisään joukko monikulmioita. Kun monikulmion sivujen lukumäärä kaksinkertaistuu, ympyrän ja monikulmion väliin jäävästä alasta vähenee yli puolet. Näin päästään ennen pitkää äärettömän lähelle ympyrän pinta-alaa. Kreikkalaiset eivät tunteneet raja-arvoa, eli arvoa, jota funktio lähestyy muuttujan arvon lähestyessä tiettyä pistettä. Arkhimedes kuitenkin päätyi 200-luvulla ennen ajanlaskun alkua ratkaisuun, joka tunnetaan sittemmin infinitesimaalina, viipaloidessaan kuvaajia äärettömän ohuisiin paloihin. Infinitesimaali on äärettömän pieni suure, jota ei ole mahdollista mitata edes periaatteessa. Arkhimedes totesi, että kyseessä on pikemminkin heuristinen eli ”riittävän tarkka” menetelmä kuin aukottomasti todistettava ja eksakti menetelmä. Monissa käytännön sovelluksissa näin päästiin riittävän lähelle. Länsimaissa integraalilaskennan kehitys taukosi noin 1 800 vuodeksi, kunnes 1500- ja 1600-lukujen taitteessa matemaatikot kiinnostuivat asiasta jälleen. Italialainen matemaatikko Bonaventura Cavalieri julkaisi 1635 Geometria indivisibilibus continuorum -teoksen. Hän johti Cavalierin periaatteena tunnetun lauseen, jonka mukaan kaksi kappaletta on tilavuudeltaan yhtä suuret, jos niiden jokainen tasoleikkaus on yhtä suuri. Tätä pidetään nykyisen integraalilaskennan ensiaskeleina. Arkhimedeen todistusten luultiin kadonneen. Vuonna 1906 selvisi, että Arkhimedes oli käyttänyt Cavalierin periaatetta jo 200-luvulla ennen ajanlaskun alkua. Tuolloin Mekaanisten teoreemojen menetelmän kopio löydettiin Konstantinopolista eli nykyisestä Istanbulista. Myös kiinalainen matemaatikko Liu Hui oli todistanut vuonna 263, että pallon tilavuus on kaksi kolmasosaa sitä ympäröivän sylinterin tilavuudesta. Juuri infinitesimaalin tutkiminen johdatti Leibnizin ja Newtonin keksimään differentiaali- ja integraalilaskennan. The post Yksi matematiikan suurimmista läpimurroista mahtui kahdeksalle sivulle appeared first on Tekniikan Maailma. Lue alkuperäinen uutinen osoitteessa https://tekniikanmaailma.fi/yksi-matema ... e-sivulle/
